立体几何的大的题目练习的题目问题详解

1、立体几何大题专练1如图，已知 P从矩形ABCD所在平面，M N分别为AB PC的中点;(1) 求证：MN/平面PAD(2) 若/ PDA=45，求证：MNL平面 PCD20.证明取PD的中点E,连AE.NE,N是PC的中点.代沖Eg yCD .Eb* E3鼻 Jp又四边形A BCD为矩形且M是HA中点,A jCDXMA .二 NEAMA,即四边形MAEN是平行四边形，牟:.MN#AE .5由于 AEU平面 PAD,MN(Z 面 PAD,：MN#平面PAD,f2)V PA 丄平面 ABCD*ZPDA=45笃化APAD艇等腰三角形”故AE丄PD由题意.CD丄ADtCDlPA,ACD丄平面PAD*

2、心从而AE丄CD, if:.AE丄平面PCD*故MN丄平面PCD , I2f21.解:1设圆V的方程为(3i +(yb)=严pSa + b Of2 (本小题满分12分) 如图，在三棱锥 P-ABC中，E,F分别为AC,BC的中点.(1) 求证：EF /平面PAB ;(2) 若平面PAC _平面ABC，且PA = PC , 求证：平面PEF _平面PBC .(1) 证明：连结 EF ,，- E、F分别为AC、BC的中点,.EF / AB. 2 分又EF二平面PAB , AB二平面PAB ,EF/平面PAB 5分(2) ； PA 二 PC , E 为 AC 的中点，.PE _ AC 6 分又丁平面

3、PAC _平面ABCPE _面 ABC 8分.PE _ BC 9分又因为F为BC的中点，.EF / ABT . ABC = 90,BC _ EF 10分v EF n PE = E.BC 面 PEF 11分又：BC 面PBC.面 PBC -面 PEF 12分3.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1G中，AC=BC点D是AB的中点。(1) 求证：BC平面CAD;(2) 求证：平面 CAD丄平面 AAB1B。4 .已知矩形 ABCD所在平面外一点 P, PA丄平面ABCD E、F分别是AB PC的中点.(1) 求证：EF/平面 PAD(2) 求证：EF丄CDD(3) 若/ PDA= 45，求EF与平面

4、ABCD所成的角的大小.5. (本小题满分12分)如图，PA_矩形ABCD所在的平面， M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN/ 平面 PAD ； (2)求证：MN _ CD ；6. 如图，正方形ABCD所在的平面与三角形A DE所在平面互相垂直， AAEE是等腰直角三角形，且AE=E D证：(1) FM / 平面 ECD ;(2 )求二面角E-BD A的正切值.(1 )证明：取 AD的中点 N,连结 FN,M汕则MN/ ED, FN/ CD平面 FMIN/平面 ECD./ MF在平面FMN内, FM /平面ECD5分(2)连接EN, / AE=ED N为AD的中点， EN 丄 AD.

5、又面 ADEL面 ABCD - EN!面 ABCD.作NP丄BD,连接EP,贝U EP丄BD, / EPN即二面角E-BD-A的平面角，设AD=a, / ABCD为正方形，ADE为等腰三角形，设线段BC AE的中点分别为F、M，求EN=la,NP=/a.24 tan / EPN=. 2 10分7. 如图，一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,其中有一个高为X cm的内接圆柱(1)试用X表示圆柱的侧面积;(2 )当X为何值时，圆柱的侧面积最大19. ( 1)解：设所求的圆柱的底面半径为 rr6-x 卄x则有,即r =2.263x2応 2二 S圆柱侧=2二rx=2二(2 )x=4二xx25 分3

6、3(2)由(1)知当x -2兀2(一3)=3时，这个二次函数有最大值为所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为 6 cm10分& (10 分)如图，在三棱锥P-ABC中，PAB是等边三角形，/ PAC2 PBC=90 o(1)证明：AB丄PC(2)若PC =4，且平面PAC丄平面PBC，求三棱锥P-ABC体积.解：(1) 因为 PAB是等边三角形， PAC =/PBC =90所以 Rt PBC 二 Rt PAC ,可得 AC =BC。如图，取AB中点D，连结PD , CD ,则 PD _ AB , CD _ AB ,所以AB _平面PDC ,所以AB _ PC5分(2) 作BE PC，垂足为

7、E ,连结AE .因为 RtPBC 三 RtPAC ,所以 AE _ PC , AE =BE .由已知，平面PAC _平面PBC，故 AEB =90 .因为RtAAEB = RtPEB，所以 AEB- PEB- CEB都是等腰直角三角形。由已知PC = 4 ,得AE二BE = 2， AEB的面积S = 2 .因为PC 平面AEB ,18所以三角锥P-ABC的体积v S PC10分339.(本题满分12分)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABC为平行四边形，/ ADC= 45, AD= AC= 1, O为 AC的中点，PCL平面 ABCD PO= 2, M为 PD的中点.(1) 证明PB/平

8、面ACM(2) 证明ADL平面PAC(3) 求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.解析：(1)证明：如图，连接 BD MO在平行四边形 ABCD，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点.又M为PD的中点，所以PB/ MO因为PB?平面ACMMO平面ACM所以PB/平面 ACM(2)证明：因为/ ADC= 45,且 AD= AC= 1,所以/ DAC= 90,即卩 ADL AC 又 PCL平面ABCD AD?平面ABCD所以POL AD而ACT PO= O,所以ADL平面PAC1如图，取 DO中点N,连接MN AN因为M为PD的中点，所以 MN PQ且MNk空戸1,由PQL平面 ABCD得 M

