北京市房山区高三数学理科一模试题及答案

1、房山区 2018 年高考第次模拟测试试卷数学(理)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 (选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。(1)若集合 M =1,0,1,2 , N =y|y=2x+1,xwM,则集合 M。N 等于(A) -1,1(B) 1,2(C) 1,1,3,5(D) -1,0,1,2(2)已知复数4=2+i ,且复数乙，Z2在复平面内对应的点关于实轴对称，则Z1Z2(A) 1+i3 4.(B) + i5 5c

2、 3 4.(C) - - i 5 5r 4.(D) 1+i 3(3)x - y -0已知实数x, y满足条件x+y-4W0,则y的最大值 , _ xx -1 -0(A)1(B) 2(C) 3(4)执行如图所示的程序框图，若输出的S=88 ,则判断框内应填入的条件是(A)(B)(C)是(D) 4(D)结束输出S(5)下列函数中，与函数y=x3的单调性和奇偶性相同的函数是(A) y=Tx(B) y=lnx(C) y = tanx (D) y = exe«(6)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(A) 8+4收(B) 2+272+4 73(

3、C) 2+6邪(D) 2+4/2+2 73(7) “m3>jm”是“关于x的方程sinx = m无解”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(8)如图，直线AB与单位圆相切于点O,射线OP从OA出发，绕着点O逆时针旋转，在旋转的过程中，记/AOP=x(0cx<n), OP经过的单位圆。内区域(阴影部分)的面积为 S,记S = f(x),则下列判断正确 的是第二部分 (非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)抛物线x2 =4y的焦点坐标为-(10)某班植树小组今年春天计划植树不少于 100棵，若第一天植树2棵，

4、以后每天植树的 棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于(11)在极坐标系中，直线l的方程为Psin日=3,则点''2,1问直线l的距离为.(12)已知函数f(x)同时满足以下条件：周期为几；值域为0,1;fx) f(x) 0 .试写出一个满足条件的函数解析式f (x)=(13)四大名着是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名着阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名着红 楼梦、三国演义、水浒传、西游记(每种名着均有若干本)，要求每人只借阅一本名着，每种名着均有人借阅，且甲只借阅三国演义，则不同的借阅方案种数(

5、14)如图, 等腰直角三 起形成一个 若直角边长分组频数频率两块全等的 角板拼在一 平面图形， 为2 ,且AD =九AB + NAC，则九 + N =三、解答题共6小题A共80分。解答囱写出文字说明、演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)在 ABC中，内角A, B,C的对边分别为a, b, c,且cos2B+ cosB =0 .(I )求角B的值；(H)若 b=", a+c = 5 ,求 ABC 的面积.(16)(本小题13分)2017年冬，北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的 天数超过70天，重度污染的天数仅有4天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效

6、措施， 如：减少机动车尾气排放；实施了煤改电或煤改气工程；关停了大量的排污企业； 部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇 随机抽取100户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据(单位：千立方米)均在区间(0,5】 内，将数据按区间列表如下:(H)从用合计(I )求表 值，若同组 数据用该 中点值代 乡镇每户中x , m的 中的每个 组区间的 替，估计该 月平均用气量在区问(3,4和区间(4,5的用户中任选3户，进行燃气使用的满意度调查，求这3户用气量处于不同区间的概率；(田)若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了3户，用X表示用气量在区间(1,3内的户数，

7、求X的分布列和期望.(17)(本小题14分)如图，四棱锥P-ABCD, PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， PD=CD=V2, PC =2 , BC/ZAD, CD _L AD .二2(I )求证：CD _L平面PAD ;(R)若E为PD中点，求CE与面PBC所成角的正弦值;(m)由顶点C沿棱锥侧面经过棱PD到顶点A的最短路线与PD的交点记为F .求该最短路线的长及£匚的值.FD(18)(本小题14分)22已知椭圆C：0+=1(a>b A0)过点(0,-1),离心率 a b、2e =.2(I )求椭圆C的方程；N两点，若线段MN的(II)过点F (1,0 )作斜率为k(k

8、=0 )的直线l , l与椭圆C交于M ,垂直平分线交x轴于点P ,求证：|MN |为定化|PF|(19)(本小题13分)、“，1已知函数 f(x )=-alnx(a R).x(I)当 a= -1 时,求f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(ii )设 g(x) =xf (x) -1 ,求函数 g(x )的极值;(II)若函数f(x)在区间 J,收)有两个的零点，求实数a的取值范围. le)(20)(本小题13分)已知有穷数列B:ai,a2,an,(n22,nw N )数列B中各项都是集合x-1<x<l的元素，则称该数列为数列.对于r数列B,定义如下操作过程T: B中任取两项ap

9、,aq,将a a二的值添在B的最后，然后删除ap,aq这样得到一个n-1项的新数列Bi (约定：一个1 apaq数也视彳数列).若B还是r数列，可继续实施操作过程T,得到的新数列记作B2,，如此经过k次操作后得到的新数列记作Bk.、111、(I)设B:。,1,1请写出B1的所有可能的结果；2 3(II)求证：对于一个n项的F数列B操作T总可以进行n-1次；(田)设B:-5,-1,-1,-1,5,1,-,1,1,1 ,求B9的可能结果，并说明理由.7654 6 2 3 4 5 6房山区2018年高考第一次模拟测试试卷数学(理)参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选

