初二数学整式的乘除与因式分解复习教案

1、整式的乘除与因式分解一、学习目标：1 .掌握与整式有关的概念；2 .掌握同底数恭、事的乘法法则，同底数是的除法法则，积的乘方法则：3 .掌握单项式、多项式的相关计算：4 .掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5.1. 握因式分解的常用方法。二、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母 也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：一2.尸儿的系数为一 2，次数为4,单独的一个非零数的次数是0。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项 的次数叫多项式的次数。如：a2 -

2、2ab + x + ,项有/、 2ab、x、1,二次项为,J、 2ab,一次项为 x,常数项为1，各项次数分别为2, 2, 1, 0,系数分别为1, -2, 1, 1,叫二次四项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）粒排列：如：x3 -2x2y2 +xy>-2y3 -1按的升幕排列:-l-2y3+xy-2x2y2+x3按x 的降事排列：x3-2x2y2+xy-2y3-按 y 的升基排列：- 1 + d + xy-2x2y2 - 2y3按），的降耗排列：一2）'3一2/）,2+冷，+ /一15、同

3、底数是的乘法法则都是正整数）同底数事相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：（“ + ）2 （"+ b）' = （a + b）56、箱的乘方法则都是正整数）事的乘方，底数不变，指数相乘。如：（-35）2=31°事的乘方法则可以逆用：即="尸如：46 =（42）3 =（43）27、积的乘方法则：（皿）”="少（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如:(-2x3y2z)5 = (-2)5.(x3)5.(y2)5.z5 =-32x,5y'°z58、同底数是的除法法则：=a'“"(。/0,?,都

4、是正整数，且?>)同底数事相除，底数不变，指数相减。如：(4)4+(,而)=(4份3=/39、零指数和负指数：4°=1，即任何不等于零的数的零次方等于1。a-p =(“WO,”是正整数)，即一个不等于零的数的一 次方等于这个数的p次方的a1倒数。, ? 1 ? 1如：2 =(-)=-Z o10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数事的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因

5、式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：一2/),%3冲=11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即"?(4 + + C)= ? + ? + ?。("人",0都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意枳的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2x 3y) 3y(x+y)12、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

6、(3« + 2b)(a- 3b)如(x + 5)(x-6)13、平方差公式：(“ + )("-)= /一2注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反 数C右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：(x+y-z)(x-y + z)3 / 241 / 24京翰教育I对1家教14、完全平方公式：(”±)2 ="±2皿+ 2公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项 的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意：a2 + b- = a + b)2

7、- lab = (a + b)2 - 2ah(a-b)2 = (a + h)2 -4ah(-a b)2 = -(a + b)2 = (a + b)2(-a+ b)2 = -(a-b)2 = (a b)2完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。15、三项式的完全平方公式：(a+b + c)2 = a2 +b2 +c2 + lab + lac + 2bc16、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数事分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母, 则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数事相除，如果只在被除式里含有的 字母，则连同

8、它的指数作为商的一个因式如：一 7a2bAm + 492b17、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：(am + bm + an) + m = am + m4-bin + m + cm-m = a + b+c18、因式分解:常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法三、知识点分析：1 .同底数事、塞的运算：am an=am+n(m> n都是正整数).(am)n=amn(m, n都是正整数).例题1.若2"=64,则2=；若27x3” =(-3)8,则2例题 2.若522 =125,求(工一2)20°

9、9+，的值。例题 3.计算(x-2y)3 (2y-x)2练习2 .若，产=3,则,产=2,设 4x=8y-l,且 9y=27x-l,则 x-y 等于03 .积的乘方（ab）n=anbn（n为正整数）.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.例题 1.计算：（一 J,4 .乘法公式平方差公式：（a + b/a-b） = a2 -b2完全平方和公式：（a+ =a* + 2ab + /完全平方差公式：（ 一）2 =“2-2。 +所例题1.利用平方差公式计算：2009x2007-20082例题2,利用平方差公式计算:200720072 - 2008 x 2006例题3,利用平方差公式

10、计算:200722008 x 2006 +1例题 4. (a-2b+3c-d) (a+2b-3c-d)变式练习1.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方 向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？040162. (3+1) (32+1) (34+1) . (32008+1)-一 21 0 13 .已知不=2,求厂+ )的值 x厂4、已知(x+y):=16, (x-y)2=4 ,求 xy 的值5 .如果 a+b? 2a +4b +5=0 ,求 a、b 的值6 .试说明两个连续整数的平方差必是奇数若a为整数，则/一能被6整除7 .一个正方形的边长增加4

11、cm ,面积就增加56cm ,求原来正方形的边长4 .单项式、多项式的乘除运算(1) (a-ib) (2a+，b) (3a2+b2)； 6312(2) (a-b) (a+b) 2+ (a2-2ab+b2) -2ab.(3) .已知 x2+x-l=0,求 x3+2x2+3 的值.5 .因式分解：1 .提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1把lax-1 Oay + 5by - bx分解因式.分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降事排列，然 后从两组分别提出公因式2与-，这时另一个因式正好都是x-5y ,这样可以继续提取 公因式.解：2ax-1 Oay + 5by

12、-bx = 2a(x - 5y) -b(x 5y) = (x -5y)(2 一b)说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方 法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.例 2 把ab(c2-d2)-(a2-b2)cd 分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因 式.解：ab(c2 - J2) (a2 - b )cd = abc2 abd1 a2 cd + b1 cd=(abc2 - a2cd) + (b2cd - abd2)=ac(bc - ad + bd(be - ad) = (be - ad

