初高中数学衔接教案

1、第一讲 数与式1.1 数与式的运算1 .1.1,绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝 对值仍是零.即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.练 习2 .填空：(1)若 x 5,贝 1 x=；若 x 4 ,贝1 x=.(2)如果 a b 5,且 a 1J!Jb=；若1 c 2JiJc=.3 .选择题：下列叙述正确的是()(A)若 ab,则 a b(B)若 ab ,则 ab(C)若 ab,贝1J a b(D)若 ab,则 a b4 .化简：|x-5|- |2

2、x-13| (x>5).1.1.2.乘法公式(1)平方差公式(ab)(a b) a2b2；(2)完全平方公式(a b)2 a2 2ab我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b2.(1)立方和公式(ab)(a2 ab b2)a3 b3;(2)立方差公式(ab)(a2 ab b2)3.3a b ;(3)三数和平方公式(ab c)2 a2b22c 2(ab bc ac);(4)两数和立方公式(ab)3 a3 3a2b3ab2 b3 ;(5)两数差立方公式(ab)3 a3 3a2b3ab2 b3 .对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：例 1

3、 计算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2例2 已知a b c练 习1.填空：(1)- a2 - b2 ( b942，,、2(2) (4m)22(3) (a 2b c) a2.选择题：4, ab bc ac1、-a)316m24mx 1).4 ,求 a2);)；b2 c2的值.224b c ().21(1)右x mx k是一个完全平万式，则 k等于 221212(D) m216(A)m(B) -m(C) - m(2)不论a , b为何实数,(A)总是正数(C)可以是零22a b 2a 4b 8 的值(B)总是负数(D)可以是正数也可以是负数1.1.3. 二次根式一般地，形如后(a 0)

4、的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽 方的式子称为无理式.例如3a后2b 2b , Va2b2等是无理式，而V2x2x 1 ,x2/xy y2, 702等是有理式.1 .分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做 分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需 要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如逝与我 , 3n与 ,曲娓与石6e,2733质与2百3衣，等等. 一般地，aVx与& ,aTxbjy与aa bQ , ax/x b与aTx b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子

5、都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过 程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要 运用公式石声 画a 0,b 0);而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然 后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础 上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式Ja2的意义例1将下列式子化为最简二次根式：(1) 712b;(2)出吊(a 0)；(3) J4x6y(x 0).例 2 计算：73 (3 73).例3试比较下列各组数的大小：(1)屈如和布加；(2

6、) =2和2我一展.,6 4例4化简：(百 扬2004 (内72) 2005.例 5 化简：(1)。9 4/5;(2) Jx2 口 2(0 x 1).例6已知x 率一£,y 埠!，求3x2 5xy 3y2的值. 3232练 习1 .填空：(1) $;1 .3(2)若 7(5x)(x3)2(x 3)J5x,则 x 的取值范围是 _=；(3) 4后 6屈 3屈 27150 ；/、代 r 5 x 1 x 1(4)若X 匚，则J 一 J2, x 1 x 1、,x 1 x 1,x1x-12.选择题:等式(A)遮成立的条件是x 2（B） x 0(C) X 2(D) 0 X3.若b1一&

7、a ，求 a b 的值.a 14.比较大小：2电率币（填税“，或Z"）.1.1.4 ,分式1.分式的意义形如A的式子，若B中含有字母，且B 0,则称公为分式. BB当MWO时,分式：具有卜列性质:上述性质被称为分式的基本性质.2,繁分式a像_ cm n p2m这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.n P 5x 4 x(x 2)解得A 2,B(D试证:Bx 23.1,求常数A,B的值.(2)计算:n(n 1)1_1 2 2（其中n是正整数）；11；9 10证明:对任意大于1的正整数n,n(n 1) 2且 e> 1, 2c25ac+ 2a2=0,求e的值.练习1.填空题:对

