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1、二次曲线中弦的中点有关问题的处理方法我们先看一个结论引理 设A、B是二次曲线C:上的两点,P为弦AB的中点,则。设A、B则(1) (2)得 即。(说明:当时,上面的结论就是过二次曲线C上的点P的切线斜率公式,即) 推论1 设圆的弦AB的中点为P(,则。(假设点P在圆上时,则过点P的切线斜率为) 推论2 设椭圆的弦AB的中点为P(,则。(注:对ab也成立。假设点P在椭圆上,则过点P的切线斜率为)推论3 设双曲线的弦AB的中点为P(则。(假设点P在双曲线上,则过P点的切线斜率为)推论4 设抛物线的弦AB的中点为P(则。(假设点P在抛物线上,则过点P的切线斜率为我们可以直接应用上面这些结论解决有关问
2、题,下面举例说明。例1求椭圆斜率为3的弦的中点轨迹方程。解:设P(x,y)是所求轨迹上的任一点,则有,故所示的轨迹方程为16x+75y=0 例2已知抛物线,一点P,求以P为中点的弦所在的直经方程。解: 设所求的直线的斜率为k,则,故所求的直线方程为y-1=3(x-4)即:例3已知直线l与圆相切于点T,且与双曲线相交于A、B两点,若T是线段AB的中点,求直线l的方程。解:设T(则由弦AB的斜率与中点坐标之间的关系得,设已知圆圆心为E,则E(-1,0),ABET,T在已知圆上, 直线l的为 即当时 则或,这时不存在,方程为也符合题设,综上得所求直线l的方程为。例4已知椭圆A、B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线l与x轴相交于P,求证:。证明:设AB的中点为T,由题设可知AB与x轴不垂直, lAB l的方程为: 令y=0 得 例5:已知抛物线C: ,直线要使抛物线C上存在关于对称的两点,的取值范围是什么?解:设C上两点A、B两点关于对称,AB的中点为P( P P在抛物线内 ,
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