《高等数学》电子（同济第六版）01第一章 第1节 函数

1、编辑ppt1一、集合二、函数概念四、函数的特性五、反函数六、基本初等函数七、复合函数 初等函数映射与函数第一节三、映射编辑ppt2具有特定性质具有特定性质xxM 有限集有限集无限集无限集映射与函数第一节一.集合:、集合、集合1,9210M如如),( 1222yxyxM如如、集合间的关系：、集合间的关系：2）子集；）子集；（1）集合相等；）集合相等；（2）空集；）空集；（3编辑ppt3）集合运算：）集合运算：（4BxAxxBA且且如如BxAxxBA或者或者、常用数的集合：、常用数的集合：3N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQ

2、ZZN编辑ppt44.4.区间与记号区间与记号: :.,baRba且且,bxaxba闭区间：闭区间：oxaboxab开区间：),(bxaba编辑ppt5),bxaxba,(bxaxba半开区间：半开区间：),xaxa),(bxxb无限区间),(Rxx编辑ppt65.5.邻域邻域: :.,0 且且是两个实数是两个实数与与设设a),( aU记记作作,叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaU即即:邻邻域域的的去去心心的的点点 a. ),( axxaU0,邻邻域域的的称称为为点点数数集集 aaxxa)(aa编辑ppt7、两闭区间的直积6,),(

3、,dcybaxyxdcba平面上的矩形区域。它表示xoy编辑ppt87.7.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量.编辑ppt9二、函数概念引例引例匀速直线运动:),0ttvs圆的面积与半径的关系：),(,02rrA 定义：定义：是两个变量，是两个变量，和和设设yx是一个给定的数集，是一个给定的数集，D按按照照一一定定法法则则变变量量如如果果对对于于每每个个数数yDx,应，应，总有确定的数

4、值和它对总有确定的数值和它对的函数，的函数，是是则称则称xy编辑ppt10)(xfy 记作记作xxD称为自变量， 的取值范围 称为定义域；1 1、函数的三要素、函数的三要素: : 定义域、值域和对应关系；定义域、值域和对应关系；说明：说明：xysin如如的函数，的函数，是是xy), 0定定义义域域为为.,11值域为值域为.22cos1)(,sin)(xxgxxf如).()(xgxf编辑ppt11、单值函数：、单值函数：24xy 如如多值函数：多值函数：122 yx如如值值域域。、会会求求函函数数的的定定义义域域及及3例例1 1. . 求下列函数的定义域:;)(21112xxy解解,021xx由

5、由故定义域为), 1 () 1 , 1() 1, 2D编辑ppt12)(lg)(arccos)(xxy2112解解 因11 x021x即20 x21x故定义域为),021D编辑ppt13 (1) 符号函数符号函数010001xxxxy当当当当当当sgn3、几个特殊的函数举例、几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(,),D 定义域 1,0,1W 值域图形：图形：编辑ppt14(2) 取整函数：取整函数： y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线53如, 0 3, 1 8, 88 . 3. 4(,),D 定义域WZ值域图形：

6、图形：x表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数x编辑ppt15（3）分段函数）分段函数函函数数。用用几几个个式式子子表表示示的的一一个个0, 10, 12)(,2xxxxxf例如12 xy12 xy),(D定定义义域域 )2(f, 3)(3f. 5编辑ppt16(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg编辑ppt 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(5) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数6编辑ppt例例2 2.)3(,2

7、12101)(的定义域求函数设xfxxxf解解1031(3)2132xf xx101( )212xf xx122231xx 1, 3 :D故故编辑ppt19例例3 3 试将函数试将函数,min)(2xxxf用分段函数表示用分段函数表示. .解作出,xy 2xy 的图形,min)(2xxxf1,11,1,2xxxxxx三、映射（自学）编辑ppt20四、函数的特性,)(,成成立立有有若若MxfXxMDX01函数的有界性函数的有界性:）上有界，）上有界，在（在（如如22xxycos）上上有有界界，在在（ 2112xy ）上无界。）上无界。，在（在（ 10.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则

