山西省晋中市2020届高三下学期一模(普通招生考试模拟)数学(文)试题

1、2020年普通高等学校招生统一模拟考试数学（文科）（本试卷考试时间 120分钟，满分150分）23参考公式:锥体的体积公式:3sh（其中S为锥体的底面积,h为锥体的高）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .集合 A x|x2x20,Bx|y VX,则 AI B ()A. 0,2) B. (1,) C. 0,1) D. ( 2,1)2 .若复数z (2 i) i (i为虚数单位)，则z的值为()A. 2 i B.1 2i C. 1 2i D. 1 2ir r r r rr r3 .若|a | 2 , |b| 1,且a (a 4b

2、),则向量a,b的夹角为()A. 30 b. 60 c, 120 d.15011D. x3y34 .若x y,则下列不等式恒成立的是()1 1, ,、ca. -b. tanxtanyc. ln(xy)0x y5 .给定下列四个命题，其中真命题是（）A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直3,6 .已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点 O,且经过点P x0,2 ,若点P到该抛物线焦点的距离为则|OP|等于（）A. 2

3、拒 B. 273C. 4 D. 2757 .某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12,则该同学10次测评的平均成绩为（A. 1211.4C.-111.3D. 118.已知函数f(x)sin2 wx1,-(0)的最小正周期为，若将其图象沿 x轴向右平移a(a 0)个单位，所得图象关于x 对称，则实数3a的最小值为(3A. B . C.D.9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定:100mL血液中酒精含量达到 20,80)mg的驾驶员即为酒1.6mg/ mL ,后驾车，80mg及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了若在停止喝酒后，他血液中酒精

4、含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过(B. 4小时C. 6小时a 为正整tan1 lga , tan则当函数f(x)asin3 cos (0,)取得最大值时,B.23C.4D.31l.已知双曲线x2C: -ab21(a0,b 0),点F是双曲线C的左焦点,过原点的直线交双曲线 C于A,B两点，且AFABBF ,如图所示，则双曲线C的离心率为(A. 22B. 73C. 2x 22x 112 .函数h(x) 2，右存在正头数x1,x2,L ,xn，其中n N *且n 2 ,使得x x 1h xnh x1h x2h xn 1，则n的最大值为()A. 6 B.7C. 8 D.

5、9二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共20分.13 .某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为 .14 .已知函数 f (x)是奇函数，当 x 0 时，f(x) loga(x 1)(a 0 且 a 1),且 f log0.5162,则a .15 .在VABC中，内角A, B,C所对应的边分别为 a,b,c,且asin2B bsinA 0 ,若VABC的面积S J3b ,则VABC面积的最小值为 16 .现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边 AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD ,如图所示，已知 DAB 6BAC

6、 ，则三棱锥4BCD的外接球的表面积为三棱锥体积的最大值为1721题为必考题，每个试题考生都必BAC 90 , PB 平面 ABC ,且三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17 . (12分)已知三棱锥 P ABC中，VABC为等腰直角三角形,1PB AB 4, EC/PB 且 EC -PB, D 为 PA的中点. 2(1)求证：直线DE /平面ABC ;(2)求锐二面角 A BCEP的余弦值.18 . (12分)2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线

7、上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同.各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100(1)请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组, 并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率.参考数据：2P K0.150.100.050.0250

8、.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822n(ad bc)K , n a b c d .(a b)(c d)(a c)(b d)19.(12分)已知等差数列 an前n项和为Sn , a5 9 , S5 25 .(1)求数列 an的通项公式及前 n项和Sn ；设bn( 1)nSn,求bn前2n项和T2n.22x y .,._20.(12分)设椭圆e：f > 1(a b 0)长轴长为4,右焦点F到左顶点的距离为 3. a b(1)求椭圆E的方程；(2)设过原点 O的直线交椭圆于A,B两点(A, B不在坐标轴上)，连接 AF并延

9、长交椭圆于点C ,若 uuur uuu uuirOD OA OC ,求四边形ABCD面积的最大值.21 .(12分)已知函数 f (x)alnx a 1(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a 1时，证明：(i) xf (x), x 1 ；(ii)证明:f(2)f(3)23f(n) n 13n 2 2n 2 4(二)选考题：共 10分.请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22 .【选修44:坐标系与参数方程】(10分)_x 2cos ,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴y 2 2sin建立极坐标系，曲线 C2的

