概率论与数理统计试题与答案

1、概率论与数理统计试题与答案( (2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题(本题满分 18 分，每题 3 分)1、_ 设P(A) =0.7,P(A _B) =0.3,贝UP(AB)= _ 。52、_设随机变量XB(2, p),YB(3, p)，若p(X _1)，则p(Y _1)=_。93、_ 设X与Y相互独立，DX =2, DY =1，则D(3X -4Y - 5) =_。4、 设随机变量X的方差为 2,则根据契比雪夫不等式有PX-EX色2兰_n5、设(XX2，Xn)为来自总体2(10)的样本，则统计量Y=Xi服从i=1_分布。6、设正态总体N(；2)，二2未知，贝U的置信度为1 -:的

2、置信区间的长度L =_。(按下侧分位数)二、选择题(本题满分 15 分，每题 3 分)1、若A与自身独立，则()(A)P(A) =0; (B)P(A) =1; (C)0：P(A)”：1; (D)P(A) =0或P(A) =12、下列数列中，是概率分布的是()(A)Xp(x),x = 0,1,2,3,4；5 -x2(B)p(x),x=0,1,2,31561x +1(C)p(x),x=3,4,5,6；(D)P(x),x-4253、设X B(n, p)，则有()(A)E(2X -1) =2np(B)D(2X -1)-4np(1 - p)(C)E(2X 1) =4 np 1(D)D(2X 1) =4n

3、p(1 - p) 14、 设随机变量xN(e2)，则随着的增大，概率pqx 4|v)()。(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定本方差，则下列结果 错误的是（）。5、 设(X1,X2/,Xn)是来自总体X NCc 2)的一个样本，X与S2分别为样本均值与样(A)EX二.I；2(B)DX- ； ； (C)n S22CJ2(n-1);nZ (Xi叮(D)旦匚22(n)。三、（本题满分 12 分）试卷中有一道选择题，共有 4个答案可供选择，其中只有 1 个答案是正确的。任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选 1个答案。设考生会解这道题的概率为 0

4、8,求：（1）考生选出正确答案的概率?（2）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率?四、（本题满分 12 分）设随机变量 X 的分布函数为 F【1x：00岂x乞1，试求常数A及x 1X的概率密度函数f （x）。五、（本题满分 10 分）设随机变量X的概率密度为f （x）= -1,（-：x；： ：），试求数学期望E（X）和方差D（X）。丄六、（本题满分 13 分）设总体X的密度函数为f （x）xeI0 x2x二0，其中-?0 x：0试求二的矩估计量和极大似然估计量。七、（本题满分 12 分）某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为（ %）3.25, 3.27, 3.24, 3.26

5、, 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25。（已知t0.995（4）= 4.6041）2八、（本题满分 8 分）设（XX2，X1。）为来自总体N（0,0.3 ）的一个样本，求10、P扭Xi21.44。(工為(10) =15.987)概率试统计模拟一解答、填空题（本题满分 18 分，每题 3 分）本方差，则下列结果 错误的是（）。2S/(10n); 6、7. g(n 0二、选择题（本题满分 15 分，每题 3 分）三、（本题满分 12 分）解：设 B考生会解这道题，A考生解出正确答案(1)由题意知：P(B)=0.8,P(B

6、) =1一0.8 =0.2,P(AB)=1,P(AB)= = 0.25,所以P(A) =P(B)P(AB) + P(B)P(AB) =0.85,(2)P(BA) =P(B)P(AB)尙0.941四、(本题满分 12 分)解：F(10)=f(1)=A 12二A，而F(10)= f (1) =lim(1) =1,x：1 0五、（本题满分 10 分）解：E（X）=0；DX=2Un，今n = 5,x = 3.252,S = 0.013,Sa =0.01,t1_Q(/2(n 1)N0.995(4) =4.6041，拒绝域为X - -1厂|t| =- Jn 辻_0(/2(n 1)=4.6041，因t的观察

