函数导数中的恒成立问题解题技巧

1、临沂市高三二轮会材料函数导数中的恒成立问题解题技巧函数导数中的恒成立问题解题技巧新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题, 根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种.一、 利用函数的性质解决恒成立问题例 1 已知函数f (x) x3 (1 a)x2 a(a 2)x b (a,b R) (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间(1,1)上

2、不平叫，求a的取值范围.解：(1)由题意得 f (x) 3x' 2x2 4x 3(2)由(1)知，f x 16ln 1 x x2 10x,x1, f x 1 x当 x 1,1 U 3, 时，f' x 0;当 x 1,3 时，f' x 0 .所以f x的单调增区间是1,1 , 3, f x的单调减区间是1,3 . 2(1 a)x a(a 2)又fJ'aN3'解'a(2)函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于导函数f触)在(1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数f触)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f ( 1)f (

3、1) 0, 即：3 2(1a) a(a2)3 2(1 a) a(a 2) 0整理得：(a 5)(a 1)(a 1)2所以a的取值范围是a 5 a 1 .【方法点评】利用函数的性质解决包成立问题，主要是函数单调性的应用，函数 在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点， 利用函数零点的存 在性定理即可解决问题.二、利用数形结合思想解决包成立问题例2已知x 3是函数f x aln 1 x x2 10x的一个极值点.(1)求 a ;(2)求函数f x的单调区问；(3)若直线y b与函数y f x的图象有3个交点，求b的取值范围.【方法指导】(1)在极值点处导数为零，可以求a的值；(2)求函

4、数的单调区问借助f (x) 0可以求出单调递增区间，f (x) 0可以求出单调递减区间；(3)根据函数f(x)的单调性可以求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出b的取值范围.解：(1)因为 f' x -a- 2x 10,所以 f 3- 6 10 0,因此 a 16.1 x4(3)由(2)知，f x在 1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在 3, 上 单调增加，且当x 1或x 3时，f x 0f 3321n2 21所以f x的极大值为f 1161n 2 9,极小值为因止匕 f 16162 10 16 161n 2 9 f 12f e2 132 1121 f 3所以在f x的三

5、个单调区间 1,1 , 1,3 , 3,yb有y f x的图象各有一个交点，当且仅当因此，b的取值范围为321n 2 21,161n2 9 .【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、 单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点 问题解决.三、分离参数解决包成立问题例3已知函数f(x) 1n x a ,x(1)当a 0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x) x2在(1,)上恒成立，求a的取值范围.x a2x【方法指导】(1)通过判断导数的符号解决；(2)由于参数a是“孤立”的，可 以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等

6、解决.解：(1)由题意：f(x)的定义域为(0,)，且f (x)? x xQa 0, f (x) 0,故f(x)在(0,)上是单调递增函数.(2) f (x) x2, In x a x2又x 0, a xln x x3 x6x *人Q91令g(x) xIn x x ,h(x) g (x) 1 In x 3x , h (x)xQh(x)在1,)上是减函数， h(x) h(1)2,即 g(x) 0,g(x)在1,)上也是减函数，g(x) g(1)1 .令 a 1 得 a g(x),.当f(x) x因为 gmin(x) = g(-) =h(1) =hma(x), e所以当 x>0 时，g(x)

7、>h(x),即 f(x)>1.五、不等式中的包成立问题在(1,)恒成立时，a的取值范围是aa 1 .【方法点评】分离参数是包成立问题中的一种重要解题方法，分离参数后，构造新函数，求新函数的最值即可解决包成立问题中的参数取值范围.四、利用两个函数的最值解决包成立问题 x -1be例4 2014 新课标全国卷I 设函数f(x)=aeln x +,曲线y = f(x)x在点(1, f(1)处的切线方程为y = e(x1)+2.(1)求 a, b；(2)证明：f(x)>1.解：(1)函数 f (x)的定义域为(0 +00) f' (x) = aexln x+-ex2ex-1+

8、-ex x x x1 .由题意可得 f(1) =2, f' (1) =e,故 a= 1, b=2.、_.一>,一 .x2 x1 .x(2)证明：由(1)知，f(x)=eln x+xe ,从而 f(x)>1 等价于 xin x>xe2.e设函数 g(x) =xln x,则 g' (x) = 1+ln x,所以当 xC(0,1)时，g' (x)<0；当 xC(L )时,g' (x)>0. ee一 .11故g(x)在(0,-)上单调递减，在(-,)上单调递增，从而g(x)在(0, +OO)ee一一， 11上的最小值为g(1)=1.- ee

9、设函数 h(x) = xe x -则 h' (x) =e-x(1 x).所以当 x (0 , 1)时，eh' (x)>0；4xC(1, +oo)时，h' (x)V0.故h(x)在(0 , 1)上单调递增，在(1 , +8)上单调递减，从而h(x)在(0, 十°°)上的最大值为h(1) =-1.e例 5 (2016 ?山东)已知 f(x) a(x ln x)(1)讨论f(x)的单调性；2x 1-,a R. x3 .(2)当a 1时，证明f(x) f (x) 士对于任意的x 1,2恒成立.22解：(1) f(x)的定义域为(0,), f(x) a

