直角坐标系、伸缩变换

1、（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2x-y=4的伸缩变换的作用下，点P（x,y）对应P（x,y）.称为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（1） 00 0（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。课中案例1由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程:x = 3x（1）、已知点（x,y）经过伸缩变换后的点的坐标是（3兀，-4），则x=_，y=$ = 2y1:（2）、已知点（x,y）经过伸缩变换2后的点的坐标是（-2，6），则x=_，y=y = 3y,1 x=

2、x例4.曲线C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x2-9y2= 36，求曲线C的方程。1yJ yI. 2课刖案知识梳理：（一）、直角坐标系：1直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：_左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1定义：设P（x,y）是平面直角坐标系中任意一点，在变换X X， = = X X y y=y y例2、在同一平面直角坐标系中,求曲线C的方程。1x=- x曲线C经过伸缩变换彳3后的曲线方程是4x2-9y2=36，.1I（x_ 3x例3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是ly= yx29y = 9，求曲线C的方程。1将点（2,课后案3

3、）变成点（3,2）的伸缩变换是（）A.,2x x33y y2B.,3x x2.2y=3yC.D.X=X 12.将点P (x,y）的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的丄，得到点P的坐标为3() A.(2,3y)B.(2x,舟)C.(3x,2D.(务2y)A.向左平移丄个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6TTB.向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6TTC.向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6nrD.向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6応x= 3x9.曲线y = sin（x + = ）经过伸缩变换丿后的曲线方程是6y=2y

4、倍（纵坐标不变）31倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）10.曲线x2-y2，2x = 0变成曲线x2-16y2 4x= 0的伸缩变换是 _x =x3.曲线C经过伸缩变换.1后得到曲线C的方程为i3yy =log2(x 2),则曲线C的11.曲线9x24y36经过伸缩变换x- x2方程为()A.y = log2(x 2)C1C.y = log2(3 x2)B.D.4.把函数y =sin 2x的图像作怎样的变换能得到71A.向左平移-6B.向右平移715将y = f （x）的图像横坐标伸长到原来的3倍,6.7.A.占八、 、y = 3log2(x 2)后的曲线方程是log2(3

5、x 2)12.将直线x-2y = 2变成直线2x-y=4的伸缩变换是 _.S2x3)的图像71JID.向右平移二3C.向左平移一31纵坐标缩短到原来的-，则所得函数的解析式为312V 3_13.函数y cos x sin xcosx 1, x R.22（1） 当函数 y 取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y = sinx（x R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到1y=3f(3x)B.厂亍)C.yFfx)D.31 1J?)1I V = V（x, y）经过伸缩变换x2x后的点的坐标是（-2,6），则x =y = 3y将直线x - 2y = 2变成直线2x - yJ 4的伸缩变

6、换是x JI为了得到函数y=2sin（x+ ）,xER的图像，只需将函数y=2sinX,XR的图像上所有的点实用文档x函数y，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y =x点（x,y）经过伸缩变换/= 3x后的点的坐标是 ，4），则x=，y =2y将直线x-2y =2变成直线2x-y= 4的伸缩变换是 _.为得到函数y = 2si门占+巴）XER的图像，需将y = 2sin x, x迂R的图像上所有的点（）36 TFTF*1*1向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐标不变）63JTJTd d向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐标不变）6

7、3向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6冗”x= 3x曲线v=sin（x +=）经过伸缩变换后的曲线方程是；6/ 2y将曲线x2-y2 2x = 0变成曲线x2-16y2 4x= 0的伸缩变换是.1函数f （x）的图像是将函数log2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的 -，纵坐标变为原来1-而得到的，则与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是。2亠， 亠宀丄“ x=2x 在伸缩变换丿_y =y与！x=2x,y = 2y的作用下，单位圆x2y2=1分别变成什么图形?3.4.1

8、.2.3.A.B.C.D.4.5.6.的1.点（一 ,1）经过伸缩变换2x = 2x后的点的坐标是$ = 3y问题一：（1）点（2,-3）经过伸缩变换解：变式i. （1,-1）；1X二x1八3y后的点的坐标是r. 1- _（2）点（x, y）经过伸缩变换-2 后的点的坐标是（-2,6）,则x =, y 二=3y解：变式2.X = -4, y = 2问题二：（1）.曲线9x24y2=36经过伸缩变换,1xx2后的曲线方程是1八3yx2y2=1（2）曲线C经过伸缩变换xx3后的曲线方程是X2-y2=1兀1.点（，1）经过伸缩变换23.在伸缩变换2 2x y =4；x14.函数y：x，经过怎样的平移