7、值1、0.6 ;!;3 、 34; 4、271、D;2、C;3、B;4、C;5、 ： BP(A)对F (x)求导，得f (x) = *”2x 0 W x 兰 10 其它六、（本题满分 13 分）矩估计：EX二12 7xex2n、 ,2极大似然估计：似然函数L xi, r二neX1X2Xn,匕丿nln L xi，二 二一n In、八一Inxi2Xiln L Xi,二- n2XiOi吕2；2CT =2ni七、（本题满分 12 分）解：欲检验假设H。=%= 3.25,比=%X _卜因匚 未知，故米用t检验，取检验统计量t3.2523.250.013/75= 0.344：4.6041,未落入拒绝域内，

8、故在=0.01下接受原假设。八、(本题满分 8 分)因XiN(0,0.32)，故生2(10) y 1。.3丿102, c c2 10P上X：A1.44? = P拄Xj2/0.32=1.44/0.3i二概率统计模拟题二本试卷中可能用到的分位数:-P2(10) 16；= 0.1to.95(8)二1*8595， t.95(9) =.8331， t.975(8) =2.306， to.975(9) =2.2662。一、填空题(本题满分 15 分，每小题 3 分)1、设事件代B互不相容，且2、设随机变量X的分布函数为:P(A)二p,P(B)二q,则P(AB)0 x -10.3一1兰x c 1 F (x)

9、二0.61兰x 21 x _ 2则随机变量X的分布列为3、设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,2)和N(0,1)，则P(X Y乞1)=_。24、 若随机变量X服从-1,b上的均匀分布，且有切比雪夫不等式P(X-13)为来自总体X的一简单随机样本，贝y下列估计量中 不是总体 期望的无偏估计量有()(A)X; (B)X1X2出川-Xn； (C)0.1 (6X14X2); (D)X1X X3三、 (本题满分 12 分)假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1 ;乙河流泛滥的概率为 0.2 ;当甲河流泛滥时，乙河流泛滥

10、的概率为 0.3，试求：(1) 该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2) 当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。工A,2, x：1四、 (本题满分 12 分)设随机变量X的分布密度函数为f(x)=0为未知参数，试求 九的矩估计量和极大似然估计量。、0, xx1 .=arcsi nxJI(3)x：-1时，F (x)X0dx二0一1乞X时，F(x)x 1时，F (x) =11A二1 分-1X111二- dx = (arcsin x +)二. 1 - x2二2,1dx = 1J-x2X 的分布函数为F(x) = 1Y = 100 300=2000 .X 10X _04 4e-e1 .= =1/ 1 X t

11、.975(8)，即落入拒绝域内，. 2 分能以 95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18 岁。. 2 分2009-2010 学年第 一学期末考试试题 3 (A 卷)概率论与数理统 计本试卷中可能用到的分位数：七0.975(8)=23060,t.975(9)=22622,U.975 =196,U0.9 =1.282一、填空题(本题满分 15 分，每空 3 分)1111、 设P(A) , P(B| A) ,P(A|B)，贝UP(B)=_。4322、 设随机变量XN(0,1)，(x)为其分布函数，则(x)+6(x)=_。r5e_5xx 03、设随机变量XE(指数分布)，其概率密度函数为心科,注。,

12、用切比雪夫不等式估计pi|XEX兰2兰_4、设总体X在(-1,上服从均匀分布，则参数J的矩估计量为5、设随机变量X的概率密度函数为f (x)二若x 0, 1若x 3, 69若k使得px*=2/3，则k的取值范围是 _10其它二、单项选择题（本题满分 15 分，每题 3 分）1、A、B、C 三个事件 不都发生的正确表示法是（arctan x,-：:X：:2二3、设E(X) =1，D(X) =2，则E(X 2)2二(XN（0,9）的一部分样本，则-Jx；十X1：(A)N(0,1)(B)t(3)(C)t(9)( D)F(1,9)2 25、设总体XN（d二），其中二 已知，叮（x）为N（0,1）的分布

13、函数，现进行 n 次独立实验得到样本均值为X，对应于置信水平 1-二的.二的置信区间为（X-；,X ）,则；由（）确定。三、 （本题满分 12 分）某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年内甲向银行申请贷款的概率为 0.3，乙申请贷款的概率为 0.2，当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为0.1;求：（1）在一年内甲和乙都申请贷款的概率？（2）若在一年内乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率？kx（1 x） 0 x 1四、 （本题满分 12 分）设随机变量X的概率密度函数为f（x）,其中常(A) 11(B) 9(C)10(D) 1(A) ABC(B)ABC(C)A B C2、F列各函数中是随机变

