空间向量的知识点归纳的总结

1、空间向量知识点归纳总结知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 .同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）O -OA AB =a b ;BA = OA OB b ;OP = a（ R）运算律：加法交换律：ab=：b a加法结合律：（a b） c = a （b c）数乘分配律：-（a b"a b3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也

2、叫做共线 向量或平行向量，a平行于b，记作a/b。当我们说向量a、b共线（或a/b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。（2） 共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （ b丰0）, a/b存在实数 入使a = xb。4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。.（2）共面向量定理：如果两个向量 a, b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数I 4+x, y 使 p =xa yb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a.b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个T 呻 *中唯一的有序实数组x

3、, y,z，使p = xa yb zc。t一 4 4彳彳彳T44若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,代BC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x, y, z，使 OP =xOA yOB zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组 （x, y,z），使OA =xi yi zk，有序实数组（x,y,z）叫作向量 A在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标, 记作A（x, y,z），

4、x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。弓*（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用i, j ,k表示。（3）空间向量的直角坐标运算律：扌彳 若 （a1,a2,a3），b =（九 鸟,鸟打 则 a b=（a ba 鸟耳 b?）， a b = （ai 'bi, a2 b?,% d）， ' = （ ' ai , ' a2, ' a3） - R），a b = aibi azb： &b3，a / b u a<i = ' bi, a? = ' b?, a3 = ' b3 （； - R），a

5、_ b 二 a1b1 a2b2 a3b3 =0。 若 A（x, yi,zj，BXmz），则 AB 二区 - , y? - %厶-乙）。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标。弓弓（4）模长公式：若 a=（ai，a2，a3），13=山山2,4），22 2b2b3则 |a|=2 2 22 a2 a3 , |b| =总 b aibi a2b2 a3b3。1 a 1 1 b 1 Ja； +a2? +a3? jb2 +b + b3?(6)两点间的距离公式：若A(xi, yi, zi)， B(x2, y2,z2)，、.(X2 Xi)2 (y2 - yi)2 (Z

6、2 Zi)2，（5）夹角公式： cos： a b :： = -4或 dA,B = ：(X2 Xi)2 (y2 - yi)2 (z? -乙)27.空间向量的数量积。（i ）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作T 坤4彳 彳4-I HOA= a, OB= b,则NAB叫做向量a与b的夹角，记作ca,b > ；且规定0<a,b>兰兀，显然有：:a,b =: b,a ；若：:a,b，则称a与b互相垂直，记作： a_b。2（2）向量的模：设OA二a，则有向线段OA的长度叫做向量斗a的长度或模，记作：| a |。（3） 向量的数量积：已知向量 a,b，则|

7、a | | b | co： a,b 叫做a, b的数量积，记作 a b，即 a b -|a| |b| cos：a,b 。（4） 空间向量数量积的性质：呻 呻 a e =| a | cos ： a, e 。 a _ b = a b=o。 | a |2 二 a a。(5) 空间向量数量积运算律：斗( a) (a b a ( b)。 aa (b c) abac (分配律)。(6) :空间向量的坐标运算：1. 向量的直角坐标运算沁44设 a = (a1a2,a3) , b = (,b2,b5)则 a + b = (a1 bi,a2 b?,% bO（交换律）。(3)入 a = ( s, a?, as)(

8、入 R)；2. 设人(,%,乙),B(X2,y2,Z2)，则 AB =rr3. 设 &=(为，,乙),b=(X2,y2,Z2)，则r r r r r rraPb ：= a - b(b = 0);a -TOA-O5 b = (a -b|,a244a b = a1b| a2b2=区-为，y2 - 忆2=0 二 x2%y24.夹角公式设 a =(a,Q,03), b = (bd®,则 cs :,一 b2 ,a3 - b3)； a3b3;_ z1).狂二0.apjb5 异面直线所成角r r»冋站=r忙 曲2 y1y lal lbl g 十 %2 + Z12X22 + y22

9、 十 Z226.平面外一点 p到平面的距离-n已知AB为平面的一条斜线，n为平面的一个法 向量，A到平面的距离为：d = |AB*n|n|【典型例题】例1_已知平行六面体 ABCD A B C D ,化简下列向量表达式, AB BC ; AB AD AA ;11 AB AD -CC ；一（AB AD AA）。23标出化简结果的向量。D，C'A'B''.MGD,二A例3.已知空间四边形 OABC，其对角线OB,例2对空间任一点J和不共线的三点A,B,C,问满足向量式：OP =xOA yOB - zOC （其中 x y 1）的四点 P, A,B,C 是否共面?点G在

