动点产生的面积问题-教师版

1、1 / 29例题解析【例1】 如图，已知直线l: y 2x 2与x轴、y轴分别交于点B、C,将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线 PA,点Q是直线PA与y轴的交点，求四边形PQOB的面积.2.6由题意可得：直线PA的解析式为y x 1y x 1,解得:y 2x 21x -34y 3点Q是直线PA与y轴的交点，Q 0,1 .直线l: y 2x 2与x轴、y轴分别交于点 B、C,一S加边形 PQOBSA COB SA CPQ-21-122【总结】考察四边形面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决.【例2】 如图，已知直线AB: y x 2与直线OA: y1-x父于点A,与直线OB： 3y 3

2、x交于点B两点.求 AOB的面积.【解析】令-x 3x 2 一2,解得:3x则 B 1 ,3 .33,则A1设直线AB与x轴相交于C,则C一SA OABSA OACSA OCB(2, 0),3 12 12【总结】考察三角形面积的求法，不能直接求面积则用割补法来解决，注意交点坐标 的求法.【例3】 如图，已知直线 y x 3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C,把9OB的面积分为2: 1两部分，求直线l的解析式.【解析】直线y1x .23的图像与x轴、y轴分别交于 .A ( 3, 0), B(0, 3),匕2当 S»A OBC2cS>A OBA

3、 时,3ycc点在直线AB 上，C ( 1 ,2),则直线l的解析式为：y 2x;当 S»A OBC- S»A OBA 时,31 9 一.一一，则 yC 1 ,3 2C点在直线AB上,则直线l的解析式为:(2,1 一x .21),综上直线i的解析式为2x或3 / 29【总结】考察面积的求法，本题中要注意分类讨论.【例4】F、(1)如图1,当四边形EFGH为正方形时,(2)求 GFC的面积；BF=a时，求 GFC的面积.（用含a的如图2,当四边形EFGH为菱形，且代数式表示）图1如图，已知，在矩形ABCD中，AB=10, BC=12,四边形EFGH的三个顶点 E、H分另I在矩

4、形 ABCD边AB、 BC、 DA上，AE=2.11 / 29【答案】见解析.【解析】（1）过点G作GM，BC于M .四边形EFGH为正方形时，二. AEHBEF 90AEH AHE 90 , AHEBEFAHE BEF, A B, EHEFAAHEABEF同理可知：MFGBEFGM BF AE 2FC BC BF 10,则 SzxGFC 10（2）过点G作GM，BC于M,连接HF. AD/BC,AHFMFHEH / FG, EHFGFHAHE MFGAHE MFG ，GMF ， EHAHEKMFG GM AE 2八1 一Sa gfcFC GM212 a 2 12【总结】本题主要考察菱形、正方

5、形的性质和全等三角形的判定和性质.【例5】 如图1,正方形ABCD的边长为2,点A(0, 1)和点D在y轴正半轴上，点B、C在第一象限，一次函数 y=kx+2的图像l交AD、CD分别于E、F.E(0, 2).(1)若 DEF与 BCF的面积比为1 ： 2,求k的值；(2)联结BE,当BE平分/ FBA时，求k的值.【难度】【答案】(1) k 1 ； (2) k 2.【解析】(1)二正方形ABCD的边长为2,点A(0, 1)和点在y轴正半轴上，点 B、C在第一象限，:一次函数y=kx+2的图像l交AD、CD分别于E、F,1 .B(2, 1), C(2, 3), D(0, 3).设 F(m, 3)

6、,DEF与4BCF的面积比为 1 ： 2,1-m2. F(1, 3)在直线 y=kx+2 上，. . k 1;(2)延长BE交CD的延长线于H ,2 BE 平分/ FBA, FBE ABE3 CD/AB, HABE,， HFBE ,，FB=HFAE=1, DE= 1 , AE=DE .AE=DE,HDEBAE, HEDBEA . HEDA BEAHD=AB =2,H(-2, 3)设 F(n,3) - FB=HF , Jn 2 F(1 , 3)在直线 y=kx+ 2 上， k 2 .【总结】考察等腰三角形的性质和两点之间的距离公式的运用，注意点的坐标与解析 式的关系. 22 n 2,解得：n 1