10、项中，选出符合题目 (01) (10)6(11)2 (12) y = sinx 或 y= cosx 或其它满足条件的结果。(13) 60 (14)1.2三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)(I)解：由已知得 2cos2B+cosB1 =0 ,要求的一项。题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案ABCBDDAC、填空题共6小题，每小题5分，共30分即(2cos B _1)(cosB+1) = 0 .1斛得 cosB = ,或 cosB = -1. 2因为0<B<兀，故舍去cosB = 1 .所以B=.3(H )

11、解：由余弦定理得 b2 =a2+c22accosB .将B =-, b = V7代入上式，整理得(a + c)2 3ac = 7 . 3因为 a+c = 5,所以ac = 6.所以 ABC的面积1.3.3S = acsin B =-2213分-25解：(I) x=100-75=25, m= =0.25100估计该村每户平均用气量为= 2.050.5 14+1.5 25+2.5 55+3.5 4+4.5 2100(n)设a= ”这3户用气量处于不同区间”，则默山C620 5(m) X的可能取值为0 , 1, 2 , 3,则 所以X的分布列为,、4 一,4 1213分或*3.3,- I 所以 EX

12、 =3父一二一I 5力5 5(17)证明：证明：(I) 由题，CD2+PD2=PC2, CD 10 PAD(H)法 1:由(I)知 PO 1OD,PO -LOB,.OD .L OB二以点O为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz,如图所示-1 1C<2,1,0 ) P(0,0,1), D(0,1,0) B(v12,0,0) E(0,-,-)2 2CE =(-,2,-2,2),PB = ( 2,0, -1),BC =(0,1,0)设面PBC的法向量n =(x,y,z)设CE与面PBC所成角为e .sin 二-| cos 二 CE,n |=51510分(H)法2:以点D为坐标原点建立空间直角

13、坐标系D-xyz,如图所示C(0,收,0) P(-1,0,1), D(0,0,0) B(-1,<'2,0) E(-2,0,1)11'_ _CE =(-2，-、2,),PB =(0,、. 2,-1),BC =(1,0,0)设面PBC的法向量n =(x,y,z)设CE与面PBC所成角为e .sin -| cos : CE,n |=51510分法3:以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示C(、22,0) P(0,1,1), D(0,2,0) B(叔1,0) E(0,1,2)一1 1.CE = (- .2,-2,2) ,PB = ( .2,0, -1), BC =

14、 (0,1,0)设面PBC的法向量n =(x,y,z)设CE与面PBC所成角为9.<15sin 二一| cos :二 CE,n 尸1510分(m) PD u面PAD二CD _L PD二APDC为等腰直角三角形 将侧面PCD绕着PD旋转，使其与侧面PAD共面，点C运动到C' 则AC '为最短路线PE _ _ _ _ _ 2 2 _ . 10_1, AC =2AE =2 . AP2 PE2 =2=10ED2,连接AC'交PD于E,14分(18) (I)根据题意'b =1，e=c=必解得:a 22,2,2a =b +ca =、,2b = 12所以椭圆C的方程为+

15、 y1 2 *=12(n)设直线l的方程为y =k(x1)- 2x 2.r 'V=1222_2_由2得(2k +1)x 4kx+2k 2=0y =k(x -1)由 A0得kw R且k=0设 M(Xi,yJN(X2,y2),线段 MN 中点 Q(Xo,y。)那么X1 , X2 =4k22k2 -22, x1x2 =22k2 12k2 1设P(p,0),根据题意PQ _L MN所以0_2X0 - p2k-k2k2 1_ 22k 1所以 |PF |=1 -k2k2 1222k 1 2k 1(1叫42kI,24(2k2 -2)n2,2(1 k2)2k2 12k2 114分所以的山=2力为定值

16、|PF I(19) (I)解：a=-1,11 1f (x 尸ln x , f (1 尸 1, f (x )= -2 +-xx x，k = f '(1 )= 0.故所求切线方程为：y=1(II)解：g(x) = xlnx，函数定义域为:x | x > 0,/1g (x )=ln x+1 , Xo =一 e故g (X )的极小值为一1 ,无极大值. e11(田)解法 1:令 f (x )=_ _aln x = 0 ,解得：一 = xlnx (显然 a =0) xa1 .问题等价于函数y=1与函数y= xln x的图像有两个不同交点.112由(H)可知：g(-) =, g(-)=一，e

17、 ,解得：-上 Ea<-ee2e2e e 122ae2 一r , jEe2、故实数a的取值范围是i-,-e .1 2)(田)解法 2: f(x)=-2- = -ax1 x x xf (x )不能有两个零点;所"U(x )在强(1) a=0时，f(x)=1在,上是减函数, x.e(2) a 60时，ax +1 >0 ,所以 f (x)=-ax：1 <0在 x上是减函数，f (x4能有两个零点；(3) a<0时，令 f (x) = 2 = 0, x =- xaf (x f'(x )变化情况如下表：(i) -1w3时，即aw-e2, f (x)在.£

18、;,y上是增函数，所以f(x)不能有两个零点； a e_e(ii ) -1>3时，飞2<a<0f(x内.|4,-1 上是减函数，)在.|,"上是增函数. a e_e a_ af (1 )=0所以若f (x )在.£, 口 |有两个零点只需:a a In , < 0即：' a'21e -aln 2-0 e,e2所以一且a：-e2a :二-e解得e2a - -e2 e2综上可知a的氾围是, -e20.解:(I) Bi有如下的三种可能结果:Bi；Bi；Bi：0,2 3分3 22 37(n) v a,b wx | -1 <x <1,有a b d -(a-1)(b-1) a b(a 1)(b 1) n-i