8、称称函函数数Xxf编辑ppt212函数的单调性函数的单调性:,Ixx21当21xx 时,),()(21xfxf若若上的单调增加函数；上的单调增加函数；为为称称Ixf)(, )()(21xfxf若若上上的的单单调调减减少少函函数数；为为称称Ixf)(单增单增如如3xyxy,?2xy 编辑ppt223函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD)()(xfxfyx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf编辑ppt23有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD)()(xfxf;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)(

9、xf yx)(xfox-x)(xfy 编辑ppt24偶偶函函数数如如242xxxgxxf)(,cos)()ln()(,ln)(,)(11123231xxxfxxxfxxf均为奇函数均为奇函数xxxfcos)(都不是都不是编辑ppt254函数的周期性函数的周期性:通常说周期函数的周期是指其最小正通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期,0lDx)()(xflxf使使为周期函数。为周期函数。称称)(xfxo2y2xysin如如思考：狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数的周期性函数的周期性编辑ppt26五、反函数)()(yxxfy 所确定的函数所确定的函数由由).(xy 也可记作为也可记作为1

10、2 xy如：如：,21yx反函数：反函数：;21xy也也可可写写成成：xey ,ln yx 反反函函数数：.ln xy 也可写成：也可写成：编辑ppt27)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数说明：说明：对对称称；图图形形关关于于）原原函函数数与与其其反反函函数数的的（xy 1编辑ppt28一一定定是是单单值值函函数数，）单单值值函函数数的的反反函函数数不不（22xy 如：如：.yx反函数：反函数：单单调调增增（减减），）若若（)(xfy 3）。其其反反函函数数也也单单调调增增（减减编辑ppt29六、基本初等函数1.幂函数幂函数)( 是是常常数数 xy

11、 oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 编辑ppt302.指数函数指数函数),(10aaayxxay xay)(1)1( a)1 , 0( xey 编辑ppt313.对数函数对数函数),(log10aaxyaxylnxyalogxya1log)(1a)0 , 1( 编辑ppt324.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysinxysin编辑ppt33xycosxycos余弦函数余弦函数编辑ppt34正切函数正切函数xytanxytan编辑ppt35xycot余切函数余切函数xycot编辑ppt36正割函数正割函数xysecxysec编辑ppt37xycsc余割函数余割函数xycsc编

12、辑ppt385.反三角函数反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数反正弦函数编辑ppt39xyarccosxyarccos反反余余弦弦函函数数编辑ppt40 xyarctanxyarctan反正切函数反正切函数编辑ppt41 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xarcycot反余切函数反余切函数xarcycot编辑ppt42七、复合函数 初等函数1.复合函数复合函数,uy 设设,21xu21xy定义定义: 设设函函数数)(ufy 的的定定义义域域fD, 而而函函数数)(xu 的的值值域域为

13、为 Z, 若若 ZDf, 则则称称函函数数)(xfy 为为x的的复复合合函函数数. ,自变量自变量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y编辑ppt43注意注意: : 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的数的;,arcsinuy 例如例如;22xu)arcsin(22xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,cot2xy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次

14、的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函的函数数,称为称为初等函数初等函数.编辑ppt44例例1. 求求21210 01 12xexxxxyx,ln,的反函数及其定义域.解解时时，当当01x, ,(102 xy1,0(,yyx时时，当当10 x, 0,(lnxy时时，当当21 x, 2,2(21eeyx,(,0 xeyx即即反函数反函数,(,10 xxy即即反函数反函数0,(,yexy编辑ppt45反函数y,(,lnexx2212,(,10 xx0,(,xex定义域为,(,(e221 2,2(,ln12eyxy反函数2,2(,ln12exyx即即编辑ppt46八、双曲函数与反双曲

15、函数2sinhxxeex 双双曲曲正正弦弦xycosh xysinh ),(: D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(: D偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数xey21 xey 21编辑ppt47xxxxeeeexxx coshsinhtanh双双曲曲正正切切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,编辑ppt48双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 编辑ppt49九、小结基本概念基本概念集合集合, 区间区间, 邻域邻域, 常量与变量常量与变量, 绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性, ,单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函数反函数编辑ppt