9、变换与伸缩变换才能得到函数y=J?3x 1x解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、（先伸缩，再平移）1x3xy 伸长到原来的3倍:二右 得訂x伸长到原来的3倍:1%x)X“3(3X)x-1 X 11x1向左平移1个单位，再向下平移1个单位：（y，1）1 =得(x 1)-1X = 2x*后的点的坐标是y = 3yx =2x与伸缩变换x =2xy=yy=2yx = 2x解：在丿的作用下，单位圆变成椭圆4x2_9y2= 36，则曲线C的方程是（二，3）;的作用下，单位圆2 2x y =1分别变成什么图形?- -1* y2=1;在4x = 2x的作用

10、下，单位圆变成圆,y-2y方法二、（先平移，再伸缩）y313（x3）一11 1（y丿一331 y厂二9（9X）方法三、（平移与伸缩的交替运用）1x3x伸长到原来的3倍：y 二 13一计11向左平移1个单位3J1得y13 9x319x1再向下平移 个单位:3x伸长到原来的9倍:11一得y= 3 9x9x11一X3得3厂XX-1X-11x1向左平移1个单位：3y二11一（x+1）1y 伸长到原来的3倍：3（y） = 1十得y = 1十3xx11向下平移1个单位：y T = 1 得y二xx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。r I x= xy=4y,五，作业衣=3x一1点(x, y)经过伸缩变换丿

11、后的点的坐标是(3兀，-4)，则x=_X=TI,y = 2yy 二_y一2.6.函数f (x)的图像是将函数log2(x 1)的图像上各点的横坐标变为原来的-，纵坐标变为原来的丄而得到的，则与f (x)的图像关于原点对称的图像的解析式是。2解：7y =log2(x 1)以3x,2y分别代 x, y 得2y=log2(3x 1)11y log2(3x1)有f (x) log2(3x 1)，它的图像关于原点对称的图像的解析式是221y log2(1-3x)22将直线x-2y =2变成直线2x-y = 4的伸缩变换是3为了得到函数y=2sin(彳R的图像，只需将函数y=2sinx,x R的图像上所有

12、的点(C)A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移个单位长度,6】个单位长度,6个单位长度,6个单位长度,6再把所得各点的横坐标缩短到原来的再把所得各点的横坐标缩短到原来的再把所得各点的横坐标伸长到原来的再把所得各点的横坐标伸长到原来的4曲线y =sin(x+)经过伸缩变换16x = 3x后的曲线方程是y=2y1一 、倍(纵坐标不变)31倍(纵坐标不变)33倍(纵坐标不变)3倍(纵坐标不变)x兀y = 2si n( )36x = 2x5将曲线x2-y220变成曲线x2-16y24x0的伸缩变换是 y1y21典例剖析【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍后的点的

13、坐标:(1) (1,2);(2)(-2,-1).【例1】解：(1) (2,6); (2) (-4,-3).【变式与拓展1】x=2x【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换丿后的图形:,Y= 3y2 2(1)2x 3y = 0； (2)x y= 1.22【例2】解：(1)y= 0； (2)丄=149实用文档坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到1一f 2一点P(x,y).坐标对应关系为：y_y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变Ly-y换。思考2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其

14、坐标变换。设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来3倍, x =x得到点P(X,y).坐标对应关系为：通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。思考3:怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。代X =入 X (人 0)定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 :，八的作用下，点P(x,y)j = Ay, (y 0)对应P(x,y).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。将直线x - 2y = 2变成直线2x- y二4，分析：设变换为严八吠，仇0)，可将

15、其代入第二个方程，得2以_卩丫=4，与x2y=2比 y =卩，y,(4 0),较，将其变成2x-4y = 4,比较系数得=1卩=4.FX = X【解】(1)，直线x - 2y = 2图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍y = 4y可得到直线2x：y丄4。达标检测IxJxA2.点(x, y)经过伸缩变换2后的点的坐标是(-2,6),则x=_,y=_;ly=3yA4.将直线x-2y=2变成直线2x-yJ4的伸缩变换是x= 2xB6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换丿后的图形：十3y(1)2x 3y = 0；(2)x2y21.老城高中高二数学选修4-4导学案 编号

16、：极坐标系的的概念情境2:如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。(1)他向东偏60方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢?问题2:如何刻画这些点的位置?二、新课导学探究新知（预习教材P8P10,找出疑惑之处）1、如右图，在平面内取一个 _O，叫做_ ；自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做_；再选定一个_, 一个_（通常取_ ）及其_（通常取_ 方向），这样就建立了一个坐标表示，一个直角坐标对应个点。极坐标2、设 M 是平面内一点，极点 0 与 M 的距离|OM

