对称,到角公式,夹角公式专题

1、直线方程补充材料一一“到角”公式，“夹角”公式，直线对称、翻折问题一、“到角”公式，“夹角”公式及其应用.“到角”的概念：li围绕li2的交点按逆时针方向转动，第一次和q重合时扫过的最小正角，称作 ll到12的角。 的范围：0o180o (“到角”只研究两直线相交的情况，0o且180°)到角公式：设 li2的斜率分别是 ki,k2, li 到 I2 的角tan.,.l2 1k2 k ： (90°)li与I2的夹角 ：规定形成角中不大于%且*叫条直线白夹角。li与12相交不垂直时的解锐角, 0°90°； R与彳2相交垂直时：，/Zoo；-人 的范围:0&#

2、176;90°夹角公式：tank2kiik2ki(90°)“到角”公式，解决。 如求li“夹角”公式使用范围:x 3与l2: y 2x 6的夹角2均不等于90°不适于使用公式的情形，常用数形结合例3求直线x y 2 0关于直线x 2y 1 0对称的直线方程若告诉两相交直线方程为一般式即li：AiXBiy Ci 0, l2 : A2XB2yC20,其中a2b2 0, - A2li的方向向量为方向向量 c°sli的方向向量为Bi二求li与l2夹角可以利用万向向量或法向量的刻回两条直线的夹角.B2 r ainr(Bi, Ai), l2的方向向量为b (B2,

3、A2) , li与l2的夹角为r ra b-rr-|a| |b|(Ai,Bi)BF2 £ Ai)( A2)"Bi2 ( Ai)2 屁(A2)2ur,l2的方向向量为(A2,B2),li与l2夹角为c°sAA2 BiB2u uruurI I I I例i已知三角形 ABC三点的坐标分别为 A(i,2),B(0,3),C(3,6),求 A角平分线的直线方程例2等腰三角形一腰所在直线l1： x 2y 2 0,底边所在直线l2： x y i 0 ,点(2,0)在另腰上，求这腰所在直线l3的方程.例4直线l过点（1,0）且被两条平行直线 3x y 6 0和3x y 3 0所截

4、得的线段长为 9,求直线l 的方程.二、直线上两点的距离公式 .已知直线y kx b上有两点 A(x1, y1), B(x2, y2)，那么AB (xi x2)2 (yi y2)2(8 x2)2 kx b (k?x b)2(x1 x2)2 kx1 b (kx2 b)2、(x1 x2)2 (kx1 kx2)2(1-k2)(x1x2)2 (1-k2)|xi x2|即 AB .(1 k2)|xi x2 |y1 by2 b ,Q x1 k，x2k (k 0)AB (1 k2)|x1x2|(1 k2)| 江31V|,(1 ，)1% y2l (k 0)k k k即 AB ,(1：2)|y1 y2|(k 0

5、)例5已知直线y kx 4(k 2)与曲线y x2 x 3有交点吗，若有交点，交点距离的取值范围是多 少？三、点关于点的对称问题方法：解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解 .另外此题有可以利用中点的性质AB BC ,以及A,B,C三点共线的性质去列方程来求解 .点关于点的对称问题，是对称问题中最基础 最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解例 9 求直线 l 1 : x y 1 0 关于直线l2 : x y 1 0 对称的直线l 的方程 .例 6 求点 A(2,4) 关于点 B(3,5) 对称的点C 的坐标 .四、点关于直线的对称问题方法：点关于直线的对

6、称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于1 ，两点的中点在已知直线上.例 7 求点A(1, 3) 关于直线l : x 2y 3 0的对称点A 的坐标 .五、直线关于某点对称的问题方法一：利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点(对称中心)到此两直线距离相等，而求出常数项 .方法二：转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程 . 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的 . 我们往往利用平行直线系去

7、求解. ，使问题解决.例 8 求直线 2x 11 y 16 0 关于点 P(0,1) 对称的直线方程.六、直线关于直线的对称问题方法：直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行，两直线相交对于，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解或利用平行直线间的距离公式求解； 对于，其一般解法为先求交点，再用“到角”公式求出斜率，或是转化为点关于直线对称问题例 10 试求直线l 1 : x y 2 0 关于直线l 2 : 3x y 3 0 对称的直线l 的方程 .直线对称特殊情况方法提炼：(1) 一般的，求与直线axbyc0关于xa0对称的直线方程，先写成a(2a0 x)byc0的形式，再写成ax

8、by 2aa0 c 0 形式，即是所求值.(2) 一般的，求与直线axbyc0关于yb0对称的直线方程，先写成axb(2b0y)c0的形式，再写ax by 2bb0 c 0 成形式，化简后即是的求值.(3) 一般的，求与直线axbyc0关于原点对称的直线方程，只需把 x换成 x ,把y换成y,化简后即为所求，即axbyc 0 .( 4)一般地直(曲)线f (x, y) 0关于直线y x c 的对称直(曲)线为f (y c, x c) 0 即把f(x,y) 0中的x换成y c, y换成x c即可.(5) 一般地直(曲)线f(x,y) 0关于直线y x c的对称直(曲)线为f( y c, x c) 0.即把 f (x, y) 0 中的 x 换成 y c, y 换成 x c .注：1、直线的平移参照高一上函数图象的平移方法.(左右平移满足对“一个 x”： “左加右减”，上下平移满足