中南财大微积分下.

1、中南财经政法大学2005006学年第二学期期末考试试卷课程名称：微积分(B)卷课程代号：考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校各经济、管理专业 土旧 :名姓生学 ：级年 ：业专 系院得分评阅人一、填空题:x1若 °ln tdt =xln(rx)，则二=(共9题,每题2分)s2.设l=tjf(tx)dx，其中f(x)连续，snO，tnO。积分I的值与变量 关。03.正项级数送un收敛的充要条件是。n AQO4送n!xn的收敛域是。n =05 已知:sin x宀2，则 o二sin xcosx ,dx 二xx . z cz6.若一 =l n ，则一=。z y ex7若区域D由1兰x2 +y2兰

2、4所决定，则JJd =。D1 1 2 1&将积分 dx f(x, y)dy亠i dx ' f (x, y)dy交换积分次序，应为05-x ' 八'1'呃x4 ' 八】题号一二三四五总分总分人分值182040166得分9微分方程/ + /=12y的一般解是。得分评阅人、判断正误并说明理由：(共4题，每题5分)1设函数f (x)是la,b 1上定义的连续函数，且 & f 2(x)dx = 0，则f (x) =0。* a2、若函数z = f(x, y)在点xo，Yo连续，则函数z = f(x,y)在 “y。点可微分。3、若数列：是数列uj的一个

3、子列,x un收敛，则7 Unk也收敛n Tn吕第 1页(共页)4、设 f(xy,x-y) =x2 y2，则 fx (x, y) fy (x,y2(x y)得分评阅人1、4xdx（每题8分，共40 分）01 cos2x.arctan x2、计算(0 -cta-dx1已z3、设z f (xy) y (x y), f,：:具有二阶连续偏导数，求 一x: x：y4、计算二重积分 Sin ydxdy，其中D是由曲线y?二x，直线x二y所围成的平面区域 D y5、求微分方程(sin y xcoty)/ = 1的解。第 #页(共页)得分评阅人应用题:（每题8分，共16 分）1、 过坐标原点作曲线y = l

4、n x的切线。该切线与曲线y =1 nx及x轴围成平面图形的面积;2、设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是pi=18-2x，p2 =12-y，其中pi和p2分别表示该产品在两个市场的价格（单位： 万元/1 ）。x和y分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：t）并且该企业生产这种产品的总成本函数是C =2z，其中z表示该产品在两个市场的销售总量，即z=x y。如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及价格，使该企业的总利润最大化。得分评阅人五、证明题：（6分）若Cun 是单调递增数列，则级数（1-一山一）当匚鳥有界时收敛，当 g无界时

5、发散。 n 4 比1中南财经政法大学2005-2006学年第二学期 期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：微积分（B）卷课程代号：_09156020_考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校各经济、管理专业一.填空题（每题2分）1.）-e丄2. x,t°°Jr3. 7 un的部分和数列有界4. 05.n 44z6.x z7. 15 '：11 dyf (x,y) =2x y (4 分)所以 fx(x, y) fy(x, y)=2(1 y) (5分).计算题8. .0dy.心 f (x, y)dx9. y=ce3x C2e，二.判断正误并说明理由1对。（2分）反证法。若不然

6、，存在x0 ：= a,b ,使得f（x°） =0由 f(x)在 la, b 上连续,f2(x0)0。因此存在上，-丨a,b 1,使得x0f2(x)f2(X。)2b f2(x)dx _ f2(x)dx-af2(X0) - : ）0这与假设矛盾。（5 分）2x y2 2x y0在原点连续但不可微分。（5分）2.错。（2 分）女口 f（x）二x2y2x2y23.错。oOoO(2分)反例'二unn ¥1八（_1）n丄收敛。nmn4.错。u = xy（2分）令=0(4分)-0其偶数项组成的级数 J 发散。（5分）心2n01 原式二 o42cos2x : 1。4，xd tan

7、x（3分）由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）0由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）04沁dx（4分）cosxTL 1 -f-8JI41d cos x（5分）cosx由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）0由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）0二（8 分）ji1 In8 2 2-be11arctanxQ 今'1xarctanx 亠 i-xo2.原式=-z 1d （arcta nx）（3 分）0 x由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）0由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）03.4.5