7、,2.F(1, 3)2【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点 M,且点M为线段OB的中点.(1)求直线AM的表达式；(2)试在直线AM上找一点P,使得S；aabp=&aob,请求出点P的坐标；(3)若点H为坐标平面内任意一点，是否存在点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点 H的坐标；若不存在，请说明理由.【难度】【答案】(1) y x 6 ; (2) P(6, 12)或 P(18,12);(3) H(12, 0)或 H( 6, 18)或虫 -, 竺). 55【解析】(1)二函

8、数y=2x+ 12的图像分别交x轴、y轴于A、A(-6, 0), B(0, 12)点M为线段OB的中点， M(0, 6), 则直线AM的表达式为y x 6 ;(2)当点P在AM的延长线上时Sa abp= Sa aob,OP/AB,贝 U可知直线 OP 的表达式为 y 2x .y 2xx 6P 在直线 AM 上，令，解得：，P(6, 12);y x 6y 12当P在AM的反向延长线上时，过 P点作PNXOB,垂足为H设 P(n,n+6), SA ABP SA BPN SA ABO S梯形 AONP , SAABP = SAOB,1 111一n66n-6 12-6n6 n 6-6 12 ,解得：n

9、 18,2 222则 P(18,-12).(3)存在点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形.若以AM为底，BM为腰，过点B作AM的平行线，当点 H(-12, 0)时，以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形；若以BM为底，AM为腰，过点A作BM的平行线，当点 H(-6,18)时，以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形；若以AB为底，BM为腰，过点M作AB的平行线，当点 H( - , 18)时，以A、55B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形.【总结】本题综合性较强，本题一方面考察面积的确定，另一方面考察等腰梯形的性 质和分类讨论.【例7】 如图1,已知直角坐标平面内点 A(2, 0),

10、 P是函数y= x (x>0)图像上一点,PQ，AP交y轴正半轴于点 Q.(1)试证明：AP=PQ;(2)设点P的横坐标为a,点Q的纵坐标为b,那么2 一 (3)当 SaAOQ= SbAPQ 时, 3求点P的坐标.(3)(1)见解析；(2) b2a 2;5 .5 5 .5一 ) 一(1)过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T,P是函数y=x (x>0)图像上一点PH=PT , PH LPT. PQXAP, APH QPTAPH QPT , PH=PT ,AHPQTPAPHAAPTQ . AP=PQ;(2)由(1)可得：AHTQ OQ TQ OT(3)2a 2;设 P(a, a),

11、SA AOQ1OA2OQ 2aS*A APQ2 2-2a 2 a 2a 2 ,3-5解得：a 一1-AP2-52a2 2a 2 ,注意利用面积公式确定点【总结】本题主要考察全等的运用，及三角形面积的求法, 的坐标.【例8】 如图，矩形ABCD中，AB=1 , AD=2, M是CD的中点，点P在矩形的边上 沿ABC M运动，试写出 APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像.【难度】【答案】见解析.【解析】当P在AB上运动时，即0x1,_1y = Sa apm AD AP x ；2当P在BC上运动时,3,_3 xy= Sa apm22当P在CM上运动时,1 7y

12、= SAAPM x函数图像如由图所示.【总结】本题主要考察面积与动点的结合，注意进行讨论.【例9】 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB= CD = AD = 5cm, BC= 11cm,点 P 从点D出发沿DA边以每秒1cm的速度移动，点 Q从点B出发沿BC边以每秒2cm 的速度移动(当点 P到达点A时，点P与点Q同时停止移动)，假设点P移动的 时间为x (秒)，四边形ABQP的面积为y (cm2).(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(2)在移动的过程中，求四边形ABQP的面积与四边形 QCDP的面积相等时x的值;(3)在移动过程中，是否存在 x使得PQ = AB,若

13、存在，求出所有的 x的值；若不存在，请说明理由.【难度】【答案】(1) y 2x 10 (0 x 5);,、，、5 .11(2) x 3; (3) x 或 x -.33【解析】(1)作AEBC于E, DFBC于F,AB = CD= AD=5cm, BC=11cm,BE=CF =3,贝U AE 4 .1 DP x, BQ 2x , . y 5 x 2x 4 2x 10(0 x 5);2(2)当四边形 ABQP的面积与四边形 QCDP的面积相等时，四边形ABQP的面积等于四边形 ABCD的面积的一半，11 2x 10 - - 5 11 4,解得：x 3; 2 2(3) PQ = AB, AD/BC

