微积分各章习题及详细答案

1、第一章函数极限与连续 一、填空题x1、已知 f(sin-)1 cosx ,贝U f (cosx)(4 3x)22、 lim 2-。x x(1 x )3、x 0时，tanx sinx是x的 阶无穷小。4、lim xk sin 1 0 成立的 k 为。x 0 x5、lim e5、f(x) 0 x 01cxcos x 0xarctanx。xex 1x 0 .6、f(x) e , x 0在 x 0处连续，则 b 。x b, x 0ln(3x 1)7、lim 。x 0 6x8、设f(x)的定义域是0,1,则f(lnx)的定义域是 9、函数y 1 ln(x 2)的反函数为 10、设a是非零常数，则lim

2、(a)x 。x x a111、已知当x 0时，(1 ax2)3 1与cosx 1是等价无穷小，则常数 a 3x 12、函数f(x) arcsin的定义域是 。1 x13、lim (Jx2 2 Jx2 2)。x14、设 lim (2a)x 8 ,则 a 。x x a15、 lim (v'nv'n 1)(-v,n 2 Vn) =n二、选择题中所给的函数必为奇函数。1、设f(x),g(x)是 l,l上的偶函数,h(x)是l,l上的奇函数，则(A) f (x) g(x)； (B) f (x) h(x)； (C) f (x)g(x) h(x)； (D) f (x)g(x)h(x)。2、

3、(x) 一x,(x) 1 3G,则当 x 1 时有1 x(B) 是比低阶的无穷小；(D)。0(x1)在x 0处连续，则k x 0(C) 1;(D) 0。(C);(D)不存在但非则x 0是f(x)的。(A) 是比高阶的无穷小；(C)与是同阶无穷小；.1 x 13、函数 f (x)3 1x 1 , xk32(A) ;(B) ；234、数列极限 lim nln( n 1) ln n n(A) 1;(B)1;（A）连续点；（B）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是()，一一_2(A) f (x) lg x , g(x) 2lg x ;(B) , g(

4、x)技;(C) f (x) 3x4x，g(x)xVxl ;(D) f(x)2,2g(x) sec x tan x。7、(A)sin x lim 一 x 0 |x|1 ；8、lim (1 x)x 0(B)1x-1 ；(C)(D)不存在。(B)-1 ；9、f（x）在x0的某一去心邻域内有界是e； limX x0(D)f（x）存在的（(A)充分必要条件；（B ）充分条件;（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件10、lim x(x21 x)x(A)(C)11、设an，bn，Cn均为非负数歹U,1-;2lim an n(D)0。0, lim bnn1,lim Cn,则必有（）n(A) an(C)极限

5、bn对任意n成立；lim ancn不存在； n(B)(D)bnCn对任意n成立;极限lim bncn不存在。 n12、当 x1时,x2 1函数x一1ex 1177的极限（）（A）等于2 ;三、计算解答1、计算下列极限(C)为；(D)不存在但不为(1)limn2 sin 一2(2)cscx lim x 0cot x;(3)limx1x(ex 1)；(4)limxx3x2x 12x 1(5)lim28cos x 2cosx 1x 一 2 cos3x cosx1 xsin x cosx lim;x 0 xtan xlim n 1 2n(n 1)(8)ln(1 32 x),3 ,2 °arc

6、tan. 4 x3、试确定a,b之值，使limxax4、利用极限存在准则求极限(1) limn设x1xn 15、讨论函数f(x)x n lim n nna%(n1,2,），证明lim xn存在，并求此极限值。 nxnr的连续性，若有间断点，指出其类型。 n6、设f （x）在a,b上连续，且a f（x） b,证明在（a, b）内至少有一点，使f（）、填空题第一单元函数极限与连续习题解答1、22sin x 。f (x)xf (sin-) 12c 2一、2xf (cos x)(1 2sin2-) 2 2sin2-, 22c c2c .22 2 cos x 2sin x。2、3、高阶。.(4 3x)2