10、极坐标方程为一.6(1)求曲线C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为4cos ，点A是曲线C2与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且AB均异于极点O,求| AB|的值.23 .【选修45:不等式选讲】(10分)已知关于x的函数f(x) | x 1| |x a |.(1)若存在x使得不等式f(x), 3a 1成立，求实数a的取值范围；1 _.(2)若f(x), |x 3|的解集包含一,2 ，求a的取值范围.22020年普通高等学校招生统一模拟考试数学(理科)答案题号123456789101112答案CDBDDBBBCCBC误；对于C选项，由于对数函数y ln

11、 x在(0,)上单调递增，Qx y,当0 x y 1时，1ln(x y) ln1 0,C选项中的不等式不恒成立；若 x y ,且募函数y x"在(，)上单调递增，所以11x3y3 ,所以D对.故选D.答案：D5 .解析：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，所以 A错误；若一个平面内的两条直线平行，两平面可以相交,B错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误.所以答案选 D.答案：DP26 .解析：由抛物线定义知，2 2 3,所以p 2,抛物线方程为x2 4y ,因为点P x0,2在此抛物线上，所以x28,于是 |OP | & 42m，故选 B.答案：Bx y

12、_.7 .解析：因为中位数为12,所以 2, x y 4 ,所以该组数据的平均数为：21 .解析：因为集合A x|x x 2AI B 0,1).故本题正确答案为 C.答案：C2 .解析：z (2 i)i 1 2i ,所以 z答案：Dr r3 .解析：根据题意，由于向量|a| 2,|b|r r皿 r r a b 1故cos a, b-rJ 一，故可知向量|a| |b| 2答案：Bc114.解析：若x 0 y,则一一，所以x y0x| 2 x 1,集合B x | y Jx x | x- 0,所以1 2i .故选D.rr r r r1,且 a (a 4b), a (ar ra,b的夹角为60 ,故选

13、B.3a错误；若x y ,取x 一)4r r2 rr r r4b) 0 a 4ab 0, a b 1 ,y ，tan x tan y ,所以 b 错4'21(2 2 3 4 10 x 101019 1920 21)11.4,故选 b.答案：B8.解析：由函数f (x)sin21cos2 2X的周期为r11,故 f (x)- cos2x ,将其图象向右平移a个单位可得1-cos2(xa)的图象,根据共图象关于x 一对称，可得322a k所以实数a的最小值为一.故选3B.答案：B1.6100 160mg，则160 (10.3)n 20 ,即 0.7n0.720.490.76 1, 0.7,

14、8故选C.答案：C10 .解析：由条件知二，则由tan( 4)1 ,得 tan(tantan(1lg a)tan tan1 (1 lga)lg a即(1 lga)lg a1a 一10(舍去)，则f (x)sin3cos2sin一.因为30,所以23, 3.5,，即 时, 326函数f(x)取得最大值，故选 C.答案：C11.解析：设双曲线的右焦点为F2,根据对称性知AFBF2是平行四边形,所以有AF2|BF |,又点A在双曲线上，所以|AF | AF2因为 | AF | 3| BF |,所以 | AF | AF23| BF | | BF | 2| BF | 2a ,即|BF| a,而在三角形O

15、FB中，OBF90 , |FB| a, |OF | c, |OB| b,在三角形 AFB中，| AF | 3a ,|BF | a , | AB| 2b, ABF 90 ,所以9a24b2,即 2a2 b2,所以双曲线的离心率e J 与J3,故选b .答案：B12.解析:h(x)x2 22x 121x210时，x13,(x217,218,h(x), 8,所以 1h x1hx2h xn 1 , 8(n 1),xn h x1h x2L h xn 1知,集合(1,8I (n1,8(n 1)因为*n N 且 n -2,所以 n 1-1, 8(n 1) 8,所以 一一 _ *1, n 1 8,即 2, n

16、 9,又 n N ,所以n的最大值为8,故选C.答案：C13.解析：由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的1一,一-，设阴影部分能栽种 x株，则有39001一，解得x3答案：30014.解析：函数f(x)是奇函数，当 x 0时,f(x) loga(x 1) (af log 03162,因为 log0.5 16log216 4 0,且函数f(x)是奇函数,所以f (4)log 2 16f log0.5 16f log0.5 162,即 lOga(41)3,因为a 0且a答案：,3析：由 asin2 BbsinA 0得 2asinBcosBbsin A 0 ,由正弦定2sin Asin BcosB