8、任意的正整数n,1n(n 2)11(-);n n 22.选择题:代 2x y 2 x右y _ ,则一=x y 3 y(D)/ 、, 、5(A) 1(B) 423.正数x, y满足x4.计算1 .解不等式： x 1 3；(3) x 1x 12x y .y 2xy ,求的值.x y11 .3 499 100习题1 .(2) x 36.2 .已知x y 1,求x3 y3 3xy的值.3.填空：(1) (2 痣)18(2 点)19=；(2)若7(1 a)2 J(1 a)2 2 ,则a的取值范围是 ；11111(3) ：1 12、2.3、3,4、4.5.5,61. 2分解因式因式分解的主要方法有：十字相

9、乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还 应了解求根法及待定系数法.1 .十字相乘法例1分解因式：(1) x2-3x+2;(2) x2+4x12;22(3) x (a b)xy aby ;(4) xy 1 x y .解：(1)如图1. 21,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成-1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是x2-3x+ 2中的一次项，所以，有x2-3x+ 2=(x1)(x 2).图 1. 2 4by说明:x冷变在分解与本例类觊”次主项式时1汉冲接解图 来表示(如图6、2二2所示)1_216(2)而 3 2123,得图 1 2_ 2图 1

10、, 2-3x2 + 4x- 12= (x 2)(x+6).(3)由图1. 24,得22x (a b)xy aby = (x ay)(x by)(4) xy 1 x y =xy+ (x y) 1= (x1) (y+1)(如图 1. 2-5 所示)2 .提取公因式法与分组分解法例2分解因式：(1) x3 9 3x2 3x ;(2) 2x2 xy y2 4x 5y 6.2222(2) 2xxy y 4x 5y 6 = 2x (y 4)x y5y 6= 2x2 (y 4)x (y 2)(y 3) = (2x y 2)(x y 3).或2 2 2 2、2x xy y 4x 5y 6 = (2x xy y

11、 ) (4x 5y) 6= (2x y)(x y) (4x 5y) 6= (2x y 2)(x y 3).3 .关于x的二次三项式ax2+bx+c(a喇的因式分解.若关于x的方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1、x2 ,则二次三项式 ax2 bx c(a 0)就可分解为 a(x x1)(x x2).例3把下列关于x的二次多项式分解因式：(1) x2 2x 1;(2) x2 4xy 4y2.练 习1 .选择题：多项式2x2 xy 15y2的一个因式为()(A) 2x 5y (B) x 3y (C) x 3y(D) x 5y2 .分解因式：(1) x2+6x+ 8;(2) 8a3b

12、3;(3) x22x 1；(4) 4(x y 1) y(y 2x).习题1. 21.分解因式：3. 42 一(1) a 1； 4x 13x9；2222(3) b c 2ab 2ac 2bc ；(4) 3x 5xy 2y x 9y 4.2.在实数范围内因式分解：(1) x2 5x 3 ；(2)x22>/2x3；22222(3) 3x 4xyy ；(4)(x2x)7(x2x) 12 .2. 223 . ABC三边a, b, c满足ab c ab bc ca ,试判定 ABC的形状.4 .分解因式：x2+x (a2 a).第二讲函数与方程我们知道，对于一元二次方程( b、(x 丁)2a,2b

13、4ac4a22.1 一元二次方程ax2+bx+ c=0 （a为），用配方法可以将其变形为因为a为，所以，4a2>0.于是(1)当b24ac>0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数 根b b2 4acX1, 2-；2a(2)当b24ac= 0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 b X1 =X2=；2a(3)当b24ac<0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 (x E)2 一定大于 2a或等于零，因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (a为)的根的情况可以由b2 4ac来判定，我 们把b24ac叫做一元二次

14、方程ax2+bx+ c=0 (a冷)的根的判别式，通常用符号”反表 示.综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (aO),有(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根b . b2 4acx1 2-；2a(2)当A= 0时，方程有两个相等的实数根b x1 = x2=；2a(3)当A<0时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出 方程的实数根.(1) x2-3x+ 3=0;(2) x2 ax 1 = 0;(3) x2-ax+ (a1) = 0；(4) x22x+a = 0.说明：在第3, 4小题中，方程的根的判别式的符号随着

