《高等数学下教学资料》(5)

1、编辑ppt一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛3 3 交错级数与任意项级数交错级数与任意项级数编辑ppt一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其其中中1111110,lim0,( 1)( 1) .nnnnnnnnnNnNn Nuuuuuruu 设(n=1,2,)且设(n=1,2,)且则交错级数收敛且余和的绝对值则交错级数收敛且余和的绝对值定理定理1 (Leibnitz1 (Leibnitz判别法判别法)

2、 )编辑ppt证明证明: :nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是是有有界界的的数数列列ns编辑ppt)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余余项项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.编辑ppt121( 1).lnnnn例例1 1. . 判判断断交交错错级级数数的的敛敛散散性性解解

3、: :1lnn单调递减,单调递减,1limlnnn且=0,且=0,nnLeibnitzn21( 1).ln故故由由判判别别法法知知交交错错级级数数收收敛敛11( 1)(1-.innne例2. 讨论级数)的敛散性例2. 讨论级数)的敛散性解解: :11cossin,ineinn由由于于故故innnnnnneinn11111( 1)(1-11( 1)(1-cos)( 1) sin) )= =编辑ppt111cos0, sin0,nn因因 所以上述复级数的所以上述复级数的实部级数和虚部级数都是交错级数实部级数和虚部级数都是交错级数.又因又因 1111sinsin, 1cos1cos11nnnn且且1

4、1lim1cos0, limsin0,nnnn由由LeibnitzLeibnitz判别法知交错级数判别法知交错级数11111( 1)(1-cos)( 1) (1-sinnnnnnn和和) )11( 1)(1-.innne再再由由复复级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件知知级级数数) )收收敛敛编辑ppt练习练习. . 判别下述级数的敛散性判别下述级数的敛散性nnnninn111(1)sin, (2)2 编辑ppt二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意任意项级数项级数. .证明证明: :), 2 , 1()(21

5、nuuvnnn令令, 0 nv显显然然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.11.设设是是实实数数列列, ,若若收收敛敛, ,则则也也收收敛敛nnnnnuuu定理定理2 2编辑ppt定义定义2 211.设设是是实实数数列列或或复复数数列列, ,若若级级数数收收敛敛绝绝, ,级级敛敛数数对对收收则则说说nnnnnuuu定理定理3 311.设设是是实实数数列列或或复复数数列列, ,若若级级数数收收敛敛, ,则则级级数数必必定定收收敛敛nnnnnuuu证明证明: : 若若是是实实数数列列, ,由由定定理理2 2知知结结论论成成立立. .nu (1,

6、2,),现现假假定定是是复复数数列列: :nnnnuuaibn这时这时, ,(1,2,),nnnnaubun编辑ppt111.因因级级数数收收敛敛, ,由由比比较较判判别别法法知知, ,正正项项级级数数和和都都收收敛敛nnnnnnuab11由由定定理理2 2, ,级级数数和和都都收收敛敛. .nnnnab111 = =nnnnnnuaib:从从而而根根据据复复数数项项级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件知知 级级数数收敛收敛. .编辑ppt定理定理3 3的作用：的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数注注: : 由定理由定理3 3知绝对收敛必收敛知绝对收敛必收敛, ,但反之不对但反之不对.

7、 .定义定义3 3111,.若若级级数数收收敛敛 而而级级数数发发散散, ,则则说说级级条条收收数数件件敛敛nnnnnnuuu编辑ppt例例3.3. 1(1)2判判别别级级数数的的敛敛散散性性. .nnnni解解: :11(1),22= =nnnnnnin12又收敛又收敛nnn(? (? 练习练习).).1(1)2级数绝对收敛,级数绝对收敛,nnnni从而由定理从而由定理3 3知此级数收敛知此级数收敛. .编辑ppt例例4.4. 1ln证明级数条件收敛.证明级数条件收敛.nnin证明证明: :111,lnlnnnninn11,ln而而nn11,级数发散级数发散nn11,ln由由比比较较判判别别

8、法法知知级级数数发发散散nn1ln所以也发散.所以也发散.nnin编辑ppt另一方面另一方面, ,nkknkkiinkk11011( 1)( 1),lnln(2 )ln(21)而而11,ln(2 )ln(21)和关于 单调减少和关于 单调减少kkk 11lim0, lim,ln(2 )ln(21)= =0 0kkkk111( 1)ln(2 )1( 1),ln(21)由由判判别别法法知知级级数数和和均均收收敛敛kkkkLeibnitzkk1.ln故级数收敛故级数收敛nnin得证得证. .编辑ppt例例5.5. nnnnin11( 1)(1)2判判断断级级数数是是否否收收敛敛，是是否否绝绝对对收收

9、敛敛. .编辑ppt例例6.6. npnpn1( 1),是是实实数数, ,讨讨论论级级数数何何时时绝绝对对收收敛敛 何何时时条条件件收收敛敛, ,何何时时发发散散. .解解: :npnpn( 1)0,lim如如果果不不存存在在有有限限的的极极限限, ,故故发发散散. .0,如果如果 p nppnnnn11( 1)1是是级级数数. .p1,;当时 此级数收敛当时 此级数收敛p 01,当时当时p此级数发散,此级数发散,11,lim0,但这时单调减少 且但这时单调减少 且ppnnnnpnLeibnitzn1( 1)由由判判别别法法知知交交错错级级数数收收敛敛. .编辑pptnpnn1( 1)级级数数综上所述综上所述, ,1 时,时,p 绝对收敛,绝对收敛,01 时时, ,p条件收敛,条件收敛,0 时.时.p 发发散散, ,定理定理4 4 绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛, ,且其和不变且其和不变. .编辑ppt定理定理5(Cauchy5(Cauchy定理定理) )nnnnnknknknnuvsCauchyu vu vu vu vu vu vs1111 112211111,()(). 若若级级数数和和都都绝绝对对收收敛敛 其其和和分分别别为为 和和则则他他们们的的乘乘积积也也是是绝绝对对收收敛敛且且其其和和为为编辑