17、 sin Bsin AS 1acsinB2-ac J3b,所以 422ac 4b ,由余弦定理得 b a222c 2accosB a c12ac 3ac, (ac) - 3ac,所以 ac 48,当且 16_3 一-仅当a c时等号成立，故 S ac-12，3,所以VABC面积的最小值为12/3 .4答案：12、.316.解析：因为ADB ACB 90 ,AB 10,所以 AD 5a BD 5, AC BC因为 ADBACB 90 ,所以三棱锥A BCD的外接球的直径为AB,所以球的半径R5,故球的表面积为100当点C到平面ABD距离最大时三棱锥ABCD的体积最大，此时平面ABC 平面 ABD

18、,且点C到平面ABD的距离5,所以VA BCDVCABD答案：100125<3617.解：(1)AB的中点为G ,连接DG,CG ,则DG /PB , DG1 -PB, 2-11又 EC/PB 且 EC PB, 2所以EC /DG且EC DG ,所以四边形 DGCE为平行四边形,所以DE /GC ,又因为DE 平面ABC , GC 平面ABC ,所以DE /平面ABC .(2)取BC中点F ,连接AF .因为EC /PB ,所以PBCE在同一平面上,所以多面体 ABCEP是四棱锥 A BCEP,因为PB 平面ABC , AF 平面ABC ,所以PB AF ,又VABC为等腰直角三角形，B

19、AC 90 , F是BC的中点，所以 AF BC ,所以AF 平面PBCE ,即AF是四棱锥 A PBCE的高,1 (2 4) 4丘 272 16.已知 PPB AB 4,所以 AF 2夜，EC 2 , BC 4应，正口 /1'所以 VA BCEP VA PBCE 3 SPBCEAF18 .解：(1)补充完整的列联表如下:喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100216.67 10.828,计算得K2的观测值为k (-60 40 50 50所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系.1(2)告欢国学的共 60人，按分层抽样抽取 6

20、人，则每人被抽到的概率均为,10从而需抽取男生 2人，女生4人, 设抽取的男生为 A,A2,女生为B1，B2,B3, B4,选出的两人均为女生为事件 A,则基本 事件空 间AA2,AB1, AB2,AB3,AB4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,BiB3,BB4,B2B3, B2B4, B3B4 , n 15 .事件 A BiB2,BiB3,BiB4,B2B3,B2B4,B3B4 , m 6,m62P(A)一一，故选出的两人均为女生的概率为n15519.解：(1)由$5 5a3 25得a3 5 .又因为 a5 9 ,所以 d 2,所以 an 2n 1, Sn n(1 2n &

21、gt; n2.2 bn ( 1)nn2.T2nbb2b3b4Lb2n 1b2n222212223242L22(2n 1)2 (2n)2(2 1) (2 1) (4 3) (4 3) L1 2 3 4 L(2n 1) 2n 2n2 na 2, a 220 .解：(1)由题意可得 a c 3 c(2)由(1)知F(1,0),设直线AC的方程为x my 1,联立 x2y2得 3m2 4 y2 6myI三1,设 A x1，y1，C X2, y2 ,则 V2一一一1,一因为 Sabcd3Saoc32| OF |y12n (2n 1) 2n (2n 1)9 0.、2八181及 tVm1 , t1 ,则 S

22、abcd-23t 1所以当t 1 ,即m 0时，四边形 ABCD22b J3,所以椭圆方程为土2一1.43x my 1,6m92，Vi y2 -23m2 43m2 43 2 ,18 . m2 1V2c，V1 V24V1V2 -23m 418、，在t 1,)上单倜递减，3t 1 t一一 .9 的面积取得最大值 -.2a alnx a 1 1 alnx,21 .解：(1) f (x) 2 2(x 0),xx令 g(x) 1 alnx,a 0时，g(x) 1 0, f (x)在(0,)上单调递增；1a a 0时，x0,ea时，g(x) 0, f(x)单调递增；ea,时，g(x) 0, f (x)单调递减;0,10,ea 时，g(x) 0, f (x)单调递减;1ea,时，g(x) 0, f(x)单调递增.综上,0时，f(x)在(0,)上单调递增;a 0时,f (x)在10,ea1上调递增，在 ea,上单调递减;a 0时,f (x)在10,ea1上单调递减，在 ea,上单调递增.a 1时,f(x)ln x,所以xf (x