第1章 数制与编码

1、12数字电子技术讲稿数字电子技术基础讲稿 2004.3（使用教材：数字电子技术基础，西电出版社，扬颂华等编）前言：数字信息时代 数（任何信息）用代码（二进制代码）表示（编码） 模拟电子技术（低频电子线路和高频电子线路） 数字电子技术（微机原理及应用）第一章 数制与编码11 数制 111 位计数制位置计数法；多项式表示法： 十进制数 具有数符（数码）0 1 2 9 及小数点 · 逢十进一 一般形式： 对于R进制数有： 其中：为R进制数中R个数符之一，逢R进一。二进制数 具有数符（数码）0 1 及小数点 · 逢二进一二进制数的运算规则：逢二进一（借一当二）。加： 减：乘： 除：

2、八进制数具有数符（数码）0 1 7 及小数点 ·逢八进一例：十六进制数具有数符（数码）0 1 7 ABCDEF 及小数点 ·逢十六进一例：112 进位计数制之间的转换1 二进制数与十进制数之间的转换二进制数转换成十进制数 按权展开例：十进制数转换为二进制数整数转换 除二取余 除2得商和余数（二边的商和余数应相等）；之后二边再除二，。例：由下式求得：.小数转换 乘2取整例： 由下式求得：2.二进制与八进制，十六进制之间的相互转换例：12 编码 P6*二进制代码 0 1 （仅有二个符号，代表二种情况，三种则由二位表示）。*信息（包含数据等）可用若干位二进制代码0 1的组成合来表

3、示。* n位二进制代码，可组成 种不同的代码，可表示 种不同信息。*若干位二进制代码（0 1 或称码元）按一定的规则来表示给定信息称编码。121 二 十进制编码 BCD码 P6 表1-2*用二进制代码（0 1）来表示十进制数（0 1 2 9）。*须用四位二进制代码来表示，四位二进制代码共有十六种不同组合，按一定的规则取其十种赋给十进制数（0 1 2 9）的各数符（编码）。可见将会具有很多种不同的编码方案可取。1.8421BCD码（有权码） 取十六种代码的前十个分别代表0 1 9，一般将8421BCD码间称为BCD码。例： 每位数符用四位二进制代码表示，每位二进制码具有“权”值，由“权”值可计算

4、得该码所表示的十进制数 有权码。2 5421BCD和2421码注意：上述二种编码不是唯一的，有些有权码的“权”可为负值。3 余3码注意：给BCD码取十六种组合的中间十种。122 可靠性编码 提高数字信息在传输过程中的可靠性的一种编码技术。1Gray码（格雷码，循环码）对于二个相邻的代码，仅有一位二进制码元不相同，称码距为一，也称相邻码。 例：BCD格雷码（P6表1-2），不是唯一的，可有很多，其可靠性：BCD格雷 码计数器将不会有过度状态。 例：表1-3 典型Gray码2奇偶校验码 奇偶校验码由二部分构成：信息位和校验位，校验位的设定将使整个代码中的“1”的个数为“奇”数或“偶”数，通信双方有

5、约定时，将可发现一位码的错误。 例：P8 表1-4123 字符代码 例：P9 表1-5 ASCII码表* 七位代码（需要时可加一为校验位）。* 00H-1FH及7FH为控制码；其他为可打印（可显示）代码。作业：P9 1-1 （1） 1- 5 第二章 逻辑代数基础 P11逻辑代数：研究客观事物之间的逻辑关系（布尔代数，开关代数）。21 逻辑代数中的三种基本运算211 逻辑变量和逻辑函数常量：0 1 可代表事物矛盾的两个方面，（有，无；高，低；真，假等）。变量：常用字母（ABCD 或abcd等）表示，可能取值为0 1 之一。运算：具有“与”，“或”，“非”三种运算，用符号“·”，“+”，

6、“”表示。函数：例如 其中：* A，B为自变量，可能取值为0 1 之一。 * F为应变量，当A，B的取值（为01之一）确定之后，F的 取值也为之确定（为01之一），称F为A，B的函数。212 三种基本运算1“与”运算（逻辑乘）设：开关闭合为1，断开为0，灯亮为1，灯灭为0， F为AB的函数。函数F的真值表（全值表）（“与”运算真值表） “与”运算规则： A B F 0·0 = 0 0 0 0 0·1 = 0 0 1 0 1·0 = 0 1 0 0 1·1 = 1 1 1 1 *与门：（二极管与门） 逻辑符号：P12 图2 - 2设：高电位为1（3.6V5

