边际成本与收益的计算

1、经济数学经济数学中国人民大学出版社中国人民大学出版社边际成本和收益的计算边际成本和收益的计算经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案问题引入问题引入从杭州开往南京的长途车即将出发。无论哪个公司的从杭州开往南京的长途车即将出发。无论哪个公司的车，票价均为车，票价均为5050元。一个匆匆赶来的乘客见一家国营元。一个匆匆赶来的乘客见一家国营公司的车上尚有空位，要求以公司的车上尚有空位，要求以3030元上车，被拒绝了。元上车，被拒绝了。他又找到一家也有空位的私人公司的车他又找到一家也有空位的私人公司的车 ，售票员二，售票员二话没说，收了话没说，收了3030元允许

2、他上车了。哪家公司的行为更元允许他上车了。哪家公司的行为更理性呢？理性呢？ 经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案总成本：总成本：是指生产一定数量的产品所需要的全部经济资是指生产一定数量的产品所需要的全部经济资源投入（包括劳动力、原材料、设备等）的价格或费用源投入（包括劳动力、原材料、设备等）的价格或费用的总额。一般情况下，成本用的总额。一般情况下，成本用 表示，产品产量用表示，产品产量用 表表示，则成本是产量的函数，称为示，则成本是产量的函数，称为成本函数成本函数，用用 表示。表示。它由固定成本和可变成本组成。它由固定成本和可变成本组成。CQ)(QC

3、经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案案例案例1 1：我们以成本函数我们以成本函数 为例，考查产量为例，考查产量 （1 1）在）在 处的变化率；处的变化率；（2 2）在）在 处的变化率。处的变化率。21( )10100C QQ010Q 020Q 第一步：求第一步：求 ：C(10)(10)CCQC22(10)1010(10)100100Q2110020()100100QQ2()5100QQ 经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案第二步：求平均变化率第二步：求平均变化率CQ(10)(10)CCQCQQ2()5100

4、QQQ15100Q第三步：求极限第三步：求极限0011limlim=51005QQCQQ（）经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案所以，成本函数所以，成本函数在在处的变化率为处的变化率为1521( )10100C QQ010Q 同理，成本函数同理，成本函数在在处的变化率为处的变化率为2521( )10100C QQ020Q 定义定义1：设函数设函数 在点在点 的某个邻域内有定义，且的某个邻域内有定义，且存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数 在点在点 处的导数，记作处的导数，记作 ， ， 或或 并称函数并称函数 在点在点 处可导。处可导。)(

5、xfy 0 xxxfxxfxyxx)()(limlim0000)(xf0 x)(0 xf 0|xxy0 xxdxdy0 )(xxdxxdf)(xf0 x经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案定义定义2：设函数设函数 在区间在区间 内的每一点都可导，内的每一点都可导，则称函数则称函数 在区间在区间 内可导。这时对于区间内可导。这时对于区间内的每一个内的每一个 值，都有惟一确定的导数值值，都有惟一确定的导数值 与之对应，与之对应，这样就构成了一个新的函数，称为函数这样就构成了一个新的函数，称为函数 对对 的导的导函数，记作函数，记作 ， ， 或或 即即)(

6、xfy )(xf),(ba),(ba),(bax)(xf )(xfy xy)(xf dxdydxxdf)(xxfxxfyx)()(lim0),(bax在不至于引起混淆的情况下在不至于引起混淆的情况下, ,导函数也简称为导数。导函数也简称为导数。经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案 概念概念2：边际函数：边际函数(marginal function) 设函数设函数 在在 处存在导数，则称导数处存在导数，则称导数 为函数为函数 的边际函数。称的边际函数。称 在在 处的值处的值 为边际函数值。为边际函数值。)(xfy )(xfx)(xf )(xf 0 x)

7、(0 xf 用边际函数来分析经济量的变化，就称为边际分析。用边际函数来分析经济量的变化，就称为边际分析。 概念概念3：边际成本：边际成本(marginal cost) 设生产某种产品的总成本函数为设生产某种产品的总成本函数为 ，当总成本函数可导，当总成本函数可导时，其导数时，其导数 叫做产量为叫做产量为 时的边际成本。时的边际成本。)(QC( )C QQ我们来分析边际成本的经济意义我们来分析边际成本的经济意义0( )limQCC QQ( )CC QQ( )C QC边际成本边际成本 的经济意义为：在产量为的经济意义为：在产量为 时再生产一个时再生产一个单位产品，总成本的改变量单位产品，总成本的改

8、变量 ( (的近似值的近似值) )QC( )C Q当当 很小时，有很小时，有Q当当 , ,即在产量为即在产量为 时若再生产时若再生产“一个单位一个单位”产品，且产品，且“一个单位一个单位”与与 值相比来说很小时，则有值相比来说很小时，则有1Q QQ第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案案例案例4 4：生产某产品生产某产品 件时的总成本函数为件时的总成本函数为 （百元），求产量为（百元），求产量为100件时的边际成本。件时的边际成本。Q2( )=5000.04C QQ解解( )=0.08C QQ(