15、a的取值的变化而变化，于是， 在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分类讨论.分类讨论这一思想 方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问 题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0 (a为)有两个实数根b . b2 4ac2ax2b . b2 4ac2a则有x1x2xx2所以,bb2 4ac2abb2 4ac b2abb2 4ac2ab2 4ac2ab22b2a(b24a2a4ac)4ac c一4a a次方程的根与系数之间存在下列关系:bc 、如果ax2+bx + c=0 (a加)的两根分别是 xi, X2

16、,那么xi + x2= - , xi x2=.这一 aa关系也被称为韦达定理.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+ q=0,若xi, x2是其两根，由韦 达定理可知xi + x2= p, xix2=q,即p= (xi + x2), q = xix2,所以，方程 x2+px+ q = 0可化为x2 (xi + x2)x+xi x2 = 0,由于xi, x2是一元二次方程 x2+px+q = 0的两根，所以，xi, x2也是一元二次方程x2(xi + x2)x+ xix2=0.因此有以两个数xi, x2为根的一元二次方程(二次项系数为i)是2x (xi + x2)x + xi x2

17、= 0.例2已知方程5x2 kx 6 0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.例3已知关于x的方程x2+2(m2)x+m2+4 = 0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大2i,求m的值.例4已知两个数的和为4,积为一i2,求这两个数.例5 若xi和x2分别是一兀二次方程2x2+5x3=0的两根.(i)求| xi 刈的值;i i(2)求 的值；xi x2(3) xi3+x23.例6若关于x的一元二次方程练 习i .选择题：(i)方程 x2 2 , 3kx 3k2x2x+a4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数0的根的情况是a的取值范围.(A)有一个实数根(C)有两个相等的实数根

18、(B)有两个不相等的实数根(D)没有实数根(2)若关于x的方程mx2 +( ) i(A) m< 一4一i 口C(C) mv ，且 mw 042.填空：(2m+i)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数- i(B) m>4ii L 。(D) m>,且 mw 0)m的取值范围是i i(i)右方程 W3xi = 0的两根分别是 xi和x2,则 一 =xi x2(2) 方程 mx2+x 2m = 0 (mwQ)的根的情况是 .(3)以一3和i为根的一元二次方程是 .3.已知Ja2 8a i6 |b i| 0,当k取何值时，方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根?4,已知方程x2

19、3xi= 0的两根为xi和x2,求(xi3)( x23)的值.习题2.ii.选择题：(i)已知关于x的方程x2+kx2=0的一个根是i,则它的另一个根是()(A) 3(B) 3(C) -2(D) 2(2)下列四个说法：方程x2+2x7 = 0的两根之和为2,两根之积为7;方程x22x+7 = 0的两根之和为2,两根之积为7;方程3 x27= 0的两根之和为0,两根之积为 ；3方程3 x2+2x= 0的两根之和为一 2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个(3)关于x的一元二次方程 ax25x+ a2+a=0的一个根是0,则a的值是()(

20、A) 0(B) 1(C) T(D) 0,或12 .填空：(1)方程kx2+ 4x 1 = 0的两根之和为一 2,则k =.(2)方程2x2x4 = 0的两根为a, &则02+伊=.(3)已知关于x的方程x2ax3a =0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程 2x2+2x 1 = 0 的两根为 x1和 x2,则 | x1一x2|=.3 .试判定当 m取何值时，关于 x的一元二次方程 m2x2(2m+1) x+1 = 0有两个不相等的实数根？有两 个相等的实数根？没有实数根？4 .求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2-7x-1 = 0各根的相反数.2. 2二次函数2.2.1二

21、次函数y=ax2+ bx+c的图像和性质二次函数v= ax2(a毛)的图象可以由v= x2的图象各点的纵坐标变为原来的 a倍得到.在 二次函数v= ax2(a为)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口 的大小.二次函数y=a(x+h)2+k(a冷)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且 h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且k正上移，k负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y = ax2 + bx + c(a毛)的图象的方法:由于 y=ax2 + bx+ c= a(x2+ bx) + c= a(x2 +