14、量分布函数的为（(A)1F,x)2，二：X :二(B)I。F2(X)L1 XXEOF4（X）4、设X1, X2, ,X10是来自总体3X1(A ) G=1 :/2(B )门(D )(1) k; (2)p 1X c1、； (3)分布函数221（本题满分 12 分）设X,Y的联合概率密度为0：x : 1,0：y : 1其他（1） 求系数 A；（2） 求X的边缘概率密度fx（X），Y的边缘密度fy（y）；（3） 判断X与Y是否互相独立;（4） 求Plx Y乞1.七、 （本题满分 12 分）正常人的脉搏平均 72 次/每分钟，现在测得 10 例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4 次，样本方差为

15、5.9292。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显著差异？（ ：=0.05）八、 （本题满分 10 分）1.已知事件A与B相互独立，求证 7 与B也相互独立.2设总体X服从参数为的泊松分布，Xjl（,Xn是X的简单随机样本，已知样本方差S是总体方差的无偏估计，试证：1X S2是的无偏估计.22009-2010 学年第一学期期末考试试题答案及评分标准3 （A 卷）概率论与数理统计试求:F(x).五、（本题满分12 分）设随机变量X与Y相互独立，其分布律分别为X123P1/52/52/5Y12P1/32/3f(X, y )= ”A(1 - x)y求：（1）X,Y的联合分布

16、律;(3)E3、填空题（本题满分 15 分，每小题 3 分）3当Xx时，F(x)0 x236x(1 -x)dx =3x2-2x3当x -1时F(x) =1,F(x)=3x -2x ,.1,x _0五、(本题满分 12 分)1211/152/1522/154/1532/154/15 4X(2) Z的分布律为:YZ1/23/21、-;2、1 ; 3、丄;4、X; 5、1,316 100二、单项选择题 (本题满分 15 分，每小题 3 分)1、D; 2、B; 3、A; 4、C; 5、A三、(本题满分 12 分)解：A=甲向银行申请贷款B=乙向银行申请贷款-0.3 (1-0.1)727A16x(1一x

17、)dx冷(3)Fx Af(t)dt(1)P(AB)二P(A)P(B A)二P(A)(1 - P(B A)(2)P(A|B)(A)P(B|A)P(B)80四、(本题满分 12 分)解(1)由1二 f(x)dx= j kx(1 _x)dx = k：(x _x2)dx =k/6.F(x) =0(1) (X , Y )的联合分布为:4 分(3)Y所有的x, y，对于f x,y = fx(x) fy(y)都成立X 与 Y 互相独立.2 分1_x 1(4)PX Y乞1、4 (1-x)dx ydy.2 分00=4 (1-幼裁2乐=4冷(1 -x)3dx0202122231314111= 2x x -x x

18、x x 0= 21 分233442七、(本题满分 12 分) 解：由题意得，XN(；2)T =Xt(n _1)S/ - n其中n = 10, X = 67.4, S = 5.929代入0 P2/15、X、122（3）E = -1丫丿15六、（本题满分 12 分）解：所以：Ax-1x2015/154/152/152/15所以:由于I If(x, y)dydx=12 11 1 y20=1,A1,A=42 2112 10 x : 1时，fx(x) = 4(1 - x) ydy二4(1一x)- y20= 2(1-x)fx(X)_2(10X)0：x1其他12 1当0 :：y : 1时,fy(y)二4(1

19、 x)ydx =4yx?x o=2y所以：fY（X）=|2y00： ：y :1其他H。的拒绝域为W= t|t12（9） 3 分.3 分(1)(2)当2、下列函数中可作为随机变量分布函数的是()所以，拒绝 H0，认为有显著差异。.2 分八、(本题满分 10 分)1、A与B相互独立.P( AB) = P( A)P(B).1 分从而P AB二P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A) P(B) -P(AB) .2 分p AB=1-PA-PB+P|A P B=P A -P B 1- P A=P A 1 -P B因此：A与B相互独立.2 分2、X 服从参数为的泊松分布，则E(X)二，D(X)=，E(X