10、a -22 -23 -2yx 1)x x xx当a 0时,若x (0,1),则f (x) 0, f(x)单调递增，若x (1,)，则f (x) 0, f(x)单调递减.当 a 0时，f (x)注6(x 岛x J2). x. a y a(i)当0 a 2时，左1.当 x (0,1)或 x (J,)时，f (x) 0, f(x)单调递增.当 x (1,J2)时，f (x) 0,f(x)单调递减.(ii)当a 2时，J2 1,在区间(0,)内，f (x) 0,f(x)单调递增.(iii) 当 a 2时，0 J| 1.当 x (0,J|)或 x (1,)时，f (x) 0, f(x)单调递增，当x (

11、J|,1)时，f (x) 0, f(x)单调递减.综上所述，当a 0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减;当0 a 2时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，；)上单调递减，在()；，)上单调递增；当a 2时，”*)在(0,)上单调递增； 当a 2时，f(x)在(0, 专上单调递增，在(亲1)上单调递减，在(1 ,+ 8)上单调递增.证明：由(1)知，当a 1时,f (x) f (x) x In x2x 12- x(1 -312x In x2-1xxxx 1,2设 g (x) x In x,h(x)312-1,x 1,2,则 f (x) f (x) g(x) h(x)

12、. x xx,x 1由g(x) 0,可得g(x) g(1) 1 ,当且仅当x 1时取得等号. x2 _-3x2 2x 6.又h(x) 4.设(x) 3x 2x 6,则 (x)在1,2上单调递减.x因为(1) 1, (2)10,所以x0(1,2),使得当x(1,%)时,(x) 0, x (x0,2)时，(x) 0.所以h(x)h(x)在(1,x。)上单调递增，在(x0,2)上单调递减.11由 h(1) 1,h(2),可得 h(x) h(2)-, 22当且仅当x 2时取得等号.3所以 f(x) f (x) g(1) h(2)二，23即f (x) f (x) 一对于任忠的x 1,2成立. 2六、利用

13、包成立问题求参数的取值范围1+x例6 (2015 北乐)已知函数f(x) ln。 1 x(1)求曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；x3求证：当 x (0,1)时，f (x) 2(x );x3(3)设实数k使得f(x) k(x )对x (0,1)包成立，求k的最大值。 31 x解：(1) f(x) ln -,x ( 1,1),f'(x)1 x12, f '(0) 2, f(0) 0 ,所以切线万程1 x为y 2x3(2)原命题造价于任意x (0,1), f (x) 2( x ) 0 ,3设函数F(x) ln(1x) ln(1x)F'(x)2x4 o1 x2

14、(0,1)时，F '(x) 0函数F(x)在x (0,1)上是单调递增函数。F(x)F(0) 0因此任意(0,1), f(x)由知，当kx3、2时，f (x)>k(x -)对 xC (0 , 1)恒成立.3x3I ,当 k>2 时，令 h(x) =f(x) k(x )，则3h，(x)=f，(x)k(1+x2) =kx4 (k-2)1-x2所以当0q<2时，h' (x)<0,因此h(x)在区间(0,4区忆2)上单调递减.一， 4 .1k2 ,一一x3故当 0<x<J-k时，h(x)<h(0) =0,即 f(x)<k(x ?.x3 、

15、，,t所以当k>2时，f(x)>k(x *)并非对xC(0, 1)恒成立. 3综上可知，k的最大值为2.【方法总结】研究不等式f (x) 0在区间A上恒成立，求其中参数a的取值范围问题，一般有两种方法：直接转化为研究带参数的动态函数y f(x)在区间A上的最小值.由于函数y f(x)带有参数，它在.区间A上的单调性会由于参数a的不同而变化，因此需要分类讨论.由于函数 y f(x)的单调性和其导函数在区间A上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数y f (x)在区间A上的零点个数进行分类讨论.问题(2)中的方法一就是遵循这一思路；是将不等式f(x) 0作变形，将参数a和变量x进行分离

16、，将不等式转化为h(a) g(x)(或h(a) g(x),利用极值原理，将问题转化为研究函数y g(x)在区间A上的最大值(或最小值)的问题.七、变形构造函数解答包成立问题例 7 已知函数 f(x) ln2(1 x) 21n(1 x) 2x.(1)求证f (x)在区间(0 , 1)上单调递减;(2)若不等式(1 1)2n a e2(e是自然对数的底数)对任意的n N*都成立， n求实数a的最大值.【方法指导】(1)这是一个函数的单调性问题，所以用导数法，即证明函数f (x)在区间(0, 1)上的导函数恒小于零；(2)先将不等式(1 1)2na e2两边取自然对 n数，转化为a 1 n包成立，再

17、用导数法求函数G(x) 1 1在2 1n(1 1)1n(x 1) 22 2(1x)1n2(1 x)nx (0,1上的最小值即可.解：(1) f(x) 21n(1 x) x,1 x1. 一设函数 g(x) 1n(1 x) x,当 x (0,1)时，g (x) 1 0,1 x所以函数g(x)在x (0,1)上单调递减，所以g(x) g(0) 0 ,所以f (x) 0在x (0,1)上包成立，所以函数f(x)在x ( ,1)上单调递减. 不等式(1 1)2n a e2等价于不等式(n a)1n(1 1) 1 , n2 n1 . a 111由 1 1 知，a n, 设函数 G(x) - , x (0,1,n2 1n(1)1n(x 1) xnG(