14、,四边形ABQP为平行四边形或等腰梯形.当四边形ABQP为平行四边形时，则 AP=BQ,5 x 2x,解得：x -;3当四边形ABQP为等腰梯形时，则四边形 PQCD为平行四边形，x 11 2x,解得：x ;3综上所述，当PQ=AB时，x的值为5或U. 33【总结】本题主要考察动点背景下的平行四边形和等腰梯形的性质的综合运用.【例10】已知：如图1,在线段AE的同侧作正方形 ABCD和正方形BEFG (BEvAB), 连结EG并延长交 DC于点M,作MNLAB,垂足为N, MN交BD于P.设正方 形ABCD的边长为1.(1)证明： CMGA NBP;(2)设BE = x,四边形MGBN的面积为

15、y,求y关于x的函数解析式，并写出定 义域；,正方形 ABCD, MNXAB,，四边形BCMN是矩形，CM=NB .CM=NB , C PNB , CMG PBN2 .CMGA NBP;(2)二.正方形 BEFG, BE=x,3 BG BE x, CG 1 x ,x 1);11 21/4 y1 x 1 xx(0222(3)由已知可得： MN/ BC, MG /BP,，四边形BGMP是平行四边形.要使四边形BGMP是菱形，则BG，当 BE 242时，四边形BGMP是菱形.【总结】本题考察正方形的性质和动点背景的下面积问题，解题时注意认真分析题目中的条件.【例11】 已知：在梯形 ABCD中，AD

16、/BC, / B=90° , AB=BC = 4,点E在边 AB上，CE=CD.(1)如图1,当/ BCD为锐角时，设 AD = x,的函数解析式，并写出函数的定义域;(2)当CD=5时，求 CDE的面积.【答案】(1) y lx2 4x ( 0 x 4) ; ( 2) 2【解析】(1)过C作CFLAD交AD延长线于F AD/BC, / B = 90° , AB=BC = 4,四边形ABCF是正方形.-. CE = CD, BC=CF , . BCEA FCD , DF=BEAD=x,DF 4一yS弟形 ABCDSa ADESabeclx2 4x, 2定义域为：0 x4；(

17、2)当/ BCD为锐角时,5 . CD = 5 时，CF=4,由勾股定理可得:代入解析式中可得:DF 3,则 AD7 y当/ BCD为钝角时,易知15/29SVCDES 梯形 ABCDSVBCESVADE(47) 425万综上所述， CDE的面积为7或丝. 22【总结】考察全等三角形的构造和正方形的性质的综合运用，第(2)问要注意分类讨论.1一 x m父折2【例12如图1,四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0), (0,1),点D是线段BC上的动点(与端点 B、C不重合)，过点D作直线y线OAB于点E.(1)当点E恰为AB中点时，求m的值；(2)当点E在线段OA上，记ODE的面积

18、为y,求y与m的函数关系式并写出定义域;(3)当点E在线段OA上时，若矩形 OABC关于直线 DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试判断四边形 O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积系式.【答案】见解析.【解析】四边形 OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3, 0) , (0, 1), B (3, 1).(1)当点E恰为AB中点时，则E (3,2)丁点_ -.1.E在直线y x m上,2S关于m的函数关E点坐标，可得：m 2 ;x(2)当点E在线段OA上,1 .直线y x m父折线OAB于点巳2 E (2m, 0

19、),(3)矩形13-2m 1 m (1 m -)；22设O1A1与CB相交于点M, OA与B1C1相交于点N,则四边形 O1A1B1C1与OABC的重叠部分的面积为四边形DNEM的面积.,DM /NE, DN II ME,二.四边形 DNEM是平行四边形MED NED, MDE NED, MED NED,. MD ME,，四边形DNEM是菱形过D作DHOA,垂足为H,设菱形 DNEM的边长为a. D (2m 2, 1), E (2m, 0),. DH=1 , HE= 2m 2m 2 2 ,NH |EN EH | |a 2,在直角 DHN 中，a2 2 a 2 12 ,解得：a 54菱形DNEM

20、的面积为：5 1 544【总结】本题综合性较强，一方面考查面积与动点的结合，另一方面考查面积的定值，注意进行分析.【例13如图1,在正方形ABCD中，点E在边AB上(点E与点A、B不重合)，过 点E作FG，DE , FG与边BC相交于点F ,与边DA的延长线相交于点 G .(1)当E是AB中点时，求证 AG = BF;(2)当E在边AB上移动时，观察 BF、AG、AE之间具有怎样的数量关系 ？并证 明你所得到的结论；(3)联结DF,如果正方形的边长为 2,设AE= x , ADFG的面积为y ,求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域.【难度】【答案】（1）见解析；（2） BF AG AE

