立体几何存在性问的题目

1、立体几何存在性问题未命名一、解答题1 .在多面体 m中，底面二“是梯形，四边形是正方形，d；, 面ABCD 丄 面戌DEF AB = AD = 1 CD = 2(1) 求证：平面-平面 ；(2) 设为线段：上一点，局出，试问在线段-上是否存在一点 ，使得平 面，若存在，试指出点 的位置；若不存在，说明理由 ？(3) 在(2)的条件下，求点：到平面丁；的距离.2 .女口图，四棱锥 1中，底面是直角梯形，AB/CD, ABJ.AD,=侧面是等腰直角三角形，PA = ，平面宀I平面- r，点分别是棱；上的点，平面* 平面(I) 确定点的位置，并说明理由;(n)求三棱锥.1 -的体积.3 .如图，在长

2、方体ABCD-A qD中1点在棱点 为棱：的中点，过卜4的平面与棱交于：，与棱， 交于，且四边形为菱形-cm 书击r AGE 丄 sn/T-BDD B(1)证明：平面平面； 确定点的具体位置(不需说明理由)，并求四棱锥1131的体积4 .如图2,已知在四棱锥八 1中，平面平面：1，底面为矩形.(1) 求证：平面 宀I平面卜5：;l4晶PA = PD = Aa = 2.AD = 2x(Ox 用=匚-(2) 若，试求点到平面的距离.5.如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，二&二心=,分别是棱：，的中占八、(1) 证明：平面以-丄平面;(2)若四面体的体积为：，求线段 的长.6.如图，在四棱锥. - 中

3、,AD/BC AB = AD 20C = 2PB 二 PD PA =(1) 求证：一乂(2) 若土-汕,3：:/为的中点.(i) 过点i作一直线 与平行，在图中画出直线并说明理由;(ii)求平面 ：将三棱锥.分成的两部分体积的比.DE = -BC7 如图1所示，在梯形 中，“ / ，且 ：，：，分别延长两腰交于点二点为线段：上的一点，将ZF沿折起到-:|的位置，使： 门，如图2DFa(2)若1，四棱锥的体积为I ，求四棱锥：的表面积(1)证明：平面 1平面;（2）若珏-：二,为棱:的中点,求四面体- II的体积.9 .如图，在梯形 一门中，X ；“ ym :，四边形宀是矩形,且平面川平面- ，

4、点在线段 上.（1）求证： -平面.；（2） 当为何值时，宀7平面I ?证明你的结论.10. 10.如图，已知菱形的对角线卞 交于点，点为的二中点将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.0-1k图1图2(I)求证：1平面：；(n)证明：平面平面.;(出)在线段上是否分别存在点* *，使得平面；平面1?若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由参考答案1.( 1)见解析.见解析.(3).【解析】分析：(1)在梯形 中，过点作，作丄二于，可得,所以，：.匚由面?-面-LI，可得出L.=- 一：，利用线面垂直的判定定理得匚-平面.，进而可得平 面-平面 ；(2)在线段 上取点，使得汀丁汇，

5、连接11，先证明与 相 似，于是得 1 1 :，由线面平行的判定定理可得结果；(3)点：到平面：的距离就是点到平面：的距离，设到平面：的距离为，利用体积相等可得，：解得 ：.详解：(1)因为面 A U3 1 面：；?H，面面L - _,卜丁 I ：，所以、面A0CD ED 丄 0C故四边形是正方形，所以，:：-在HECH 中 EH = CH = 1. EBCH = -BDC 45a DBC= 90 BC 丄 BD因为：门 -；： r 平面二：匚一平面m(2) 在线段上存在点，使得 平面 在线段上取点，使得I ，连接TI在- -J冲，因为汉 I -,所以-与“相似，所以 L：.l-r又TV平面二

6、，亠平面二，所以 平面.(3) 点到平面的距离就是点到平面：的距离，设到平面：的距离为，利用同角相等可得,1 1X -3 2，可得点睛：证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征， 合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面2F-DCE= 72. (1)见解析(n)【解析】试题分析：(1)根据面面平行的性质得到,，根据平行关系和长度关1系得到点 是，的中点，点 是的中点；(2)，因为 Wd 一，所以PE1A

