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文档简介

1、II幂级数：10定义，具有下列形式的函数项级数称为幂级数(令 即上述形式)取 为常数项级数，如收敛，其和为 为常数项级数，如收敛，其和为 为和函数,总收敛对幂级数主要讨论两个问题（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数幂级数的收敛域具有特别的结构定理：（i）如在 收敛，则对于满足的一切 都绝对收敛 （ii）如在发散，则对于满足的一切 发散证：（1） 收敛 （收敛数列必有界）而为几何级数，当即收 收 原级数绝对收敛 （2）反证：如存在一点使收则由（1）收，矛盾。由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使收，发，称R为收敛半径20幂级数的收敛半径及其求法定理：如幂级数系

2、数满足 则（1） （2） （3）注意：当 的敛散性不能确定，要讨论例1：求下列幂级数的收敛域（1） （2）（3） （4）解：（1）故当原级数为为交错级数，满足¬­ 收敛当原级数为发 收敛域为解（2）由于 故收敛域为解（3） 当原级数为发原级数为为交错级数满足（1） （2）设 ，当， 单调减， 故 收敛 收敛域为-1，1）解（4） 令 当原级数为 发散同理 级数也发散收敛域例、P281例7.20、7.2120幂级数的性质 P282求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式： 在端点的敛散性与有关。例、P284例7.22、7.23例、

3、求下列幂级数的和函数1、2、解1、R=1，x=±1，un0，收敛域为（-1，1）令 （-1，1）解2、收敛域（-，+）令故，例、利用计算幂级数的和函数，求下列级数的和解：记： （-1，1） 30将函数展开成幂函数1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数在的某邻城内具有任意阶导数，则级数 称为在点的泰勒级数特别当，则级数称为的麦克劳林级数2、函数展开成泰勒级数的条件能展开成泰勒级数：收敛于 在，之间3、幂级数展开式的求法 方法1、 直接法：计算 证明：及 方法 2、 间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式。例 将下例函数展开成的幂函数 解 解 解其中 ， （如 ， 如 ，）解 其中 例 P291 例 7.28 7.29例 模拟试题 习题提示例 设有两条抛物线 和记它

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