21、;1 2（3） y -x2 2 （0 x 2）.2【解析】（1）当E是AB中点时，AE=BEAE=BE , BEF AEG , EAG BAEAGAEBFAG = BF BF AG AE过点F作FH，DA,垂足为H ,则四边形 ABFH是矩形FH=AB=AD2 DEXFG, G 90 ADE DEAFH=AD , G DEA, A GAFHG ©DAE,GH=AE ,即 HA AG AE3 BF=HA ,4 BF AG AE ;(3)由(2)可得：FG=DEFG DE . x2 42 y L，x2 42 Jx42 x2 2(0 x 2)22【总结】本题主要考察正方形背景下的动点问题，

22、注意对常见辅助线的添加以及线段 间的转化.【例14 如图 1,梯形 ABCD 中，AD/BC, /B=90° , AD=18, BC = 21.点 P 从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点 D匀速运动，点 Q从点C沿CB以每秒 2个单位的速度向点 B匀速运动.点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点 停止运动，设运动的时间为t秒.(1)当AB=10时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为 S,求S关于t的 函数关系式，并写出定义域；(2)设E、F为AB、CD的中点，求四边形 PEQF是平行四边形时t的值.【难度】【答案】（1） S 105 5t（0 t 10.5）； t 3

23、.2【解析】（1）由题意可得：AP=t, CQ=2t,1贝U S 1 t 212t 10 105 5t （0 t 105）; 2（2）过点D作DHBC于H,取CH的中点G,则四边形 ABHD是矩形.1F是CD的中点，G是CH的中点，FG 1DH2 AD/BC, /B=90° , AD=18, BC=211 3.CH=21-18=3, CG=1CH -2 2QG QC GC 2t 32四边形PEQF是平行四边形，PE=QF1 一 AE FG 1AB A FGQ 90o2 ，AEPA GFQ, QG=AP3 3 2t - t,解得：t22即当四边形PEQF是平行四边形时，t的值为3 .2

24、【总结】本题一方面考察梯形背景下的动点结合，另一方面考察中位线及平行四边形 的性质的综合运用，注意认真分析.【例15如图1,在菱形ABCD中，/ B=45° , AB=4.左右作平行移动的正方形EFGH的两个顶点F、G始终在边BC上.当点G到边BC中点时，点E恰好在边AB上.(1)如图1,求正方形EFGH的边长；(2)设点B与点F的距离为x,在正方形EFGH作平行移动的过程中，正方形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为 y,求y与x的函数解析式，并写出它的定义域;(3)联结FH、HC,当 FHC是等腰三角形时，求【难度】【答案】见解析.【解析】(1)当点G到边BC中点时，BG=2,

25、B = 45° ,正方形EFGH的两个顶点F、G始终在边BC上.BF=EF=FG BG=2 , FG= 1,即正方形EFGH的边长为1;1 X 21c 1(2)当 0 x 1 时，y 1 -x2 x ,222当 1 x 3 时，y 1;(3)当 FH=HC 时， HG XCF,FG=CG= 1, BF BC GC FG 4 1 1 2 ;当FC=HC时，FC FG CG1 CG , HCVGH2 GC2JGC21 GC <GC2 1 ,解得：GC 0, BF BC GCFG 4 103;当 FH=FC 时，则FC J2,此时BF BC FC4J2 ,综上所述，当 FHC是等腰三

26、角形时，BF的长为2或3或4 J2 .【总结】本题主要考察平行四边形与正方形的性质的综合运用，解题时注意对等腰三 角形要进行分类讨论.21 / 29【例16如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，A(0, 4),C(5, 0),点D是y轴正半轴上一点，将四边形 OABC沿着过点D的直线翻折， 使得点O落在线段AB上的点E处.过点E作y轴的平行线与x轴交于点N,折痕与直线 EN交于点 M,联结 DE、OM.设OD = t, MN = s.(1)试判断四边形 EDOM的形状，并证明;(2)当点D在线段OA上时，求s关于t的函数解析式，并写出函数的定义域;(3)用含t的代数式