7、V），低电位为0 （0V0.7 V） 正逻辑2“或”运算（逻辑加）设：开关闭合为1，断开为0，灯亮为1，灯灭为0， F为AB的函数。函数F的真值表（全值表）（“或”运算真值表） “或”运算规则： A B F 0 + 0 = 0 0 0 0 0 + 1 = 1 0 1 1 1 + 0 = 1 1 0 1 1 + 1 = 1 1 1 1 *或门：（二极管或门） 逻辑符号：P13 图2 - 53“非”运算（逻辑反，逻辑非）设：开关闭合为1，断开为0，灯亮为1，灯灭为0， F为AB的函数。函数F的真值表（全值表）（“非”运算真值表） “非”运算规则： A F 0 1 1 0*非门（三极管非门 反相器）

8、 逻辑符号：P14 图2 - 8 注意：晶体管开关电路的描述22 逻辑代数的基本定律和规则221 基本定律（应由“与”，“或”，“非”等原始规定推出）1变量和常量的关系式 P140 1 律： A·0 = 0 A + 1 = 1自等律： A·1 = A A + 0 = A重叠律： A·A = A A + A = A互补律： 2与普通代数相似的关系式交换律： A·B = B·A A + B = B + A 结合律： A·（B ·C）= （A·B）·C （A+B）+ C = A +（B+C） 分配律： A（B+

9、C）= AB + AC A + BC = （A+B）（A+C） 注意： 代数式的运算次序为：先“非”，再“与”，后“或”；当有括号时与普通代数运算次序相似。用真值表来证明 A + BC = （A+B）（A+C）（全举法）：A B C A + BC （A+B） （A+C） （A+B）（A+C）0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1 00 1 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1* 也可用公式来证明。3 逻辑代数中的特殊定律反演律：（De Morgan定律） 还原律： （自对偶

10、）* 反演律的真值表证明：（注意函数值的填入时的方法）。 A B 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0由真值表可见反演律成立。222 三个重要规则1代入规则：任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以 同一逻辑函数，则等式仍然成立。 例：已知 成立 用 B+C 代替 B 则 即 注意：在等式证明中要特别注意，代入的函数的独立性。 例：求证： A + B = A + C 令 ： B = C 用C函数代替变量B 只需证： A + C = A + C 2反演规则 对于任意一个逻辑函数式F，如果将表达式中： · 换成 +

11、 + 换成 · 0 换成 1 1 换成 0 原变量 换成 反变量 反变量 换成 原变量 可得 （为原函数F的反函数）。 例： 若： 则： 若： 则： 注意：不能破坏原式的运算次序，先括号，先“与”后“或”。 不属于单变量上的“非”号应保留。 也可用反演律求得： * 若： 则： #4 对偶规则 对于任意一个逻辑函数式F，如果将表达式中： · 换成 + + 换成 · 0 换成 1 1 换成 0 得到的逻辑表达式称为F 的对偶式，用（或）来表示。例： 的对偶式为 的对偶式为注意： 和互为对偶式。 如果一个等式成立，则对应的对偶式也相等。 例如：成立 因为：的对偶式为 所

12、以：也成立。 的对偶式为 在证明函数相等或逻辑函数简化时可用到对偶规则。223 若干常用公式1合并律： 证明：左边右边。（也可真值表证明） 推论：2吸收律： 证明：左边右边。 描述：在一个“与或”表达式中，当某一“与项”中的部分因子等于另一 个“与项”的全部，则该“与项”是多余的。 推论： 等等。 证明：左边右边。 描述：在一个“与或”表达式中，一个“与项”的反是另一个“与项”的 因子，则此“因子”是多余的。 推论：，当然：。 证明：左边=右 边。 推论：。2 3 复合逻辑231 复合逻辑运算和复合门注意：一种门电路完成了多种逻辑运算称为复合门。1 与非，或非，与或非逻辑运算与非运算和与非门（逻辑符号P17 图2-10） 或非运算和或非门 与或非运算和与或非门2 异或和同或逻辑 异或逻辑运算和异或门真值表：A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 P17 图2-11 同或逻辑运算和同或门真值表：A B F 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 P17 图2-11 注意：同或逻辑和异或逻辑互为反函数；232 逻辑运算符的完备性 对于一个代数系统，若仅用一组所定义的运算符就能解决所有的运算问题，则称这一组运算符是一个完备的集合，简称完备集。 “与，或，非”是一