8、.tt-bo=（-0 1 -r . 1 '兀 1蔦严（8分）1 dx（5 分）x（1 x2）be 1 x ）x 1x21 2n x- In（1 + x ）（6分）:z1' f |_x x：'$ （x y） y = f 亠亠 y（x y） .yx2zxf （xy） : （x y） y （x y） （ 8 分） x .y1 y sin ydxdy 二 0dy . y2,（4 分）1dx（4 分）=0（y-y2）沁 dy（7 分）yy=1 -si n1（8分）dx将方程（si n2y xcoty）y =1 变形为cot 必x =si n2y （3 分）dy所以x=e 

9、6;刑.sinje刑dy C （6 分）毛in y（ cos y C（8 分由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）0由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）0四.1解：设切点的横坐标为X。, 1Xo则曲线y=lnx在点x。,In x0处的切线方程是yTn x0（x-x0）（3分）由该切线过原点知In x0 =1，从而x。=e（4分）x所以切线方程为y（6分）eieA（ey -ey）dy 1 （8 分）2解：总利润函数为2 2L 二 R -C = px p2y _（2z 5） = （18-x）x （12- y）y _（2x 2y 5） = -2x - y 16x 1

10、0y -5 （3 分）Lx 二-4x 16=0一 x = 4= （6 分）Ly - -2y 10 =0.yp10（万元 /t）则 P1（7 分）P2 =7（万兀 /t）所以L =52 （万元）（8分） 五证明：0 :：:比U2 U3 _川- Un- III 且山訂有界所以g 1收敛且有0 < Vn =1 - Un鼻1 f厂山訴（3 分）Un*Un 卅U1考察wnN因为Sn =、'n=1Un 1 一 UnU11 N（山1一山）U1 n m1 （UN 1 J）U1lim SN存在（5分）N_ ：所以7 wn收敛所以工vn收敛。（6分）中南财经政法大学2006 -2007学年第二学期:

11、名姓生学 ：级年期末考试试卷课程名称： 微积分(下)(A)卷课程代号：_09156020_考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业2006级题号一二三四五六七总分总分人分值20164996得分得分评阅人1、填空题：(共10题，每题2分，共20 分)1.XCOSX , dx =2. 设 z=arctanx，贝卩 dz =yqQ3. n!xn的收敛域是4.5.6.7.lim(x,y)_(Q8)Xsin (xy)旳1设级数v收敛，且an=0( n=1,2,.),心an则 lnman =交换积分次序.0dy , 1_y f (x,y) dx =设|x卜：1，则J 一(_1)呢 n©第_

12、页（共页）9.在区间0, _上，由y =sinx与x=0, y=1所围成的平面图形的面积是10.微分方程exdx =eydy的通解为得分评阅人、判断正误并说明理由：（共4题，每题4分，共16分）第_页（共页）第_页（共页）1. 若 f(u,v)可微，z = f(xy,x-y),，则-yfj.ex2.若级数送Un与瓦Vn满足Un VVn（ n =1,2,川），若山发散，则送V.必发散nnTnTnT3.广义积分=0t 第_页（共页）4.1, x 0设 f(x) = « 0,x=0 ,一1, x cOF(x) = jo f(t)dt，则 F(x)在(一： , +：)内连续，但在 x = 0

13、点不可导.得分评阅人三、计算题：(共7题，每题7分，共49分)311.求 02 e » cosx dx第_页（共页）3.计算二重积分二xydxdy，其中D是由直线y = x, y =1,x =0所围成的平面区域D 1 2 24.设函数f(u)可微且f'(0)=2,求z=f(4x -y )在点(1,2处的全微分.oO5.求7 2nx2nJ的收敛域及和函数.n吕第_2页(共页)6.求曲线y =x2与x = 2 , y = 0所围成的平面图形绕x轴，y轴旋转一周而形成的旋转体 的体积Vx，Vy.7 求微分方程乎=）-的通解.dx e + （cosy）x得分评阅人四、应用题：（共1题

14、，每题9分，共9分）某单位通过电视和报纸两种方式做广告，现假定销售收入 R （万元）与电视广告费U （万元）、报纸广告费V （万元）有关系：R=15 14U32V -8UV -2U2 -10V2，现仅有广告费用为15000元，求最优广告策略?第二_页(共页)得分评阅人五、证明题：(共1题，每题6分，共6 分)第二_页(共页)设f(x), g(x)在a,b 1上连续，证明至少存在一个- (a,b)，使得af(X)dX_ f()：g(x)dx g()中南财经政法大学2006毘007学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：微积分(下)(A)卷课程代号：_09156020_ 考试形式：闭卷

