微分学的基本定理.

1、微分学的基本定理【费马（ Fermat）定理】若(i)函数 f ( x) 在 x0 点得某一邻域 O( x0 ,) 内有定义，并且在此邻域内恒有f (x)f (x0 ) ，或者f (x)f (x0 ) ；（ii）函数 f ( x) 在 x0 点可导，则有f ( x0 )0证明我们对 f ( x) 的情形给出假设证明 . 由于假设f (x0 ) 存在，按定义，也就是f （ x0 ）=f （ x0 ）=f ( x0 ),另一方面，由于f ( x)f ( x0 ) ，所以对（ x0 , x0）内的各点 x ，有f (x)f ( x0 )xx00；而对（ x0, x0）内的各点 x ，有f (x)f

2、( x0 )xx00 .再由极限性质得f( x0 ) = f（ x0 ）=xlimxf (x)f(x0 )0，0xx0of( x0 ) = f（ x0 ）=xlimxf ( x)f (x0 )0 .0xx0o而 f ( x0 ) 是一个定数，因此它必须等于零，即f( x0 ) =0.对于 f ( x)f ( x0 ) 的情形，也可相仿证明.这个定理的几何意义是： 如果曲线 yf ( x)在 x0点具有极大值 （也就是函数f (x) 在x0 点的值不小于f ( x) 在 x0 点近旁的其他点上的值） 或者曲线 y f ( x)在 x0点具有极小值（也就是函数f (x) 在 x0 点的值不大于f

3、( x) 在 x0 点近旁的其他点上的值），并且曲线1yf ( x) 在 x0 点具有切线 l , 那么，费马定理就表明了切线l 必为水平线.【拉格朗日（ Lagrange）中值定理】这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理.若函数 f ( x) 满足（ i ）在 a,b 连续；（ ii ）在（ a,b ）可导，则在（ a,b ）内至少存在一点，使f ( ) =f (b)f (a) .ba这个定理从几何图形上看是很明显的. 画出a,b 上的一条曲线 yf ( x) ，连接 A,B 两点，作弦 AB，它的斜率是tanf (b)f (a) .ba下面对此定理给以证明.证明不妨

4、假设 f (x) 在 a, b 上不恒为常数 . 因为如果f ( x) 恒为常数， 则 f (x) 0在(a,b ) 上处处成立，这时定理的结论是明显的.由于 f (x) 在 a,b 连续，由闭区间连续函数的性质，f (x) 必在 a,b 上达到其最大值M 和最小值 m，我们分两种情形来证明.(1) 考虑特殊情形，f (a)f (b) . 由于 f ( x) 不恒为常数，所以此时必有Mm,且 M和 m中至少有一个不等式 . 这时根据闭区间上连续函数的性质，在（a,b ）内至少有一点，使得f ( )M (或者 f ( )m) ，于是对（ a,b ）内任一点x ，必有f (x)f ( )(或 f

5、( x)f ( )于是由费马定理，即得f ( )0 .而此时 f (b)f (a)0，这就证明了定理成立.对于这样特殊情况的中值定理，也叫【罗尔（ Rolle ）定理】.(2) 考虑一般情形，f (a)f (b) . 此时，作辅助函数12( x)f (x)f (b)f (a) xba由连续函数性质及导数运算法则，可知(x) 在 a, b 连续，且在（ a, b ）可导，并且(b)bf (a)af (b)ba(a) .这就是说( x) 满足上面的特殊情形，因此在（a,b ）内至少有一点使( )f( )f (b)f ( a)0 ，ba即f ()f (b)f (a)b.a这正是所证明的.定理结论的表

6、达式也称中值公式或拉格朗日公式. 它也经常用另一种形式表示，由于是（ a, b ）中的一个点，故可表示成a(ba)(01) ，于是定理的结论就可改成为在（ 0,1 ）中至少存在一个值，使f( a (ba)f (b)f ( a)ba，或f (b)f (a)f (a(ba)( ba) .注意如果定理的条件不全满足，则其结论就不一定成立. 例如函数f ( x)x 在1,1 连续，但在 (-1,1)不可导，容易知道在(-1,1)不存在这样的，使 f () 0.然而不能认为，如果定理的条件不全成立，那么一定没有适合定理结论的点存在.事实上，可以很容易地举出例子在说明，即使定理的条件不全满足，但结论仍然可

7、以成立.这就表明，定理的条件是充分的，但不是必要的.作为拉格朗日中值定理的一个推广，还可以得到下面的定理.【柯西中值定理】若 f (x) 与 g( x) 在闭区间a, b 上连续，在开区间（ a, b ）内可导，并且 g ( x)0 ，则在（ a,b ）内至少存在一点，使f (b)f ( a)f ( ) .g(b)g(a)g ( )证明首先可以肯定 g (a)g(b) ，否则若 g (a)g(b) ，那么由拉格朗日中值定理，g (x) 在（ a,b ）内存在零点，此与假设矛盾.3作辅助函数F(x)= f ( x)f (b)f (a) ( g(x) g(a) ,g (b)g(a)有 F(a)=F(b), 再运用拉格朗日中值定理，定理立即得证.若去 g (x) x ，则从定理 3的结论立即得到拉格朗日