22、 bx +a2/ b、2 b 4aca(x ),2a 4a为+ c4ab24a2a所以，y=ax2+bx+ c(a冷)的图象可以看作是将函数 y= ax2的图象作左右平移、上下平 移得到的，于是，二次函数 y=ax2+bx+ c(a为)具有下列性质：(1)当a>0时，函数y = ax2+bx + c图象开口向上；顶点坐标为,b 4ac b2、( ,),对称轴为直线 x2a 4a旦；当x<2a函数取最小值y =-b-时，y随着x的增大而减小；当 x> -b时，y2a2a4ac b2 .4ab随着x的增大而增大；当 x= 时, 2ab 4ac b2、(一,)，对称轴为直线 x2a

23、 4ab 随着x的增大而减小；当 x= 时,(2)当a<0时，函数y = ax2+bx +c图象开口向下；顶点坐标为当x< -'时，y随着x的增大而增大；当 x> -'时，y 2a2a2a- 4ac b2函数取最大值y=b .4a例1求二次函数y=3x2 6x+ 1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值(或最 小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.例2把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移 2个单位，再向左平移 4个单位，得到函数 y=x2的图像, 求b, c的值.例3 已知函数y=x2, 2<xa,其中a

24、> 2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最 小值时所对应的自变量 x的值.练 习(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是(A) y=2x2(B) y=2x2-4x+2(C) y= 2x21(D) y=2x24x(2)函数 y=2(x1)2 + 2 是将函数 y= 2x2(A)向左平移1个单位、 (B)向右平移2个单位、 (C)向下平移2个单位、 (D)向上平移2个单位、2.填空题再向上平移2个单位得到的再向上平移 1个单位得到的再向右平移 1个单位得到的再向右平移1个单位得到的(1)二次函数y=2x2mx+ n图象的顶点坐标为(1, 2),则m=, n =.(2)已知二次

25、函数y=x2+(m-2)x-2m,当m=时，函数图象的顶点在 y轴上；当m =时, 函数图象的顶点在 x轴上；当m =时，函数图象经过原点.(3)函数y=3(x + 2)2+5的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ; 当x=时，函数取最 值y =;当x 时，y随着 x的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y随x的变化情况，并画出其图象.(1) y= x22x3;(2) y=1 + 6 x x2.4,已知函数y=- x2-2x+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并 求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1) x02;

26、 (2) xW& (3) 2 虫wi； (4) 0 a W32.2.2二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式:1 . 一般式：y= ax2+ bx+ c(a毛)；2 .顶点式：y= a(x+ h)2+k (a为)，其中顶点坐标是(一h, k).3 .交点式：y=a(x xi) (x x2) (a)，其中xi, x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线 y = x+ 1上，并且图象经过点(3, 1),求二次函数的解析式.例2已知二次函数的图象过点 (一3, 0), (1, 0),且顶点到x轴的距离等

27、于2,求此二次函数的表达式.例3已知二次函数的图象过点(一1, 22), (0, 8), (2, 8),求此二次函数的表达式.练 习1 .选择题：(1)函数y= x2+x1图象与x轴的交点个数是()(A) 0个(B) 1个(C) 2个(D)无法确定1(2)函数y= - 2 (x+ 1)2+2的顶点坐标是()(A) (1, 2)(B) (1, 2)(C) ( 1, 2)(D) (1, 2)2 .填空：(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(一1, 0)和(2, 0),则该二次函数的解析式可设为y=a(aw 0) .(2)二次函数y=x2+243x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 .3 .

28、根据下列条件，求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1, 2), (0, 3), (1, 6);(2)当x=3时，函数有最小值 5,且经过点(1, 11);(3)函数图象与x轴交于两点(1 -2, 0)和(1 +虚，0),并与y轴交于(0, 2).习题2. 21 .选择题：(1)把函数y=- (x- 1)2+4的图象的顶点坐标是()(A) (1, 4)(B) (1, 4)(C) (1, 4)(D) (1, 4)(2)函数y= x2+4x+6的最值情况是()(A)有最大值6(B)有最小值 6(C)有最大值10(D)有最大值2(3)函数y = 2x2+4x5中，当一3<x< 2时，则y