7、lim 2-x x(1 x )tanx limlimxsin x4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、xtanx,1 ，sin 为有界函数,xlimx2a e9x2 24 x 163x xlxm00。tan x(1 cosx)sin x是x的高阶无穷小。所以要使1xm0xkex arctanx 0lim f (x) lim (x x 0f(0) b, limlJ)0 6x根据题意yeylim (1 cosx) 0, x 0原式二 lim (1口 (1及limx 0可得limxlimxln2.1 sin- x(limx0,b) b2。3x lim x 06x要求0ln(x2),1

8、 2,由(1 ax1 ax2)3 cosx 1只要limx 00,arctan xlimx 0f(x)0,即 k 0。lim (ex 01) 2,x1 2)3竺)a1-o2ln x(y1)所以ln( xe。2),y 1a x c 2a2a x a12ax312-ax3ln(x2ae 。2)的反函数为y(利用教材P58(1 x)a1,由反三角函数的定义域要求可得解不等式组可得x2 2x2 222x2 2 (x2 2)x2 2x2lim(xx 2a) xx alim(1x即:x 2a、x lim()x x aeyx 1e2。ax )与 cosx 1 -2x2,以limx0。f (x)的定义域为(.

9、x22x2 2)( x22x22)方)x,令 t= x a3a,所以 x=3at alim(1；力3ag1 ；)a=e：3a815、2二、选择题1、选(D)F( x)2、lim 一x 1(13、(A)4、(B)5、6、选(C )1 3a ln 8 a ln 83limnlimn12(1 .：1)n1 2 1 nln23ln2。limn令 F(x) f (x)g(x)h(x),由"*)"陵)是l,l上的偶函数,。刈是l,lf ( x)g( x)h( x) f(x)g(x)h(x) F(x)。lim -(x 1 (x)1 x_1x) (1 x)3Mf(x)lim nln(n n

10、f(0在(A)中)1 , f(x)故不正确在(B)在(D)中f(x)上的奇函数,x R, x7、选(D)limx 1(1 x)(1 3 x)lim1(1x)1 31 (1 x)(利用教材P58(1limxx 0 31 x1) ln nf(0 )limnx)a1 : ax)1xlim -2x 0 1x3. 一 1ln x2的定义域为x的值域为(f(x) 1的定义域为f(x)limx 0sin x|x|sin xlim不存在x 0 | x |8、选(D)典(11 x)x9、选(C)ln(1 -) nf(0) 0(利用教材P58(1 x)a1 : ax)x 0,而g(x)21nx的定义域为),g(x

11、) Vx2的值域为x 0,故错R g(x)g(x),sin x lim lim1f(x) g(x)2sec x tan x的定义域为故错limsin x|x|limx 0(x) x1)由函数极限的局部有界性定理知,limx Xof(x)存在，则必有x0的某去心邻域使f(x)有界,而f (x)在Xo的某一去心邻域有界不一定有lim f (x)存在，例如x X01一1，一lim sin ,函数1sin1 有界,x 0 xx但在x 0点极限不存在10、选(C)(, x2 1 x)( X2 1 x)% x2 1 xlimxxx2 1 x11、选（D）（A）、（B）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只

12、能得出数列“当况，不可能得出“对任意 n成立”的性质。（C）也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。n充分大时”的情12、选（D）2 x lim limx 11-e1 x1xn11 xnex 11lim (xx 111)ex 1当x 1时函数没有极限, 三、计算解答1、计算下列极限：也不是(1)解:n . xlim 2 sin 彳n2n ,lim 2n n(2)解:cscx cotxlimx*1sin x2x。cosx sinxxlim1x 0cosx xsin x2x21lim 分一。 x 0 x22(3)解:1lim x(ex x1)limx(4)解:lim (

13、 x2x2x 1)3xlim (1 x2)3x2x 1lim (1 x(5)解:28 cos x(6)解:(8)lim(1x2cosxlim 2x 2cos x cosx 1.1 xsin x . cosxxtanxxsin x 1 cosxlim2x 0 2xQ lim( .1 xsinx x 0解：lim xlim(1 xlim (1 x11 2i)1n 1解:limx 23、解:lxm0, cosx)12 31 1(-)2 3ln(1_3 2_x) arctan3 4 x2lim ( x12lim(1x211 x -21厅e3(2 cos x 1)( 4 cosx 1) limx _ (

