中考数学第二轮复习专题最值问题

1、中考第二轮复习专题-线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A 是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：练习题：1如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点则PB+PE的最小值是 2如图，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 3如图，在锐

2、角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 第1题 第2题 第3题 第4题4如图，在四边形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_5如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为 第5题6已知A(2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PAPB长度最小，则最小值为 若PAPB长度最大，则最大值为 （4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别

3、上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短，则最短周长=_变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.练习题：1如图，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则PQR周长的最小值为_2如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m_，n _（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由中考赏析：1著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于

4、笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1PAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PAPB（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2PAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、

5、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值2如图，抛物线yx2x3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长（二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：

6、2、点与圆在直线同侧：（三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧： 过A点作ACm,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：练习题2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为3、如图，在锐角三角形ABC中 ，AB=，BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是A

7、D和AB上的动点，则BM+MN的最小值为4、如图4所示，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.7、如图5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为10、如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点则PB+PE的最小值是 12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，

8、则DN+MN的最小值为13、如图，正方形ABCD的边长是2，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为 cm（结果不取近似值）15、如图，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 16、如图8，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为( )(A)2 (B)(C)1 (D)2解答题1、如图9，正

9、比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6） （1）求此二次函数的解析式； （2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标； （3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐

10、标3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；4如图，抛物线yx2x3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长5如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在

11、x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标6如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a 为何值时，四边形ABDC的周长最短7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点

12、A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时

13、PB=PB，PA-PB最大值为AB.练习题1. 直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？3. 如图，抛物线yx 2x2的顶点为A，与y 轴交于点B(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PAPBAB；(3)当PAPB最大时，求点P的坐标.4. 如图，已知直线yx1与

14、y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx 2bxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标yxCBADOEy 5、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，1）和（2，5）；点P是y轴上的一个动点，点P在何处时，PAPB的和为最小？并求最小值。点P在何处时，PAPB最大？并求最大值。6. 如图，直线yx2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，A经过点B和点O，直线BC交A于点D（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存

15、在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标若不存在，请说明理由7、抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C，在其对称轴上是否存在一点P，使APC周长最小，若存在，求其坐标。在其对称轴上是否存在一点Q，使QBQC的值最大，若存在求其坐标。yCxBA8、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQx轴于点Q，连接OP 若以O、P、Q为顶点的三角形与DA

16、O相似，试求出点P的坐标； 试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？9、如图，已知抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+8，图象与y轴交于D点，并且顶点A在双曲线上（1）求过顶点A的双曲线解析式；（2）若开口向上的抛物线C2与C1的形状、大小完全相同，并且C2的顶点P始终在C1上，证明：抛物线C2一定经过A点；（3）设（2）中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于E点，当D、O、E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线y=x上求一点M，使|MD-MP|的值最大10、如图,已知抛物线 经过A(3，0)，B(0，4)，（1）.求此

17、抛物线解析式（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求点C关于直线AB的对称点C 的坐标（3） 若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PHPA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。ABCOxyABCOxyDEFH好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值例题：如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM

18、CM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为1时，求正方形的边长变式：如图四边形ABCD是菱形，且ABC60，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）若菱形ABCD的边长为1，则AMCM的最小值1；AMBENB；S四边形AMBE=S四边形ADCM；连接AN，则ANBE；当AMBMCM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2ABC三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边

19、是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）A B C D 62、已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD= ；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD= ；（3）如图3，当ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的ACB的度数. 图1 图2 图33、在RtABC中，ACB=90，tanBAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设，则k = ；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点