29、值的取值范围是()(B) 3可W 1(B) 7可 W 1(C) 7可 W 11(D) 79112 .填空：(1)已知某二次函数的图象与x轴交于 A(-2, 0), B(1 , 0),且过点 C (2, 4),则该二次函数的表达式为.(2)已知某二次函数的图象过点(1, 0) , (0, 3) , (1, 4),则该函数的表达式为 .3 .把已知二次函数y=2x2 + 4x+7的图象向下平移 3个单位，在向右平移 4个单位，求所得图象对应的函数表达式.4 .已知某二次函数图象的顶点为A(2, 18),它与x轴两个交点之间的距离为 6,求该二次函数的解析式.2.3方程与不等式2.3.1 二元二次方

30、程组解法方程是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2的整式方程，这样的方程叫做元二次方程.其中x2,2xy , y2叫做这个方程的二次项，x , y叫做一次项,6叫做常数项.我们看下面的两个方程组：第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组.下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法.一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例1解方程组例2解方程组练习1,下列各组中的值是不是方程训的解？(Dx 2,y 3;(2)x 3,y 2;

31、(3)x 1,y 4;(4)2,3;2.解下列方程组:(1)(3)y x 5, 22x2y 625;22工L 1, 54y x 3;(2)(4)x y 3,xy 10;y2 2x, x2 y2 8.2.3.2一元二次不等式解法(1)当A>0时，抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x轴有两个公共点(xi, 0)和(x2, 0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1和x2(x1 < x2),由图2.3 2可知不等式ax2+bx+c>0的解为x<x1 ,或 x>x2；不等式ax2+ bx+c<0的解为x1 <x< x2 .(2)当

32、A= 0时，抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根不等式，x 二 x2 = ?,由图2.3 2可知 2aax2+bx+c>0 的解为b不等式(3)2a ；ax2+ bx+ c< 0 无解.如果< 0,抛物线y=ax2+bx+ c (a>0)与x轴没有公共点，方程 ax2+bx+ c0没有实数根,由图2.3 2可知不等式ax2+bx+ c>0的解为一切实数;不等式ax2+bx+ c<0无解.例3解不等式：(1) x2+2x-3<0;(3) 4x2+4x+ 1>Q(5) -4

33、+ x-x2<0.(2) x-x2+6<0;(4) x26x+9<0;例4已知函数y= x22ax+1(a为常数)在一2<x<l上的最小值为 n,试将n用a表示出来. 练 习1 .解下列不等式：(1) 3x2-x-4>0;(3) x2+3x 4>0;(2) x2-x-12<Q(4) 16-8x + x2<0.2.解关于x的不等式x2+2x+1-a2<0 (a为常数).习题2.1.解下列方程组:2x(1)(3)4x2x2 x1,y2y2 y2 0；(x x3)22yy29,0；4,2.2.解下列不等式：(1) 3x22x+1<0;

34、(3) 2x x2A 1; 3x2-4<0;(4) 4 x2< Q第三讲三角形与圆3.1 相似形3.1.1. 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例如图 3.1-2, l1/l2/l3,有AB=里.当然，也可以得出 当 匹.在运用该定理解决问BC EF题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是 例 1 如图 3.1-2, I1/I2/I3,AC DF对应”线段成比例.且 AB = 2,BC = 3,DF = 4,求 DE , EF .例2 在VABC中,D,E为边AB,AC上的点,DE /BC ,AD AE求证：AB ACDEBC平行于三角形的一边的

35、直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角 形的三边对应成比例. AB BD例3 在VABC中，AD为DBAC的平分线，求证： =.AC DC例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两 边之比）.练习11.如图3.1-6, l"/l2l3,下列比例式正确的是（a adA.DFc CEC.DFCEBCADBCB.如BED”DFBCAFBECE11图 3.1-62.如图 3.1-7, DE / BC,EF /AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2

36、cm,求 BF .3.如图，在VABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=47m,BC=7cm,求BD的长.图 3.1-83.1. 2.相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有 哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，DBAC为直角，AD人BC于D .求证：（1） AB2 = BD?BC , AC2 = CD?CB ;D2(2) AD2 = BD?CD练习21 .如图3.1-15, D是VABC的边AB上的一点，过 D点 质作DEBC交AC 于 E.已知 AD: DB=2: 3,则 Svade : S