14、2cosx3 '1)(cosx 1).4cosx 1 limx _ cosx 134 1 12_1 122。1 xsin x cosxxtanx(，1 xsinxsin x2x221 cosx2x2cosx)1 n(n(1 n-1)1n 1)3 ，2 x limx 23 4 x2lim( x 2 2 x1)Wx2 1 ax b) lim x2ax (a b)x bx 1limx(1 a)x2 (a b)x (1 b)4、(1)(ab)0121213121321limx而lim x(2)先证有界(数学归纳法)n 1时，X? ,尻Xk设n k时，xk 数列xn有下界, 再证xn单调减,xn

15、 1xnxn 0xnxnxnxn即xn单调减,lim xn存在，设lim则有n(舍)或AXnA,5、解:先求极限f(x)2x.n lim -27 n nlim n1xnlim f (x) x 0x6、解:f(x)的连续区间为0为跳跃间断点.olimx 0(f(x),0)(0,令 F(x) f(x) x,F(x)在f(0)a, b上连续a 00由使F(，亦即f(而 F(a) f (a)F(b) f(b) b由零点定理，即 f( )0第二章导数与微分 一、填空题1、已知 f (3) 2 ,则 lim f(3 h)一9二。h 0 2h2、 f(0)存在，有 f(0) 0,则 limflx)二 。 X

16、 0 XcX,1 帛"一一3、y x arctan ,贝 1 y x 1 =。4、f(x)二阶可导，y f (1 sin x),则 y =； y =5、曲线y ex在点 处切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。6、 y lnarctan(1 x),贝U dy =。2 4 dydy7、y sin x ,贝U =, -2二。 dxdx18、若 f(t) limt(1 -)2tx,则 f (t)=° x x29、曲线y x 1于点 处的切线斜率为2。x10、设 y xe ,则 y (0) 。11、设函数y y(x)由方程ex y cos(xy) 0确定，则dy 。

17、dx2212、设 x t 则? 。y cost dx二、单项选择1 .21、设曲线y 一和y x在它们交点处两切线的夹角为，则tan =()。x(A)1;(B) 1;(C)2；(D) 3。k 一一3、函数 f(x) e x,且 f () e,则 k ()。4/1-(A)1;(B)1;(C) ;(D) 2。24、已知f(x)为可导的偶函数，且lim f(1 x)一他2,则曲线y f (x)在(1,2)处切线的方程x 0 2x(A) y 4x 6；(b) y 4x 2；(C) y x 3；(d) y5、设(A)22 ,、f(x)可导，则 lim L(一x) f (x) =x 0x0;(B) 2f(

18、x)；(C)2f (x)；(D) 2f(x)f (x)。6、函数f(x)有任意阶导数，且f (x) f(x)2,则f(x)二。(A) nf(x)n1； (B) n!f(x)n1； (C) (n 1) f (x)n1 ； (D) (n 1)!f(x)2。7、若 f (x) x2,则 lim f02-f-(°)=()x 0x(A) 2x0;(B) x0;(C) 4x0;(D) 4x。8、设函数f (x)在点x0处存在f (x0)和f (x0),则f (x0)f (x0)是导数f (x0)存在的()(A)必要非充分条件；(B)充分非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。

19、9、设 f(x) x(x 1)(x 2) (x 99)则 f(0)()(A) 99;(B)99 ;(C) 99!;(D)99。10、若f(u)可导，且y2、,(A) xf ( x )dx ; (B)2、f ( x ),贝U有 dy2xf11、设函数f(x)连续，且f '(0)(A) f(x)在(0,)内单调增加；，2、, ，一(x )dx ; (C)0 ,则存在(B)- -2-2f ( x )dx; (D) 2xf (0,使得f (x)在(C)对任意的x (Q )有£J)f (0) ; (D)对任意的x),0)内单调减少；(,0)有 f(x)12、设 f(x)x2sin10在