17、|叫做点 M 的；以极轴 Ox系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只能对应个点。三、总结提升2.有关曲线伸缩变换的一般性结论:X,所确定的伸缩变换， 是按伸缩系数为 扎向着y轴的伸缩变换（当人1十y时，表示伸长；当1时，表示压缩），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍为始边，射线 0M 为终边的角 xOM 叫做点 M的_ ，记为_ 。有序数对_叫做点 M的_，记作_ 。3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？应用示例例题1:（1）写出图中A,B, C, D E,F,G各点的，记为n（2）:思考下列问题，给出解答。平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有少种表示方法？坐标不唯一是由

18、谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式?本题点 G 的极坐标统一表达式。答：反馈练习在下面的极坐标系里描出下列各点A(3,0A(3,0) )B(6,B(6, 2 2 ) )JIJIC C(3(3,2,2) )（这里P（x, y）是变换前的点，P（x,y）是变换后的点）.同理，由彳，所确定的伸y=y缩变换，是按伸缩系数为J向着X轴的伸缩变换（当丿1时，表示伸长；当1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，倍（这里P（x, y）是变换前的点,P（x,y）是变换后的点）.由彳= X,，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数k向着x轴和按My二y伸缩系数向着y轴的伸缩变换（当，1时

19、，表示伸长，：:：1时，表示压缩；当）1时,表示伸长，当1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的倍和倍（这里P（x, y）是变换前的点，P（x,y）是变换后的点）.问题一：（1）求点（2，-3）经过伸缩变换1 x x2后的点的坐标;1D D（5,5,）E E（3,3,）3 36 65 5兀G G（6,6,）3 3小结：在平面直角坐标系中，一个点对应（2）点（x,y）经过伸缩变换/V后的点的坐标是（-2,6）,求点（x,y）卜=3y.1X = X问题二：（1）.求曲线9x?+4y2=36经过伸缩变换t2后的曲线方程;,1八31x = - x（2）曲线C经过伸缩变换 1时，表

20、示伸长；当k 1时，表示伸长；当k 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍。这里P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点。 =?，所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。ky=y4,我生成的问题：2同样由.2x x3,3y y2x= y$= x3.在伸缩变换解：在丿B.D.3x x22xJ X 1y=y1x = 2x与伸缩变换丿,y- yx= 2x的作用下，单位圆X2+ y2= 1分别变成什么图形?y=2yx= 2xx2的作用下，单位圆变成椭圆一一+ y2= 1;在丿y= y4x= 2x的作用下，单位圆变成圆y=2y2 2X2y2= 4 ；x14

21、函数 yX，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y 二?3x 1x解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、(先伸缩，再平移)y 伸长到原来的3倍:1 x3y一3x -1得 y 竺3x-1x伸长到原来的3倍:厂计1111得 y _ 1 =-x-1 x-1x11一向左平移1个单位，再向下平移1个单位：(yT)-1得y(x+ 1)-1y=4y方法二、（先平移，再伸缩、1 1向左平移1个单位：3y =11-（x+1）1 x111y 伸长到原来的3倍：3（ y） =1：一得y=1 3xx11向下平移1个单位：y 1 =1 得y =xx评注：这是一道培

22、养发散思维能力的好题。,五，作业x = 3x1.点（x,y）经过伸缩变换丿后的点的坐标是（3兀，-4），则x=_x = n,*2yy _y2.x= 2x2 2 2 25.将曲线x -y +2x = 0变成曲线x -16y +4x= 0的伸缩变换是_ 1y=_ y/ 216.函数f （x）的图像是将函数log2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来31的1而得到的，则与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是。2解：7 y = log2（x 1）以3x,2 y分别代 x, y 得2y = log2（3x 1）11-y=log2（3x1）有f （x）二Iog2（3x 1），它

23、的图像关于原点对称的图像的解析式是221y=Iog2（1-3x）22将直线x -2y =2变成直线2x-y4的伸缩变换是1向左平移个单位：y31再向下平移_个单位:3x伸长到原来的9倍:x1313(x3)-11 1(y )-331y二19(9x)9x1方法三、（平移与伸缩的交替运用）x伸长到原来的3倍：y 二1一X313( x) -139xy1 x33 9xx-1 得3yx 1x11+-x13.为了得到函数y = 2sin（?+f） XW R的图像，只需将函数y=2sin x,XER的图像上所有的点36 （C）A.向左平移二个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐标不变）63TFTF*jB.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）63HTHTC.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3