27、表示四边形EDOM与矩形OABC重叠部分的面积.【答案】见解析.EB【解析】(1)四边形EDOM是菱形.将四边形OABC沿着过点D的直线翻折,使得点O落在线段AB上的点E处,ODMEDM , OD DE . EM / OD ,ODM DME ，EDMDME , DE EM , OD DE ,OD EM .EM / OD, 四边形 EDOM是平行四边形, DE EM，平行四边形 EDOM是菱形;(2)由(1)可得：OD=EM = t,EN=OA=4, . s 4 t ( 2 t 4)；(3)当点D在线段OA上时,OD OM ED EM t , EN 4 , 4 t sON OM 2 MN2t2

28、4 t 28162 一214四边形EDOM与矩形OABC重叠部分面积为:OD ON t 2d2t 4 2tJ2t 4 ;当点D在线段OA延长上时(如图所示)，. AD t 4, BD t , AE 诟DADJ(t 4)2 t22。2t4 ,四边形EDOM与矩形OABC重叠部分面积为:AE OA 2j2t 4 4 8j2t 4 ,综上所述，四边形EDOM与矩形OABC重叠部分的面积为2tV2t4或82广4 .【总结】本题主要考察菱形的判定方法和性质的综合运用，解题时注意进行分析.【例17】已知：如图1,梯形 ABCD中，AD/BC, ZA=90° , / C=45AB = AD = 4

29、. E是直线 AD上一点，联结 BE,过点E作EF，BE交直线CD于点F.联结BF.(1)若点E是线段AD上一点(与点 A、D不重合)，(如图1所示) 求证：BE=EF;设DE = x, ABEF的面积为y,求y关于x的函数解析式， 并写出此函数的定义 域；(2)直线 AD上是否存在一点 E,使 BEF是4ABE面积的3倍，若存在，直接 写出DE的长，若不存在，请说明理由.【难度】【答案】见解析.【解析】(1)在AB上截取AG=AE,连接EG, /A=90° , AG=AE , AGE AEG 45 , BGE 135 AD/BC, /C=45° ,D 135 , BGE

30、D AG=AE , AB = AD,ED=BG /A=90° , EFXBE, ABE DEFED=BG , BGE D , ABE DEFABGEAEDF ,BE=EF;,DE = x,AE 4 x ,- ZA=90O , BE JAFAB2 4 4 x 2 42 ,x2 8x 322(0 BE=EF,y 2 BE EF 表 4 x 2 42 J4 x2 '（2）当点E在线段AD上时, Sa ABEABAE2x8x212328 2x ,又 SvBEF3SvABE ,2 2j5 （负值舍去），DE 2 2j5 ;当点E在线段DA延长线上时，延长BA到G,使得BG=DE,连接E

31、G,则 AGE是等腰直角三角形.同(1)可证 BGEA EDF ,，BE=EF,1 121 ；2212212Svbef-BE EF -BE JabAE -J4(x 4)Jx8x 32,2 222 -21 , Sa ABE 4 x 4 2 1 :22 1 -22 1 :：-2BE -VABAE -J4(x 4) -Vx8x 32 ， 222x 8，又 S/BEF 3S/ABE， 223 2x 8 -一8x2 ,解得：x 10 2V5 , 2 DE 10 2/5 ;当点E在线段AD延长线上时，延长 AB到G,使得BG=DE,连接EG,则 AGE是等腰直角三角形.同（1）可证BGEA EDF ,BE

32、= EF,c1SvbefBE EF2SA ABE 4 x 422x 8 ,又 SVBEF3SVABE，3 2x 8 -一肛二2,解得：x 2 275 （负值舍去）， 2综上所述，当 BEF是4ABE面积的3倍时，DE的长为 2 2J5或10 2娓或2 2后.【总结】本题综合性较强，主要考察全等三角形的构造方法和梯形的性质运用，注意 对点在直线上的准确理解，要分多种情况进行讨论.【例18如图，已知正方形 ABCD的边长为3,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边 AB、CD、DA上，AH=1,联结CF.(1)当DG = 1时，求证菱形 EFGH为正方形;(2)设DG=x, AFCG的面