20、x 0处可导，则2、x )dx。f (0)。(A) a 1,b(C) a 0, b三、计算解答1、计算下列各题ax0 ;0 ;x 0(B)(C)0,b为任意常数;1,b为任意常数。(1)x In tt3d2y dx2(3)arctany y,dx2(4) y sin xcosx ,求 y(50)(5)(6)f (x) x(x 1)(x2)(x2005)，求 f (0)；(8)f (x) (x a) (x),(x)在x a处有连续的一阶导数，求设f (x)在x 1处有连续的一阶导数，且f (1) 2,求limx 1f (a)、ff (cos .2、试确定常数a,b之值，使函数f(x)b(1sin

21、 x) aaxe 1dx0处处可导。0x 1)。3、证明曲线x2 y2 a与xy b ( a,b为常数)在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员 500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到 500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数 f (x)对任意实数 为？2有 f (x1 x2)f (x1) f (x2)，且 f (0) 1 ,证明 f (x) f (x)。3 26、求曲线y x 3x 5上过点(1, 3)处的切线方程和法线方程。、填空题1、limh 02、f (0)xm03、In x第二章导数与微分习题解答f(3 h) f(3)2h坡) 1fli

22、mh 0f (3 h) f 11(1)1f 22Inf(0)0y |x(0)In x4、f (1 sin x) cos x(1sin x) cos2 xf (1 sin x) sin x5、6、7、8、9、y f (1 sin x)(ln(e 1), e 1)x y (e )dx10、11、12、2cosx, y f (1 sinx) cos x弦的斜率f (1sinx) sin xe 11 0 ln(eln(e1)时，y earctan(1 x) 1 (1 x)2dyarctan(1 x) dxdarctan( 1x)arctan(1x)1 (12d(1 x) x)arctan(1344x

23、sin 2x ,dydx22t2te 2te(1,2)x ex e2x) 1 (1 x)2x2 sin 2x4dy2xdxf(t)y e y (0) y sin(xy)y xsin(xy)解得sin t tcost4t3dydx2sin x44 cosx34x344x sin 2x2x2sin2x4lim t(1 x.2t tef (t)2t2te2tx01, y012 1 21在点x(1,2)处的切线斜率为2xe , y e0 2x x xe e xe方程两边对x求导得ex y ysin(xy) 2。 e y xsin(xy)由参数式求导公式得 dydx再对x求导，由复合函数求导法得d2y

24、dx2二、选择题d / dx(yx)(Yx')t'xt'1 t cost sintt212t1、选(D)交点为(1,1),k1tan|tan(1)|k2k11k1k2exy(1Yl'xt'y') sin(xy)(ysin t2tsint tcostQO4t31 ./2 |x11,k2(x2) |xxxy') 03、4、5、6、7、8、9、k .选(c) f (x) e ktan xseCx1由 f (一) e 得 e k 2 e k -4 2f (1 x) f(1) f ( 1 x) f( 1)选(A)由 hm - hm -x 0 2xx

25、 02xlim f( x)f-(-) ( -)f ( 1) ( -)2 f ( 1)x 0x22切线方程为：y 2 4(x 1)即y 4x 6 22, 、选(D) lim - f 2(x)2 f (x) f (x)x 0选(B) f (x) f(x)f (x) f (0)sin又 f (0) lim 工(x(0)limx 0, f (0)2f (x) f (x) 2fx 0 x 0 x 0 x所以a 0。应选a三、计算解答1、计算下列各题(x)_3_2._.4f (x) 2f (x)2 3f (x) f (x) 2 3f (x)设 f (n)(x) n! fn 1(x),则 f(n 1)(x)

26、 (n 1)! f n(x) f (x) (n 1)! f n 2(x)f(n) (x) n! f n 1 (x)f(x0 2 x) f(x0)f(x0 2 x)f (x0)选(C) lim lim 2 2 f (x0)x 0xx 02 x又 f (x) (x2)2x, 2f (x0) 4x0选(C) f (x)在x0处可导的充分必要条件是f (x)在x0点的左导数f (x0)和右导数f (x0)都存在且相等。选(D)10、11、12、f (x) (x x(x 1)(x f (0) (0另解：由定义,(1)99 99!选(B )由导数定义知f'(0)1)(x 2) (x 99)2) (