37、g边形bcde 等于/（）A. 2:3 B, 4:9 C. 4:5 D, 4:21/、2 .若一个梯形的中位线长为15, 一条对角线把中位线门图3.1-15分成两条线段.这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是 .3 .已知：VABC的三边长分别是 3, 4, 5,与其相似的VA'B'C'的最大边长是 15,求VA'B'C'的面积 Sva'b'c'.4 .已知：如图 3.1-16,在四边形 ABCD中，E、 分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1）请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明 由；（2）若四边形ABC

38、D是平行四边形，对角线AC、 满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方习题3.11 .如图 3.1-18 , VABC 中，AD=DF=FB , AE=EG=GC, FG=4,则（）A. DE=1, BC=7B, DE=2, BC=6C. DE=3, BC=5D, DE=2, BC=82.如图 3.1-19, BD、CE是VABC 的中线，P、Q分CE的中点，则PQ:BC等于（）A. 1: 3 B. 1: 4C. 1: 5 D. 1: 6F、G、H理BD形？别是BD、3 .如图3.1-20, Y ABCD中，E是AB延长线上一点，BC 于点 F,已知 BE: AB=2: 3, Svbef = 4

39、,求4.如图3.1-21,在矩形 ABCD中，E是CD的中点， BE A AC交 AC 于 F,过 F 作 FG/AB 交 AE 于 G,证：AG2 = AF?FC.DE 交SVCDF .求图 3.1-213.2 三角形3. 2. 1三角形的四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2: 1.已知 D、E、F分另I为VABC三边BC、CA、AB的中点，闵323求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成 2: 1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的 三

40、角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的 相等.（如图3.2-5）例 2 已知VABC的三边长分别为BC = a, AC = b,AB = c , I 为 VABC 的内心，且 I 在VABC的边BC、AC、AB上的射影分别为 D、E、F ,求证：AE = AF =.2三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部遇（如图 3.2-8）例4求证：三角形的三条高交手22-8 已知 VABC中，AD人BC于D,BE人AC于E,AD与BE交于H点.求证 CH A AB.过不共线的三点A、B

41、、C有且只有一个圆， 是三角形ABC的外接圆，圆心。为三角形的外心. 形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直 线的交点.练习11 .求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该 形为正三角形.2 . （1）若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为a b、c,则三角形的内切圆的半径 是；（2）若直角三角形的三边长分别为a、B c （其中c为斜边长），则三角形的内切圆的 半径是.并请说明理由.练习21 .直角三角形的三边长为3, 4, xijx=.2 .等腰三角形有两个内角的和是100°,则它的顶角的大小是 3 .已知直角三角形的周长为3 J3,斜边上的中线的长为1,求这个三角形的面积习

42、题3.2A组1 .已知：在VABC中，AB=AC, BAC 120o, AD为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）A. AD ABB. AD -ABC. AD BD D. AD BD2222 .三角形三边长分别是6、8、10,那么它最短边上的高为（）A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 83 .如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于4 .已知：a,b,c是VABC的三条边，a 7,b 10,那么c的取值范围是5 .若三角形的三边长分别为1、a、8,且a是整数，则a的值是。3. 3圆3. 3. 1直线与圆，圆与圆的位置关系设有直线l和圆心为。且半径为r的圆

43、，怎样判断直线l和圆O的位置关系?图 3.3-1观察图3.3-1,不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d> r时，直线和圆相离，如圆O与直线1"当圆心到直线的距离 d = r时，直线和圆相切，如圆 O与直线12；当圆心到直线的距离d< r时，直线和圆相交，如圆O与直线13.在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图 3.3-2, 心。和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦AB.且 RtVOMA中，OA为圆的半径r , OM为圆心到直线的 d , MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，有d2AB 2堂.当直线与圆相切时

44、，如图3.3-3, PA,PB为圆。的切线,可得 PA PB , OA且在 RtVPOA中，过圆 离经结线连在距22-2PO2 PA2 OA2.如图3.3-4, PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得 VPAT : VPTB ,因而 PT2 PA PB .图 3.3-3图 3.3-4例1 如图3.3-5,已知。O的半径OB=5cm,弦AB=6cm, D是Ab的中点，求弦BD的长 度。例2已知圆的两条平行弦的长度分别为6和2质，J_:丁、且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.°囱 75设圆Oi与圆。2半径分别为R,r(R r),它们可能广/有哪观察图3.3-7,两圆的圆心距