33、积为y,写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围;(3)当DG=4押时，求/ GHE的度数.3，【答案】见解析.【解析】(1)当DG = 1时,. AH = 1, DG=AH.菱形 EFGH , HG=HE ,A D 90°,HDGA EAH,DHGAEHAHE AEH 90 , AHE DHG90 , ,GHE90菱形EFGH是正方形;(2)联结 GE,过F作FM LDC交DC的延长线于 M,23 / 29. CD/AB,CGEAEG. FG/HE, FGEHEG , FGCHEAFGC HEA,.AHEAMFG ,. HA FM1 ，c3)；x ( 0 x(3)二.正方形AB

34、CD的边长为3,DH=2.当 DG=4J3 时，GH3.DH 2 DG222，HE2 HA2过G做GN LAB于N,DG = 473 , AE -/3NE3333，323 233GHGE.EGH是等边三角形,GHE【总结】本题主要考察正方形的性质及全等三角形的综合运用，注意辅助线的合理添加.【例19已知：如图，四边形 OABC的四个顶点坐标分别为0(0, 0), A(8, 0),B(4, 4), C(0, 4),直线l: y=x+m保持与四边形 OABC的边交于点 M、N (M在折线AOC上，N在折线ABC上).设四边形OABC在l右下方部分的面积为 Si,在l左上方部分的面积为记$= S1-

35、S2 (S>0).(1)求/ OAB的大小;(2)当M、N重合时，求l的解析式；(3)当mW0时，线段AB上是否存在点N,使得S=0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；(4)求S与m的函数关系式.AHEM/【难度】【答案】见解析._【解析】(1)过B作BE，x轴，垂足为E,则点E(4, 0). B(4, 4),/b BE 4, AE 4 , .ABE为等腰直角三角形， 0AB 45 ;S> 0, 点M、N只能重合到点C(0, 4), 此时m 4 ,故直线l的解析式为：y=x+4;1(3)四边形 0ABC的面积- 4 8 4 24 2 直线l: y=x+m保持与四边形 0ABC

36、边交于点M、N, .AMN为等腰直角三角形.当S= 0时，则4 AMN的面积为四边形 0ABC的面积的一半. 过N做x轴的垂线 NH,贝U NH=AH=MH .设 NH a ,贝U 1 a 2a a2 12 , 2解得：a 23 , l N 8 273,2/3 ,一点N在直线l ： y=x+ m上， m 4 8 ;(4) . S= SiS2(S>0),m 4.6 8 .当 473 8 m 0 时，OM m, AM 8经过 A(8,0),B(4, 4)的直线解析式为：y31 / 298x 解得： 28y”8 m 1 2 Sim 4m 16 ,24SiS22Si241m2 8m 2当0 m

37、4时,OMS224 Si,S S1S2242§m2 8m8；综上所述,一 m2 8m 2m2 8m8 m 0)8(0 m4)【总结】本题综合性较强，主要考察图形的运动，包含了一次函数的性质及解析式的 求法.解题时要注意从多个角度分析，特别要清楚动点的移动位置.【例20】在边长为4的正方形ABCD中，点。是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点 P作PFXCD于点F ,作PEXPB交直线CD于点E,设PA= x ,S*A PCEy ,(1)求证：DF=EF;(3)点P在运动过程中能否使 PEC为等腰三角形？如果能，请直接写出PA的(2)当点P在线段AO上时，求y关于x的函数关系

38、式及自变量 x的取值范围;长；如果不能，请简单说明理由.【难度】【答案】见解析.【解析】(1)延长FP交AB于点G正方形 ABCD中，PFLCD于点F,，四边形 AGFD 是矩形，DF=AG , AGF 90.正方形 ABCD, BAC 45AGF 90 , AG GP ,，DF GP同理可得：CF PF BG PEXPB, AGF 90 , GBP FPEGBP FPE , PF BG, BGP PFEAGBPAFPE, . GP=EF. DF GP , DF EF ;,c、-2.2(2) FA=x , AG GP x, DF EF x ,22则 DE V2x,CE 4 V2x,2. PF

39、4 x2，. . y - 4 <12x 4 x x2 3j2x 8(0 x 2V2) 222(3)点P在运动过程中能使 PEC为等腰三角形.当点E在CD边上时，CEP 90 ,要使APEC为等腰三角形，则 CPE ECP 45,则PELCE. PEXPB,，BP/CD,，BP/BA.于是点P在AB上，又点 P在AC上，A与P重合，此时 AP=0.当点E在DC延长线上时，要使 PEC为等腰三角形，只能是 PC=CE ,易得 PA=4.【总结】本题主要考查正方形的性质的综合运用，注意对等腰的分类讨论.随堂检测【习题1】如图，直线4-x 4与y轴父于点A,与直线34 、交于点B,且直54-x