20、)八，D(X) = .2 分nE(S2)，E(X：) ，2，故E - X S ，.2IL2分因 此 丄XS2是 的 无 偏 估 计 2.1 分期末考试试题 4试卷中可能用到的分位数：t0.975(25) =2.0595，如75(24) =2.0639，u0.97 1.960，u0.95=1.645一、单项选择题(每题3 分，共 15 分)1、设P(A) =0.3，P(A_. B)=0.51，当A与B相互独立时，P(B)=()A. 0.21 B. 0.3 C. 0.81D. 0.767.4一725.929/ 10=2.453 t 975(9) = 2.2622.2分1n5、设X1,X2,|l(,

21、Xn是来自正态总体XLN(0,；2)的一个样本，则统计量H Xi2服从()分布.A.N(0,1)B.2(1)C.2(n)D.t(n)二、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、_ 若P(A) 0，P(B) 0,则当A与B互不相容时，A与B_.(填“独立”或“不独立”)2、 设随机变量X N(1,32)，则P2X4=.(附：:(1)=0.8413)3、设随机变量(X,Y)的分布律为:X1231a0.100.2820.18b0.12300.150.05A.R(x)=， 其它1,0,其它-1IB.F?( x) = *x,1,x：0,0乞x：C.0,x : 0,F3(x)二x, 0岂x：1,1,x_1

22、.卩,D.F4(X)=x,x：0,0 _ x：1,3、设随机变量X服从参数为2 的指数分布，则E(X)二().A.1B.2C. 2D. 44、设随机变量X与Y相互独立，且X N (0,9),Y N(0,1).令Z =X -2丫，则D(Z)=A. 5B. 7C. 11D. 13贝Ua b =_.4、设X的方差为 2.5,禾U用切比雪夫不等式估计P| X -E(X) | - 5二_2 5、某单位职工的医疗费服从，现抽查了 25 天，测得样本均值x=170元，样本方差S2= 302，则职工每天医疗费均值的置信水平为 0.95 的置信区间为_.(保留到小数点后一位)三、计算题(每小题 10 分，共 6

23、0 分)1、设某工厂有A, B,C三个车间，生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%和 40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%, 2%，现从该厂产品中抽取一件,求：(1)取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则它是A车间生产的概率2、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=彳AeI0,试求：A的值；(2)P-1：X：1； (3)概率密度函数f(x).3、设二维随机变量(X,Y)的分布律为:其中，二0为未知参数.X1,X2,ll),Xn为来自总体X的一个简单随机样本，求参数二的矩估计和极大似然估计x 0,(2)求E(X)；4、设相互独立随机变量与Y的概率密度函数分别

24、为:f(X)二2x,10,0： ：x：1,其它f(y)(1)求 X 与Y的联合概率密度函数f(x, y)；( 2)求P05、设总体X的概率密度函数为:严心其它,10,其它(1)求X与Y的边缘分布律;(3)求Z = X Y的分布律.6、已知某摩托车厂生产某种型号摩托车的寿命X(单位：万公里)服从N(10,0.12)，在采用新材料后，估计其寿命方差没有改变.现从一批新摩托车中随机抽取 5 辆，测得其平均寿命为 10.1 万公里，试在检验水平：.=0.05下，检验这批摩托车的平均寿命是否仍为 10 万公里？ 四、证明题(10 分)设X,X2是来自总体N(1)()未知)的一个样本，试证明下面三个估计

25、量都是的无偏估计，并确定哪一个最有效211311叫X1X2，2X1X2，3X1X2.334422X 学年第一学期末考试试题 5概率论与数理统计本试卷中可能用到的分位数：to.90(15)= 1.3406，to.90(16) =1.3368，to.95(15) =1.7531，to.95(16) = 1.7459：(1) =0.8413，：(0.5) =0.6915，:(0)=0.5一、填空题(每小题 3 分，本题共 15 分)11、设A, B为两个相互独立的事件，且P(AB) , P(AB)二P(AB)，则P(A) =_90 x v 02、 设随机变量X的分布函数为F(x)二sin x 0乞x