45、为O1O2 ,不难发现：当O1O2R几种位置关系？r时,两圆相内切，如图r时，两圆相内含，如图R r时，两圆相外切,(1);当O1O2R r时，两圆相外切，如图(2);当O1O2R(3);当R r O1O2R r时，两圆相交，如图(4);当O1O2如图(5) 例3设圆。1与圆O2的半径分别为3和2, O1O2 4, A,B为两圆的交点，试求两圆的公共AB所对 的长。ABCD 的弦AB的长度.练习11 .如图 3.3-9, OO 的半径为 17cm,弦 AB=30cm, 的劣弧和优弧的中点分别为 D、C,求弦AC和BD2 .已知四边形 ABCD是。O的内接梯形，AB/CD, AB=8cm,CD=

46、6cm, O O 的半径等于 5cm,求梯形 面积。3 .如图 3.3-10, OO 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E, AE 1cm, EB 5cm, DEB 600,求 CD 的长。4 .若两圆的半径分别为3和8,圆心距为13,试求两圆的公切线的唬底3-103. 3. 2点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有 点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得 到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 r的点的轨迹.我们把符

47、合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条 件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：(1)到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线 段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：(2)和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定

48、理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：(3)到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 .练习21 .画图说明满足下列条件的点的轨迹：(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；(2)到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；(3)已知直线ABCD,至IJAB、CD的距离相等的点的轨迹.2 .画图说明，到直线l的距离等于定长d的点的轨迹.习题3.31 .已知弓形弦长为 4,弓形高为1,则弓形所在圆的半径为()A . 33B. 5 C. 3 D. 42 .在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为()A. 4 石 B. 3M C. 2M D,石3 . AB为。的直径，弦 CD AB, E为垂足，

49、若BE=6, AE=4,则CD等于()A. 2后B, 476C. 8五 D, 2764.如图 3.3-12，在。O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm, OE=12cm ,OEB30°,求 AB。参考答案1. (1)5;4(2)4;1111. 11a 1b 2 13222. (1) D (2) A1.(1)出 2(2) 3第一讲数与式1或 32. D 3. 3x 181一(3) 4ab 2ac 4bc4x 5(3) 8&(4)4. 1.1.2.1.2.3. B4. 22 1(1) x 2或 x 413. (1) 22.“994.100习题1 . 1(2) -4&l

50、t;x<3(3) x<-3,或 x>3如 1 a 1(3) V6 11.2分解因式B(1) (x+ 2)(x + 4)(3) (x 1 、.2)( x 1 ,2)(1) a 1 a2a 1(3) b c b c 2a(D(2) (2a b)(4a2 2ab b2)(4) (2 y)(2x y 2).习题1. 2(2) 2x 3 2x 3 x 1 x 1(4) 3y y 4 x 2y 1(3) 3 x2-7yx 2-7y ;33(2) x 括x叵娓；(4) x 3 (x 1)(x 1 V5)(x 1 眄.3.1.2.3.4.等边三角形4 . (x a 1)(x a)第二讲函数与

51、方程2.1 一元二次方程练习(1) C(2) D(1) -3(2)有两个不相等的实数根(3) x2+2x 3 = 0 k<4,且 k01 提小：(x1 3)( x2 - 3) = x1 x2 3(x1+x2)+9习题2. 11. (1) C(2) B提示：和是错的，对于，由于方程的根的判别式A< 0,所2以方程没有实数根；对于，其两根之和应为- -.3(3) C 提示：当a=0时，方程不是一元二次方程，不合题意.2. (1) 2(2) (3) 6(3) 334113 .当m> ，且m加时，方程有两个不相等的头数根；当 m=时，方程有两个相等4 41 .的实数根；当m<1时，方程没有实数根.44.设已知方程的两根分别是 x1和x2,则所求的方程的两根分别是 x1和: x+x2= 7, x1x2= 1, ( 一 x1)+ (一 刈二- 7 , ( x1) >( - x2)