10、线段MN上，且MG =2GN，用基底向量 向量OG 。例 4.如图，在空间四边形 OABC中, 0A =8, AB =6 , AC = 4 , BC = 5 , OAC =45：,.OAB =60：，求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，如:：:OA,AC切记！例 5.长方体 ABCD - ABC1D1 中，AB =BC =4， 与B,C的交点，又AF _ BE，求长方体的高BB1。B空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCU在空间直角坐标T系中，若E,F分别是BC,DD1中点，则EF的坐标为（ ）A.(1,2,-1)B. _(-1,2

11、,-1)C.(-1,-2,1)D. (1,-2,-1)A B2.如图，ABCABCD是正方体，BE = DR=二 ,贝U BE与 DF4所成角的余弦值是（15 A.17B.8C.17D.)12323.在四棱锥上-ABCD中_底面ABCD是正方形,PA 二 a,A1A. a b c2C 1斗c. a -2PB 二b, PC1 12 23： 1 4 b c2 2B.D.贝U BE -1a"214a2()1 14b c2 2V 3呻b c2 2E为PD中点，若c图二、填空题44.若点 A(1,2,3) , B(-3,2,7),且0,则点C的坐标为.5在正方体 ABCD-ABCiD中，直线A

12、D与平面A1BC1夹角的余弦值为 三、解答题1、在正四棱柱 ABCD-ABCD中，AB i与底面ABCD所成的角为 江，4(1)求证BDi _面ABiC ( 2 )求二面角B - AC-B的正切值C2在三棱锥 P-ABC中，AB =AC =3AP =4, PA _ 面 ABC , . BAC =90 , D 是 PA 中点，点 E 在 BC 上, 且BE =2CE ,(1)求证：AC _ BD ； (2)求直线DE与PC夹角二的余 弦值；(3)求点A到平面BDE的距离d的值.3.在四棱锥 P-ABC中,底面 ABC是一直角梯形，/ BA=90°, AD/ BC AB=BGa, AD=

13、2a, 且PA!底面ABCD PD与底面成30°角.(1 )若AEL PD E为垂足，求证：BEL PD(2)求异面直线 AE与CD所成角的余弦值.4、已知棱长为1的正方体AC1,E、F分别是B1C1、C1D的中点.(1)求证：E、F、D、B共面;(2)求点A到平面的BDEF的距离；(3)求直线AD与平面BDEF所成的角.5、已知正方体 ABC A1B1CD的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：(I) DE与平面BCD所成角的大小；(H)二面角 D BC C的大小;【模拟试题】1.已知空间四边形 ABCD，连结AC, BD，设M ,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简

14、结果向量：1(3) AG(AB AC)。2(1)(2)富丄(京品；22.卫知平行四边形 ABCD，从平面 AC外一点O引向量。OE=kOAOF=kOBoG=kOC,OH =kOD。(1)求证：四点 E,F,G, H 共面;(2)平面AC /平面EG 。13.如图正方体 ABCD -ABGD1 中，B1E D1F1A1B1 ,4求BE1与DF1所成角的余弦。4.已知空间三点A(0,2,3) ,B (-2,1,6),C ( 1, 1 ,5 )。求以向量 AB, AC为一组邻边的平行四边形的面积S；4T T4 r-J 一若向量a分别与向量 AB, AC垂直，且|a |= 3，求向量a的坐标。5已知平

15、行六面体 ABCD-ABCD 中，AB = 4, AD = 3, AA = 5, BAD = 90：；, BAA ： = / DAA ： = 60 °，求 AC 的长。1解：如图,参考答案(1) AB BCC=AC C = AD ;1 11呻(2) AB (BD BC)=AB BC BD。2 22二 AB BM MG 二 AG ；1 -(3) AG -(AB AC) = AG -AM 二 MG 。22.解：(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形， AC =AB AD , E.OG 殍，=k OC -k jOA 下(0£ _OA) =kA：C =k(AB AD)= k(OB

16、 -qA OD -OA) =0F -OE OH -OE=EF EHOE=k(OB-OA)«AB，又茲k 忌 E,F,G,H 丄面;(2)解： EF =OF EF AB,EG AC ,OEG 。所以，平面AC/平面3.解：不妨设正方体棱长为1 ,3则 B(1,1,0),曰(1厂,1),41 BE1 =(0,1), DF141D(0,0,0) , F1(0-,1),41=(0,二，1),4BE1BE1DF； =0 0 (-丄 ) 1 1 =154 4161516c叫呢呵=77韦需。4.分析：aB=(-2,-1,3),AC =(1,-3,2),. cos. BAC| AB|AC| 2/ BAC = 60°,. S=|AB|AC|si n60 -A 3设扌=(x, y,