40、54 ,与x轴父于点C,求GABC的面积.5【解析】直线4与y轴交于点A,A (0, 4);直线y4-x 3D (3,0)；4 -x34 -x5解得:一. 3则 B -,22;直线yC,0),一Sa abcS»A ACD1Sa bcd 一 21- 4 2 4.2【总结】考察面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决,注意交点坐标的确定.AAOB被分成的两部分面积比为1 : 5,求k和b的值.【答案】k 2, b【解析】直线y,、222 或 k- , b -.33x 2与x轴、y轴分别交于A点和B点,A (2, 0),(0, 2).【习题2】已知直线y x 2与x轴、y轴分别交于A点和

41、B点，另一条直线y kx b(k 0)经过点C (1, 0),且把9OB分成两部分.若若"OB被分成的两部分面积比为 1: 5,那么直线y kxb(k 0)与y轴或AB交点的纵坐标为：2kx b(k22一时，一3342、330)与直线y x 2相交时，交点为D,4解得：x ", 3丁点C (1, 0),D(r2，八工)在直线y3kx b(k 0)上,2, b 2kx b(k2 13时，.c 2(0, 2)： 30)与y轴相交时，交点为2,解得:E,(1, 0),(0,在直线kxb(k 0)上,综上，k 2,【总结】本题主要考察面积的求法及交点坐标的确定，注意要分类讨论.【习

42、题3】直线y 3x 6与坐标轴分别交与点 A、B两点，点P、Q同时从。点出 4发，同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P沿O B A运动.(1)直接写出A、B两点的坐标;(2)设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系;(3)当s竺时, 5M的坐标.边形的第四个顶点当点P在线段OB上运动时(0 t3)，求出点P的坐标，并直接写出以点 O、P、Q为顶点的平行四OQ t , OP 2t , S t2 ；当点P在线段BA上运动时(3 t8) , OQ102t 16SA OPQSA OPAOQ tOA 8 'SaopaAPSAOBAB

43、A16 2t10-S»A OPQt 16 2t 心 t- Sa oab -810816102t一 24t2综上所述,S与t之间的函数关系为:(09t2 53)24Tt(38)(3)当 S当 s 48 时，5t248524 t51一32245，6,，点解得：tP在AB上,PD 24 ,5AP 8, AD325OD8,，P (巴 5524)5，以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标(1224、5512或(一，5【习题4】如图，已知：过点 A （8, 0）、B （0, 8J3）两点的直线与直线 y J3x交于点C,平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 x

44、轴 向右平移，至IJ C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧 作等边 DEF ,设 DEF与 BCO重叠部分的面积为 S （平方单位），直线l的运动时间为t （秒）.8 愿),E (t ,J3t），（秒），D （t ,;直线l的运动时间为tDEV3t 873 3t 8v'3 2t ,等边 DEF的DE边上的高为： DE 8J322.E（t, J3t）,. ME t, MN W3t,同理可得:3可求梯形上底为：83 2J3t区31,3273t12 3t .当点 F 在 BO 边上日12 3t t , . t 3.当0 t 3时，重叠部分为等腰梯形,S - 8 3

45、2 3t 8 3 2 3t 22.3,1337 / 29当3 t 4时，重叠部分为三角形，S 18V3 273t 12 3t 3V3t2 2473t 4873.2【总结】本题综合性较强，主要考察一次函数与动点的结合以及图形的运动，解题时一方面要清晰动点的运动轨迹，另一方面要学会表示动点的坐标，第（2）问注意要分类讨论.课后作业【作业1】如图，已知直线FA： y x n(n 0)与直线PB： y 2x m(m n)交于点P.(1)用m、n表示出A、B、P点的坐标;(2)若点Q是直线PA与y轴的交点，且四边形 PQOB的面积-,AB=2,试求的坐标，并写出直线 PA与PB的解析式.【答案】见解析.【解析】(1) .直线PA：n(n 0)交x轴与A,A ( n, 0),.直线PB： y2xm(mn)交x轴与B,B ( m , 0),2令y x n y 2x i解得:m nm 2n3二n)； 3(2)二点Q是直线PA与y轴的交点,.Q(0,四边形5PQOB的面积-, 6SA COBSACPQ AB=2,直线PA的解析式为:直线PB的解析式为: