《线段的垂直平分线》中一道题的变式

1、线段的垂直平分线中一道题的变式例 1 如图1,在厶ABC中，已知 AC=27, BC=23, AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点己，求厶BCE的周长.图1变式1：如图2，在厶ABC中，AB的垂直平分线交 AB于点D，交AC于 点 E,若/ BEC=70，则/ A= ?解析：由线段垂直平分线定理得出 AE=BE，可得 ABE是等腰三角形，由 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ”可得出/ BEC=2 / A，进而 得出/ A=35 .点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理 按照同样的方法，图2中 也能得出相应的结论：/ AEC=2 / B.变式2：如图3,在RtAABC中，

2、AB的垂直平分线交 BC边于点E.若 BE=2, / B =15°求：AC的长.解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得/ AEC =30。，再应用 直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半 ”性质，可出求 AC=1.点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质变式练习1如图4,在Rt ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2,Z B =22.5 求：AC的长.是等腰直角三角形,AE=2，再应用勾股定理得AC= 2例2:如图5,在厶ABC中，AB=AC, BC=12,Z B

3、AC =120° ,AB的垂直平分 线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求厶AEN的周长.(2) 求/ EAN的度数.(3) 判断 AEN的形状.MDEN图5解析：此题图形为一个顶角是钝角的等腰三角形， 两腰的垂直平分线都与底 边相交，(1)应用线段垂直平分线定理得出 AE=BE，AN=NC，因此 AEN的 周长等于BC的长.(2)应用变式1的结论/ AEN=2 / B=60°，/ ENA=2 / C=6C° 所以/ EAN=60 . (3)由(2)知厶AEN是等边三角形.变式练习2如图6,在厶ABC中，AB=AC, BC=12,Z BAC

4、 =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求厶AEN的周长.(2) 求/ EAN的度数.图6(3) 判断 AEN的形状.提示与答案：(1 ) AEN 的周长不变.(2 ) / AEN=2 / B=50°, / ENA=2 / C=50所以/ EAN=80 (3)由(2)知 AEN是等腰三角形.变式练习3如图7,在厶ABC中，BC=12,Z BAC =100° ,AB的垂直平分线交 BC边于 点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求厶AEN的周长.(2) 求/ EAN的度数.提示与答案：(1) AEN 的周长不

5、变.(2)Z AEN=2 / B，Z ENA=2 / C，因为/ B+ / C=80 所以/ AEN+ / ENA=160 所以/ EAN=20 .点评：例2和它的两道变式练习题中发现： 三个图形由特殊到一般，从顶角 是120 °的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形， AEN的形状也不断的变化，/ EAN的度数也变化，但 AEN的周长不变，因 此得出结论：1) AEN的周长=BC长.2) AEN的形状变化规律是由等边三角 形到等腰三角形到一般三角形，与厶ABC的形状有关.3) / EAN的度数与/ BAC 的度数有关因为/ EAN=180 -2Z B-2Z C=

6、180 -2 (/ B+ / C ) =180°-2(180°- / BAC ) =2/ BAC -180 ° .从等式中也得出/ BAC必须大于90°.变式练习4如图8,AABC中,/ BAC =70 , BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, ACM3 / 4N图8E的垂直平分线交BC边于点N.求:/EAN的度数.答案：/ EAN=40点评：由上题的方法得出/ AEC+ / BNA =2 / B+2 / C,由平角性质可得 ： / AEB+ / CNA=360 -( 2/ B+2Z C ),由三角形内角和定理得/ EAN=180 -2 / BAC总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题