27、x1)(0 2)98)(0 99)x(x 2) (x(1)99 99!99) x(x 1)( x 3) (x 99)99!f (0)99! f( dyf(x)x再由极限的保号性知lxmf(x)f(0)lxm0(x1)(x 2) (x 99)x2)2xff(0)(x2)( 2)dx0,当 x ()2f ( x2)时“刈 f(0) 0,从而当 x (,0)(x (0,)时，f (x)由函数f (x)在x0处可导，知函数在xx f(0) 0( 0处连续0),因此C成立，应选Colim f(x)x 0lim x2 sinx 00, lim f (x) lim (ax b) x 0x 0b ,所以b 0

28、。lim f(x) f(0) ax x 0 x 0 x.2 1 sin 一(1) dy e x2 1 d (sin -) xsin21111e x 2sin cos ( )dx x x x12 sin2 -sin - e xdx x x(2)dydx3t2t3td2y dx29t2丁td2yA 9(3)两边对x求导:(4)2y 3 y2y3 (y1)1)sin xcosxlsin2x 2cos2x sin(2x )2 cos(2x-)2sin(2x 2 -)设 y(n)n 12 sin(2x则 y(n1)n2 cos(2x2nsin(2x (n(50) y492 sin(2x50(5)两边取对

29、数:两边求导:ln y1一 y yxlnIn x492 sin2xln(1 x)x ln(1 x) 1 1 xxy (d1 x(6)利用定义：)xln xln(1x) 1f(0) f (x)又 f (a)f(x)f(0)x(x) (xa)lxm0(x (x)1)(x2)(x 3) (x 2005) 2005!limx af(x) f(a)limx af (a)(x)(a)(x a) (x)(a)x a(x)(a)则F(x)(a)(a) 2 (a)注:因(x)在x a处是否二阶可导不知,故只能用定义求。一 d 一 (8) lim f (cos . x 1) lim f (cos x 1)(x 1

30、 dxx 1sin x 1)12、xlim f (cos < x 1) lim2%xf (1)2、易知当x 0时，f(x)均可导，要使f (0) f ，且 f (x)在 xf (x)在 x0处连续。即()10处可导lim f (x)x 0limx 0f(x)f(0)叫 f(x) b alimx 0f(x) 0(0)(0)limlimx 0ax ef(x)f(0)lim(1 sinx)limx 0axe 1.ax lim - ax 0 xab20b13、证明：设交点坐标为(x0,y0),则x2 y； a x0y0 b22X对x y a两边求导：2x 2y y 0 y 一 y曲线x2 y2

31、a在(xo，yo)处切线斜率ki y |x x0上 yobb又由x y b y y xxb曲线xy b在(x°,yo)处切线斜率k? y |x x0x。_ , ,x0 / b、 b又 ki 卜2 (2) 所以所求法线方程为 y 3 1(x 1)，即 y。x。x y。x5001407500 25两切线相互垂直。4、设t分钟后气球上升了 x米，则 tan两边对t求导：sec2- dt 500 dtd 72cos dt 25当 x 500 m时，一4当x 500m时，1 (弧度/分)0)dt 25 2 505、证明:f(x)lim f(x h) f(x) lim f(x) f(h) f(x

32、 h 0 hh 0hlimf(x) f(h) f(x) f(0)h% f(x)f(h) f(0)hf(x) f (0) f(x)6、解：由于y 3x2 6x,于是所求切线斜率为 2ki 3x6x|x i 3,3x y 6从而所求切线方程为 y 33(x 1),即1 i又法线斜率为k2k13第三章中值定理与导数应用一、填空题1、 lim xln x 。 x 02、函数 f x 2x cosx在区间 单调增。3、函数f x 4 8x3 3x4的极大值是。4、曲线y x4 6x2 3x在区间 是凸的。5、函数f xcosx在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 。6、曲线y xe 3x的拐点坐标是 。7