15、、笔试1、错使用对象：全校财经类各专业2006级一、填空:1、0；ydx - xdy2 、 2 2 ；3、；x y15、二；61 114、8 ；、dx0 1（x,y）dy ；7、1+x8、:；9、1 ；10 、ex -ey =C2、判断正误并说明理由:（1分）（4分）令 u 二 xy, v 二 x-y，-yf；匚ex2、错unnvnn23、错-be c广义积分0 x3dx =咼4、正确（1分）（4分）（1分）（4分）（1分）rr. x当 x< 0 时，F（x） （-1）dt 二-x ；x当 x > 0 时，F （x） 1dt = x，当 x = 0 时，F（0） = 0.第二_页(

16、共页)即 F(x) = XI,显然，F（x）在（-：,+ ：）内连续，但在x = 0点不可导.（4分）、解答下列各题:31311 原式=-02 cosxd(e") =1 一 02 esinxdxn n22 x二 1 e - 'o e cosxdx故原式二L22、令 x -1 -，dx =2ndv，原式=lim _x dxi 日2 +1= lim2vdnh0 -;8_ 33、画草图(略).因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”积分较容易，所以I l ：y2 - xydxdy 二D；dy : y2 -xydxX °总020 0ydyfy2dy=Z309（3 分

17、）（6 分）（7 分）（1 分）（3 分）（5 分）（7 分）（1 分）（4 分）（6 分）（7 分）4、利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.方法 + - Z- 22f (4x -y ) 8x,， xCZ*22玄扁=f (4x -y ) 8x (1，4（3 分）务（1,2）（6 分）:兰二 f （4x2 y2）2y ,立Jf （4x - y ） -2y g = -2，（7 分）0（# 分）0dz:z,2 二 Jx2 dx十竺；:y二 4dx - 2dy .（7 分）方法二、对z二f 4x2-y2微分得dz 二 f （4x2 -y2）d（4x2 -y2）（3 分）2 2-f （4x -

18、y ） 8xdx-2ydy（6 分）,2）= f "（0） （8dx 2dy ） = 4dx 2dy .2n J5、令 un = 2nx（7 分）Un 1limn门Un= limn_sc2n 2 x2n 12n x2nJ= lim2n 2 n ：:2 2 x x 2n（2 分）（# 分）0.x2 :：: 1即 x2 .1即（4 分）x ：1时，级数收敛;X A 1时，级数发散;x = -1时,级数7-2n发散;心x=1时,级数a 2n发散.nd收敛域为-1,1（# 分）0（# 分）0L x X2xn 1 - XX -1,11k1 X2 X4 x2n八 x2n, X -1,1n -0（

19、6 分）' 2nx2n4n £I2 n八 xn d2X=,x -1,11-x2（7 分）6、Vx2 2320y dx 二石二（4 分）（# 分）0Vy=71（# 分）07、解:dxsin y(cosy)x = edy(*)解返 _(cosy)x =0 得 dy令x = c( y) esin y并代入(*)得:s i ynyinc(y)e ec(y)二 y c原方程的通解为：x=(y c)esiny五、应用题：U V =1.5拉格朗日函数L(U , V , J(U V -1.5)；:L.:U；:L0U =0二 <V =1.5九=2六、证明题xb证明：作辅助函数F(x) =

20、 Ja f(0 dtJxdt dt由于f(x),g(x)在l.a,b 1上连续，所以F(x)在a,b 1上连续，a,b内可导，并有F(a) =F(b) =0由罗尔定理有，F()=0,- e ia,b(2分)(4分)(6分)(7 分)(3 分)(6 分)(9 分)(2分)(4分)xba f (t)dt x g(t)dt-*b巴lx/= fC)£g(x)dx gG) Jaf (x)dx = 0 x所以f (x)dx abg(x)dxf()g()(6分):名姓生学 ：级年中南财经政法大学2006 -2007学年第二学期期末考试试卷课程名称：微积分（下）（B）卷课程代号：09156020_考