26、，则P| X | =_ 。2 6311 x I253、 若随机变量XB(2, p)，Y B(3, p)，若PX - 1=-，则PY _ 1 =_。94、设X-X，,X是n个相互独立且同分布的随机变量，E(Xj)=卩，PX_卩_5、设(X1,X2)为来自正态总体X NCV)的样本，若CX12X2为的一个无偏估 计，则C =。、单项选择题(每小题 3 分，本题共 15 分)1、对于任意两个事件A和B,有P(A - B)等于()(A)P(A)-P(B)(B)P(A)-P(AB)(C)P(A)-P(B) P(AB)(D)P(A) P(B)_P(AB)D Xi=8(i =1,2,n),对于1nXXini

27、 d根据切比雪夫不等式有2、下列F(x)中，可以作为某随机变量的分布函数的是()。X的分布律为plx二kl =bk,(k =1,2,)，且b - 0,则，为(11(A)大于零的任意实数(B) =b1(C)( D) b + 1b-14、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z =3X -2的数学期望为()(A)1 (B)2(C)3(D) 4 5、设随机变量X与Y相互独立，都服从正态分布N(0,32)， (XX2，X9)和x1+x2+ +x9(丫1,丫2,，丫9)是分别来自总体X和丫的样本，则U二1服从()丫12丫22丫92(A)U t(8)(B)U F(9,9)(C)U t(9)(D)U

28、 2(8)三、 (本题满分12分)某工厂有三部制螺钉的机器A、B、C,它们的产品分别占全部产品 的25% 35% 40%并且它们的废品率分别是 5% 4% 2%今从全部产品中任取一个，试求：(1)抽出的是废品的概率；(2)已知抽出的是废品，问它是由A制造的概率。四、 (本题满分 12 分)设随机变量X的概率密度函数为f(x)二Ae巴(-:：X：=)，求：(1)常数 A;(2)P0：:X : 1；( 3)X的分布函数。五、 (本题满分 12 分)设(X,Y)的联合概率密度函数为2x y 0 xE1 0兰v1f x,y，试求：(1)X,Y的边缘概率密度函数0其它fx(x), J(y)；(2)判断X

29、,Y是否相互独立，是否相关。六、 (本题满分 10 分)设随机变量X服从正态分布N(3,22)，试求：(1)P2：X辽5。(2)求常数c,使PX c=PX Ec。(3)若X与丫相互独立，丫服从正态分布N(2,4)，求D(3X -2丫1)。七、 (本题满分 12 分)设总体X B(10, p),其中 0：；p：1 为未知参数。设(XXz.Xn)为 来自0.5ex(A)F(x) = 0.81x : 00 _ x : 1x _1(B)Tt0 x 2F (x)=sin x一兰x c 0 21x MO0 x：00.3 0 _ x : 1(C)F (x)=0.21兰x v21 x _ 2(D)0 x c

30、00.1x0兰x c 5F(x)=0.45兰x c61 x _ 63、设离散型随机变量2、下列F(x)中，可以作为某随机变量的分布函数的是()。总体X的样本，求未知参数p的矩估计与极大似然估计。八、（本题满分 12 分）（1）从一批钉子中随机抽取16 枚，测得其长度（单位： cm）的均值X =2.125，标准差s二.S2=0.01713。假设钉子的长度X N（；2），求总体均值的 置信水平为0.90的置信区间。2 2（2）设XN（叫，6），YN（2,；2），X与丫相互独立，而 （X1,X2，Xm）和（丫1,丫2,，Yn）分别是来自总体X和丫的样本，若X -Y N（a,b），求a,b。X 学年第一学期期末考试试题 5 答案及评分标准概率论与数理统解：设A1=抽出的产品由 A 制造，A2=抽出的产品由 B 制造，A3=抽出的产品由 C 制造, B=抽出的产品是废品3P(B)=S：P(A)P(B|A)i =1=2% %3%4%69融 .0345由贝叶斯公式:P(A) P(BA)P(B