7、B,进而求得体积.详解：(1 )因为平面 门 平面 ，平面： 平面,平面平面二口-心，所以,又因为,1DC = AE = -A6所以四边形-是平行四边形，所以，即点是，的中点.因为平面平面卜小，平面川 平面，平面 n 平面 ：所以.,又因为点 是，的中点，所以点是的中点， 综上：卜丄分别是灯曲的中点;(n)因为=卜，所以厂丄AB丄平面PAD AB=平面PAB |片平面PAB丄平ini PADPO丄平面ABCD 且P0 =（2）解：取AD的中点0,则又易知所以1AB CD7【解析】分析：（1）由平面 1平面亠2，根据面面垂直的性质可得1平面，由面点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条

8、件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化， 转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论出川宀J（3）禾9用面面平行的性质 丄UH ，：丄r； ； （4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面5.证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）推导出BE CD，AB丄CD，从而CDL平面ABE由此能证明平面 ABE! 平面ACD（2）取BD的中点 G,连接 EG贝U EG/ BC.推导出 BC丄平面 ABD从而 EGL平面 ABD由此能求出线段AE的长.详解：(1)证

9、明：因为匚：“,是棱：的中点，所以：:.又三棱锥，-的三条侧棱两两垂直，且儿CL L：所以 I平面，则- 沉因为，所以二 亠平面-，又二-平面，所以平面 沁平面 .(2)解：取1“的中点，连接：则：.易证 平面鮎卩，从而山亠平面：.：,111AB 1x x AB k BD x EG =所以四面体 的体积为-；,则一：，在RtAABE 中吕AE = 3? + 2 =点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行(2) 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直(3) 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直16. ( 1)见解析；(2)见解析，【解析】分析： 取

10、 中点X连接- ,先证明|面心,再证明.取：中点，连接,则*即为所作直线，证明四边形为平行四边形即得证 ( ii)先分别详解：(1)证明：取中点：，连接-,v AB 口 AD,0为RD 中点计算出两部分的体积，再求它们的比丈A0丄BD又PB = PD 0 为ED 中点，-PO 丄 BD又AO n P0 = 0 BD 丄面PAO又 P担 u 面 PAO/- PA 1 BD (2)(i)取，中点，连接厂，则 ，即为所作直线理由如下：在中、分别为：、：中点EF 二-AD = 1AD,且21BC = 又* ADBC,:-AD = 1 2且EFBC,几四边形旺FE为平行四边形.几 CF/BEPA 1 A

11、B PA 18D AB fl BD = B PA 丄 ABD (ii),，面又在 AABD 中 AB 二 AD = 2 BD 二 2& AB2 + AD2 = 0D2几AB丄AD又 PA 丄 A B PA n AD = AP-ACDP-FCF 612 ,利用线面平行的判定定理，即可得到 平面.详解：(门 在梯形 ABCD 中，ABIICD, AD= DC： 土= J 丄瓦 EO&f,四边形- 是等腰梯形，且”：: |:; _ 1- -I I, 又平面亠平面1 ,又平面- 平面1：,：丄I平面EM = - a(2)当；时，平面I ,在梯形- 中，设,连接、，则 ACB = ZqcB - DCA

12、= 90如 A + ,.吩孑而 EFS ,.E咖 F + ,四边形 ：丁是平行四边形，AM II NF 又NF匚 平面BDF AM平面BDF . AM | 平面 BDFH点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.10. （I）证明见解析；（n）证明见解析；（川）：和 的中点，证明见解析.【解析】分析：（I）由菱形的性质可得1 J| Jl 1 1 ,又:

13、mF二二，-平面：，所以宀平面:；（n）先证明四边形【为平行四边形，可得.又由（I）得，宀平面：，从而得平面：，由平面可得结论；（川）别取：和 的中点,由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得宀1及|:;| :-：；|,由面面平行的判定定理可得结论详解：（I）证明：折叠前，因为四边形- 为菱形，所以1 ；所以折叠后，：丁，又门丁-平面弋，所以兀-平面：（n）因为四边形|为菱形，所以 DC/AE.DC = AE.又点为，的中点，所以 DC/EB,DC = EB.所以四边形为平行四边形所以.又由（I）得，平面：，所以 平面：.因为平面，所以平面平面：.（川）存在满足条件的点 丁,且T分别是：和】的中点.如图，分别取：和的中点 .连接 .因为四边形为平行四边形,1EF/CN.EF - B匚=CN所以.所以四边形为平行四边形.所以二.在中，分别为 中点，所以.又EN.PE匚 平面PEN.PE n EN二E站F匚