21、试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业06级题号一二三四五六七总分总分人分值20164996得分得分评阅人、填空题：（共10题，每题2分，共20 分）:业专1.啊3 .oSint2dt=12.设p -1,则广义积分0（x，i）PdX=3.在区间0,上.由曲线y =sin x与直线x =0, y =1所围成的图形的面积：； nx4 .幕级数 的收敛域是n =1 n5. lim(x,y)7o,2)sinxy6 .已知 z = arctan(xy)，贝U dz 二17 .无穷级数另 （收敛，发散）8.微分方程y"=2xy的通解为y" _4y 3y = 0f (x) =ex第

22、_页（共页）In3 它 '9. ( dx =L <x丿10. 设D为平面区域x2 y2x，贝y dxdy =D得分评阅人1.、判断正误并说明理由：（共4题，每题4分，共16分）xdx 二 lim xdxa匸_a二 lim 1 x2a ,：2-a=0.2. 若 f(u,v)可微，z=f(xy,x-y),，则xf；.oOO0QOQO3.若无穷级数7 un与' vn满足un二vn(n=1,2,IH)，若v un发散，则7 vn也发散.n=1nz1n=1nT第_页（共页）4.x In(x1 x2)dx = 0.第_页（共页）第_页（共页）得分评阅人1.计算(I nx)3dx02.

23、 L(|x| + x)edx三、计算题：（共7题，每题7分，共49分）第_页（共页）2 .：2g ：723设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)二fAl+yfZ，求 x2 旦lx丿 川丿 ex4平面图形由经过曲线y 莎上的点(2,2)的切线，直线y=0及该曲线围成，求其面积.5求微分方程x；y -2y =x3ex满足初始条件人厂0的特解.第_2页(共页)1 1 26.计算积分 I = 0 dxe* dy0叹cO7.求n（n亠1）xn的收敛域及和函数。n =4得分评阅人四、应用题：（共1题，每题9分，共9分）经济学中有Cobb-Douglas生产函数模型f （x, y） =100x：y47。

24、其中x表示劳动力的数量，y表示资本数 量，C与（o ：1）是常数，由不同企业的具体情况决定，函数值表示生产量。现已知某生产商的31Cobb-Douglas生产函数为f （x, y） 100x4y4，其中每个劳动力与每单位资本的成分分别为150元及250元，该生产商的总预算是50000元，问他该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力及投入资本，以使生产量最高第 3页(共页)第 3页(共页)得分评阅人五、证明题：(共1题，每题6分，共6 分)设f(x), g(x)在la,b 1上连续，证明至少存在一个三(a,b)，使得fG)J；g(x)dx=g(©ff(x)dx中南财经政法大学2006-2007学

25、年第二学期 期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：微积分（下）（B）卷课程代号：_09156020_考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业2006级1.6.7.2.F1 3. 厂1 4. -1, 1 5. 21 口（ydx xdy）1 x y发散8.y 二 cex9.3eIn 3-boxdx =-0-alimxdx =a 丿：. 0:lim x2 二： 发散 a" 2（4分）2.错。（1分）令 u =xy,V =X -y ,皂二 xf _ fuV y（4分）3.错。（1分）如二（-丄）发散，二n吐nn注121收敛。n21（4分）4.对。（1分）（1分）（4分）（3 分）被积

26、函数为奇函数。三.1 原式二x（lnx）3|：-3（In x）2dx10.二二.1.错。2 eee e二e _3x（lnx） 1 -2In xdx二 e -3e-2（xln xh- dx）（6分）二e-3e-2（e-e 1） =6-2e2 .解斗（x x）e'xldx= 4 xedxjXe'dx=:xedx（7 分）（1 分）（3分）第 3页(共页)11=2 o xedx =-2 Qxde"x（5分）=1-2xe01（6分）=2(1 _2e).（7分）3 由已知条件可得g Jf(y)f (-),（1分）：xxxy：2g_ 2仝f*)2J f (d+ 1 f ()，（3分）xxxxyy y-:g _=1 f (y) f (X)-Xf(x），（4分）yxxy yy-2:g _ 2 _f百-x22f (为笃f ()，(6分)yxx yyyy yy-22 ： gx2-2。gx2y :y2#1#1=mx x2f (-) f (-) y y yx22xy#1#1(7 分)(1分)ydx 2 一 xx =2(3 分)亠律)x x4.解：（图形略）#1#1(4分)(7 分)切线方程为x =2y -22 1 24S 二.。2 -(2y -2)dy =3235.方程可化