9、NL平面 ABCD所以/ MAN是直线 AM与平面 ABCC所成的角.在 Rt1 DAQ中, AD= 1, AQ=,DQ=从而 AN= 1dq=.在 Rt ANM中,MN_ 1An=545即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为10 (本小题满分12分)如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC - ABG中,AC =3 , AB =5 , BC =4 , AA =4，点 D 是 AB 的中点.(I)求证：AC _ BC1 ；(II )求证：AG 平面 CDB1；(III )求三棱锥 ABjCD的体积.证明：（I）在厶 ABC中，T AC = 3 , AB = 5 , BC = 4 ,ABC为直角

10、三角形，二 AC _ BC , 1分又 CG 丄平面 ABC . CG 丄 AC , CGc BC=C , .AC _ 平面 BCG，二 AC _ BC1.(II )设BC与BC,交于点E则E为BG的中点，连结 DE则在 ABC1 中，DE/AG，又 DE 面CDB1,.AG / 平面 BiCD .(III )在厶ABC中，过C作CF _AB , F为垂足，平面 ABBjA _平面ABC.CF_ 平面 ABB1A，而AB 512510分VA _B1CD =Vc出DBt，DA BABAAi = 5 4= 10,11分12分11.(本小题满分12分)如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面PADL平面

11、 ABCD AB=AD,Z BAD=60 ,E、F分别是 AP、AD的中点求下:(I)直线EF平面PCD(H)平面 BEFL平面 PAD.盈.(本小题满分吃分证明：(I )往朋0中，因为GF分別为APtAD的中 又因为百FC平面切旳U平面吃6 所以直线刖平面吃口(U )连结0氏因为片呂冃川卩厶的0 =60* ,P所以3 如为正三角形，因为F是冲。的中点” 所以BELAD,因为平面柄。丄平面ABCO,EFU平面沖死6平面PAD Ci平面ABCOAO 所以RF丄平面松0又因为BFC平面8几所以平ffi SEFL平面刊0诣分10分”分12.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面A

12、BCD是正方形，侧棱PD _底面ABCD, PD =CD, E是PC的中点，作EF PB交PB于点F。(I)求证：PA/平面EDB ；(II )求证：PB _平面EFD ;(III )求二面角PBC -D的大小。PA 二 PB 二 PC 二 PD 二 53分I连结ACtBD交于0点，因为正方形ABCD,所以O为AC中点，又E为FC中点*连结OE则OE/PA,又PA平面ED艮OEU平面EDB,所以 PA平面 EDE* * . * m “ 4()在PDC申PD=C：D*E是PC的中点*所以DE丄FG又丄DE,所以DE丄平面PEG所UIDE丄P艮又EF丄PB.EF(DE=E1 所以丄平面EFD &分

13、(ffl)因为 FD丄面 AECD 于 D, PCCI 面 ABCD 于 C, BCC ABCDt 丄CD,就以 HE丄PC*斯以ZPCD为二面角P-BC-D的平面倉.在RtAFDC中.尸D=CD所以NPCD=4F 12分A J T 礼主 JL &L 剧址 _1LPT 二13.(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABC D是边长为2的正方形，(1) 求二面角P 一 AB C的度数(2) 若M是侧棱PC的中点，求异面直线21-(本小题满分12分)解：1)取ABCD中点E.F +连接FEF、EF 丫四边形ABCD为正方形*AEFJ_ABtEF= AD = 2tTFA=P乩二PE丄A

14、氏AZPEF为二面角P-AB-C的平面角* 在RiAPAE中PE= Jp斗-爭=5/(75)2-1e =N同理PF=2.:、PE= FF=EF*即 PEF为等边三角形* :上PEF= 60代二面角P ABC的大小为6化 6分力连接AC.BD交与点0,连接0WF6T四边形ABCD为正方形， 为吕D中点且BD丄AC.又是侧棱PC的中点，皿专阳=牛-Z0MS或其补角即为PA和所成角+: PD= PB t/. ED丄PO. 又 POnAC=O,在RtBMQ中 ms BO V2 2/W二异面直线PA与BM所成角的正切值为迫2* 12分-BD丄平面PACr又TOMU平面PAC. ABD丄OM*14. (本

15、小题满分12分)若图为一简单组合体，其底面ABC为正方形，PD丄平面ABCD EC/PD，且PD=2EC(1) 求证：BE/平面PDA(2) 若N为线段PB的中点，求证：EN_平面PDB(1) 证明：EC/ PD/. EC/面 PAD；同理 BC/面 PAD 面 BEC/面 PAD； / BE/面 PAD(2) 证明：取 BD的中点0,连NO CQ易知，CQL BQ 又t CQL PD; CQL面PBD15. (本小题满分12分)如图，在多面体 ABCDE中，底面 ABC为等腰直角三角形，且 面BCDE是菱形，Q点是BC的中点，EQ丄平面ABC(1 )求异直线AC和 BE所成角的大小；.ACB = 90，侧(2)求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值。国.解：（= KO 丄平面 A