33、、若f x在含x0的a,b (其中a b)内恒有二阶负的导数，且 ，则f x0是f x在a,b上的 最大值。一38、y x 2x 1在 ， 内有 个零点。c ., , 119、lim cot x( -) 。x 0 sinx x1 1、10、lim (-2 ) 。x 0 x xtan xx211、曲线y e 的上凸区间是。12、函数y ex x 1的单调增区间是。二、单项选择1、函数 f(x)有连续二阶导数且 f(0) 0, f (0) 1, f (0)2,则 lim f(x1x ()x 0 x2(A)不存在；(B) 0 ;(C) -1;(D) -2。1 ,、2、设 f (x) (x 1)(2x

34、 1), x (,，则在(一,1)内曲线 f(x)()2(A)单调增凹的；(B)单调减凹的；(C)单调增凸的；(D)单调减凸的。3、f (x)在(a,b)内连续，x0 (a,b), f (x0) f (x0) 0 ,则 f (x)在 x x0 处()(A)取得极大值；(B)取得极小值；(C) 一定有拐点(x0,f (x。)；(D)可能取得极值，也可能有拐点。4、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则I：在(a,b)内f(x) 0与n：在(a,b)上f(x) f (a) 之间关系是()(A) I是n的充分但非必要条件；(b) I是n的必要但非充分条件；(c) I是n的充分必要条件；(D

35、) I不是n的充分条件，也不是必要条件。5、设 f(x)、g(x)在 a,b 连续可导，f (x)g(x) 0,且 f(x)g(x) f(x)g(x),则当 a x b 时，则 有()(A) f(x)g(x) f(a)g(a)；(C)起妆 g(x) g(a)6、方程x3 3x 1 0在区间(A)无实根；(C)有两个实根；(B) f (x)g(x) f(b)g(b)；(D)皿皿。f(x) f(a)内()(B)有唯一实根；(D)有三个实根。7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0, lim f(x)2,则在点x 0处f(x)()x 01 cosx(A)不可导；(B)可导，且f

36、9;(0) 0;(C)取得极大值；(D)取得极小值。8、设f(x)有二阶连续导数，且 f'(0) 0, limfW 1,则()x 0 | x |(A) f(0)是f(x)的极大值；(C) (0, f(0)是曲线y f(x)的拐点;(B) f(0)是f(x)的极小值；(D) f(0)不是f (x)的极值点。9、设a,b为方程f(x) 0的二根，f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则f'(x)在信白)内(A)只有一实根;(B)至少有一实根;10、在区间1,1上满足罗尔定理条件的函数是(Q没有实根；(D)至少有2个实根。)(A) f(x)(C)f (x)1-2 ；X(21 x

37、 ;(B) f(x) |x|；-2_(D) f (x) X2 2x1。11、函数f(x)在区间(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x) 0是函数f(x)在(a,b)内单调增加的(A)必要但非充分条件；(C)充分必要条件；12、设y f(x)是满足微分方程(A) Xo的某个邻域单调增加；(C) Xo处取得极小值；三、计算解答1、计算下列极限(B)充分但非必要条件;(C)无关条件。y y e(B)(D)sin x0的解，且f'(x。)0,贝U f(x)在()arccosxlim x 1,x 1x sin x. e e lim ;x 0 x ln(1 x)x arctan x l

38、im ；x 0x3(4)(2)(6)2、证明以下不等式(1)、设 b(2)、当 03、已知yx34、试确定常数5、设f (X)在一时，有不等式tanx 2sin x ,利用泰勒公式求 a与n的一组数，使得当 a, b上可导，试证存在b3b a f (a) f (b)23f()Xo的某个邻域单调减少;Xo处取得极大值。ln cot x lim ;x 0 ln xlimx 011 , _2 ln(1x xln tan(ax)。ln tan(bx)x)；2sinx3x。(6)yx(a(0)。0 时，axn 与 ln(1 b),使3x为等价无穷小。6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，