13、)(ac + bd)说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法 交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起 的作用.2 .公式法：根据平方差和完全平方公式例题1分解因式9/-25»，23 .配方法：例1分解因式外+6%一16解：x2+6x-16 = a:2 +2xxx3 + 32 -32 -16 = (x + 3)2 -52=(x + 3 + 5)(x + 3 - 5) = (x + 8)(x - 2)说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式, 然后用平方差公式分解.当

14、然，本题还有其它方法，请大家试验.4 .十字相乘法:(1) . /+(型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1： (2)常数项是两个数之积：(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.x2 +(p + c/)x+ pq = x2 + px + qx + pq = x(x + p) + qx+ /?) = (x+ p)(x + q)因此，x2 +(p + q)x+ pq = (x + p)(x + q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.例1把下列各式因式分解：(1) x2 -7x + 6(2) X2 +13x + 36解：(1)6 = (-

15、l)x(-6),(-l) + (-6) = -7二 x2 - 7x + 6 = x+ (-1)% +(-6) = (x-l)(x-6).(2) 36 = 4x9,4 + 9 = 13x2 +13x + 36 = (x + 4)(x + 9)说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数 的符号相同.例2把下列各式因式分解：(1)厂 + 5a* 24(2)厂2x 15解：-24 = (-3)x8,(-3) + 8 = 5/ + 5x - 24 = x + (-3)(x + 8) = (x - 3)(x + 8)(2) - 15 = (-5)乂3,(-5) + 3

16、 = -2x2 - 2x -15 = x + (-5)(x + 3) = (x - 5)(x + 3)说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数 与一次项系数的符号相同.例3把下列各式因式分解：(1) x2 +xy-6y2(2) (x2 + x)2 - 8(x2 + x) +12分析：(1)把W+刈一6)，2看成X的二次三项式，这时常数项是-6/，一次项系数是y，把-6丁分解成3y与-2y的积，而3y+ (2y) = y,正好是一次项系数.(2)由换元思想，只要把Y+X整体看作一个字母。，可不必写出，只当作分解二次三项式/ -86/+ 12.解：(1) x

17、2 +xy- 6y2 =x2 + yx - 62 =(x + 3y)(x - 2y)(2) (x2 + x)2 - 8(x2 + x) +12 = (x2 + x - 6)(/ + x 2)= (x + 3)(x 2)(x + 2)(x l)(2) . 一般二次三项式办2 +以+ c型的因式分解大家知道，(alx + cl)(a2x + c2) = aa2x2 + (axc2 + a2cx)x + qc2.反过来，就得到：a1a2x2 + (ac2 + a2c )x + qc2 = (ax + ccx + c2)我们发现，二次项系数。分解成卬小，常数项c分解成GC,把写成'“xG， a

18、2 c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到qq+/G，如果它正好等于。小+法+ c的一次项系数b，那么小+法+。就可以分解成(/ + 4)(421 +。2)，其中，G位于上一行，位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法. 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一 个二次三项式能否用十字相乘法分解.例4把下列各式因式分解：(1) 12r一5x 2(2) 5x2 + 6xy - 8y29 / 243 / 24京翰教育1对1家教3 -2 4X15 八4y解：(1) 12/ 5x 2 = (3x 2)(4x + l

19、)(2) 5x2 + 6冲8y2 = (x + 2y)(5x - 4y)说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时， 为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑“，看是否符 合一次项系数，否则用加法''凑"，先"凑''绝对值，然后调整，添加正、负号.练习已知2x-y = l, xy = 2,求2/）*-x、的值。若x、y互为相反数，且（x + 2/（y + l）2 =4,求x、y的值提高练习1 . (2x24x10xy)()=x1 y.222 .若 x+y=8, x2y2=4,贝

20、4 x2+y2=.3 .代数式4x2+3mx+9是完全平方式则m=4 . (a+l) (a+1) (a2+l)等于()(A) a4-l (B) a4+l (C) a4+2a2+l(D) l-a45 .已知 a+b=10, ab=24,则 a2+b2 的值是()(A) 148(B) 76(C) 58(D) 526 . (2) (-+3y) 2- ( -3y) 2： (2) (x2-2x-l) (x2+2x-l)； 447. (1-111)(1- )(1-rT3-4-4）的值. io-8 .已知x+1=2,求x2+y, x4+，的值. X厂A9 .已知(a-l) (b-2) -a (b-3) =3

21、,求代数式-ab 的值. 210 .若（x2+px+q） （x22x3）展开后不含 x2, x3 项，求 p、q 的值.整式的乘除与因式分解单元试题一、选择题：（每小题3分，共18分）1、下列运算中，正确的是（ ）A.x2 x3=x6 B.（ab）3=a3b3C.3a+2a=5a2 D. （x3） 2= x52、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）(A )( B )10 / 2410 / 24京翰教育1对1家教3、下列各式是完全平方式的是（11 / 2411 / 24京翰教育1对I家教A、12 / 2412 / 24京翰教育1对1家教4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为()D. IA.-3B. 3C.014 / 2414 / 24京翰教育1对1家教,面积相应增,则这个正方形的边长为（）D、7cm6、一个正方形的边长增加了加了A、6cm B、5cm