9、100)=0.08 100C=8=800 (百元件百元件)由边际成本可知，生产第由边际成本可知，生产第100100件产品的基础上再生产一个件产品的基础上再生产一个单位产品，总成本的改变量为单位产品，总成本的改变量为800800元元(百元百元/件件)(元件元件) 经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案案例案例5 5：求成本函数为求成本函数为 的边际成的边际成本函数，以及产量分别为本函数，以及产量分别为5050、100100、200200时的时的边际成本，并指出边际成本，并指出它们的经济意义。它们的经济意义。解解32( )=0.0010.3402000C

10、QQQQ2( )=0.0030.640C QQQ于是，产量于是，产量 为为5050、100100、200200时的边际成本分别为时的边际成本分别为Q2(50)=0.003 500.6 504017.5C经经 济济 数数 学学第一节第一节 边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案 它们的经济意义是它们的经济意义是:在产量在产量 分别为分别为5050、100100、200200时的基础上再生产一个单位时的基础上再生产一个单位产品，总成本的增加分别为产品，总成本的增加分别为17.517.5、1010、4040。2(100)=0.003 1000.6 1004010C2(200)=0.003 20

11、00.6 2004040CQ经经 济济 数数 学学第二节第二节 边际分析典型案例边际分析典型案例概念概念1：边际收益：边际收益(marginal benefit)：设销售某种产品设销售某种产品 个单位时的总收益函数为个单位时的总收益函数为 。当。当总收益函数可导时，其导数总收益函数可导时，其导数 叫做销量为叫做销量为 时的时的边际收益。边际收益。( )R Q( )R QQQ边际收益边际收益 的经济意义为：的经济意义为：当销量为当销量为 个单位产品时，再销售一个单位产品，总收个单位产品时，再销售一个单位产品，总收益的改变量（增量）益的改变量（增量） （的近似值（的近似值) )Q( )R QR经经

12、 济济 数数 学学第二节第二节 边际分析典型案例边际分析典型案例案例案例1 1：销售某商品销售某商品 台的收益函数为台的收益函数为 （元），（元），试求：（试求：（1 1）边际收益函数；）边际收益函数； （2 2）销量为）销量为200200台时的边际收益。台时的边际收益。Q2( )8004QR QQ解解 （1 1）边际收益函数为）边际收益函数为( )8002QR Q（元台）（元台） （2 2）销量为）销量为200200台时的边际收益为台时的边际收益为200(200)8007002R（元台）（元台） 经经 济济 数数 学学第二节第二节 边际分析典型案例边际分析典型案例案例案例2 2：设某产品的收

13、益函数为设某产品的收益函数为 （元），（元），试求：（试求：（1 1）边际收益函数；）边际收益函数； （2 2）产量分别为）产量分别为90009000、1000010000、1100011000台时的边际收台时的边际收 益，并说明其经济意义。益，并说明其经济意义。解解 （1 1）边际收益函数为）边际收益函数为（元台）（元台） （2 2）2( )2000.01R QQQ( )2000.02R QQ(9000)2000.02 900020R(10000)2000.02 100000R(11000)2000.02 1100020R （元）（元） （元）（元） （元）（元） 经经 济济 数数 学学第二

14、节第二节 边际分析典型案例边际分析典型案例经济意义为：经济意义为：当产量为当产量为90009000个单位时，若再增加一个单位产品，收益个单位时，若再增加一个单位产品，收益增加增加2020元；元；当产量为当产量为1000010000个单位时，若再增加一个单位产品，收益个单位时，若再增加一个单位产品，收益没有增加；没有增加；当产量为当产量为1100011000个单位时，若再增加一个单位产品，收益个单位时，若再增加一个单位产品，收益减少减少2020元。元。经经 济济 数数 学学第二节第二节 边际分析典型案例边际分析典型案例概念概念2：边际利润：边际利润(marginal profit)：设销售某种商

15、品设销售某种商品 个单位时的利润函数为个单位时的利润函数为 。当。当 可导时，称可导时，称 为销售量为为销售量为 时的边际利润。时的边际利润。 因因 于是可得于是可得 即边际利润等于边际收益与边际成本之差。即边际利润等于边际收益与边际成本之差。( )L QQQ边际利润边际利润 的经济意义为：的经济意义为：当销量为当销量为 个单位产品时，再销售一个单位产品，总个单位产品时，再销售一个单位产品，总利利润润的增量的增量 。Q( )L Q( )L Q( )( )( )L QR QC Q( )( )( )L QR QC Q( )L QL经经 济济 数数 学学案例案例3 3：某工厂生产一种产品，每天的总利

16、润某工厂生产一种产品，每天的总利润 （元）与（元）与产量产量 （吨）之间的关系为：（吨）之间的关系为：求求 时的边际利润，并解释所得结果的经济意义。时的边际利润，并解释所得结果的经济意义。解解 边际利润函数为边际利润函数为 L QQ2( )2505L QQQ10,25,30Q ( )250 10L QQ(10)150L（元）（元）第二节第二节 边际分析典型案例边际分析典型案例它表示在每天生产它表示在每天生产1010吨的基础上，再多生产吨的基础上，再多生产1 1吨，总利吨，总利润将增加润将增加150150元。元。经经 济济 数数 学学(30)-50L（元）（元）第二节第二节 边际分析典型案例边际分析典型案例从上例可以看出，生