39、其体积7、若f (x)在0,1上有三阶导数，且 f (0)f(1) 0,设F(x)一个，使 F"'( ) 0。V最小，并求出该体积最小值。x3f(x),试证：在(0,1)内至少存在、填空题弟二章中值定理与导数应用习题解答1、ym0xlnxln x-T2、3、20f (x)f (x) 24x2lim xx 01xsin x 0lim( x) 0 x 0f(x)在(）上单调增4、5、6、7、8、9、10、11、12、令 f(x) 0当x 2时，为(x)极大值为 f（2）12x30, x20;当2012x2(x2)2时，f(x)（1,1） y 4x3 12x 3,当x 1时，y 0

40、 .当x曲线在（1,1）上是凸的1 1x2-x42!4!(1)m12x21,1)时,1 2mX(2m)!,2 223x3x 3x(,e ) y e 3xe e3 3而当f (x0)1212(x0 ;当1)(x 1)x (1,)时，y 0（见教材P13页，泰勒公式）(1 3x),3e 3x(12 i 一时,3当x Xo时，1 y3x2又 lim y x1一 原式 lim6x(3x)3ef"(x。)(x0)2 0, lim yxcosx(x3x3x,e (9x2 g一时，y36)0；2 2拐点为(-,-e3 3limx x09e 3x(x I2)f (x) f (x0)x Xolim小x

41、 冲 xx00, f （x）单调增加；当xx0 时,f (x)上0 x Xo0, f(x)单调减少y在（，）上单调增加. 在（，）内有1个零点。sin x)020 xsin xtan x xlim 2x 0 x tan x(a,"22lim cosxlimx sin xtan x x3x3x2sec xlim1cosx3x23x2Lim3 x 0,2tan x2- x22xe x , y"2(2x)2e2x令y"y" 0,上凸，其它区间y" 0,(0,)为在（0,二、选择题1、选（C）上凹,故应填入函数yex x 1的定义区间为（）内y'

42、; 0 ,所以函数y ex xlimfM limfx 0 x x 0 2x,2 、2、（,）。22）,在定义区间内连续、可导,1在（0,）上单调增加。y'ex1,因1,112、选(B) 当 x (万,1)时，f (x) 0,又 f(x) 4x 1 4(x -) 0 x (-,1),1 f (x)在(万,1)上单调减且为凹的。3、选(D ) f (x) x3 ,则 f'(0)f"(0) 0 , x 0是 f (x) x3 的拐点；设 f (x) x4 ,则f'(0) f" (0) 0,而 x 0 是 f(x) x4 的极值点。4、选(C)由f(x)在(

43、a,b)内f(x) 0的充分必要条件是在(a,b)内f(x) C ( C为常数)，又因为f(x) 在a,b内连续，所以C f (a),即在(a,b)上f(x) f(a)。5、选(C)由 f (x)g(x) f (x)g (x)"xl04区单调减少，g(x)g(x)f(x) f(a).g(x) f (b)6、选(D) 令 f (x) x3 3x 1f (x)g(x) f (x)g (x) 0x (a,b)2则 f (x) 3x 3 3(x 1)(x 1);当x 1时，f(x) 0, f(x)单调增加，当x ( 1,1)时，f (x) 0 , f (x)单调减少当x (1,)时，f (x

44、) 0, f(x)单调增加.而 f( 1) 3, f (1)1Jim f(x), Jim f (x)f (x)在(，1)上有一实根，在1,1上有一实根，在(1,)上有一实根。7、选(D)利用极限的保号性可以判定f(x)的正负号：lim f(x) 2 0 f(x) 0 (在x 0的某空心邻域)；x 01 cosx1 cosx由1 cosx 0,有f(x) 0f(0),即f(x)在x 0取极小值。8、选(B)由极限的保号性：;由此f "(x) 0(在x 0的某空心邻域)，由极值第一充分条件，x 0是f (x)的极0。0处不可导，D选项f (1) f( 1)。lim1 0 月约 0(在x 0的某空心邻域)x 0 |x|x|f'(x)单调增，又由f&#