竞赛专题-因式分解

1、竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a2 b2=(a + b)(a b); an 仁(a 1)( a n-1 + an-2 + an-3 + a2 + a 1)2、a2±2ab+ b2=(a±b)2；23、x2+ (a + b)x + ab=(x+ a)(x + b);4、a3+ b3=(a + b)(a 2 ab+ b2); a 3 b3=(a b)(a 2+ ab+ b2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1 、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待 定系数法。3 、考虑顺序：( 1 )提公因式

2、法； ( 2)十字相乘法； ( 3)公式法； (4) 分组分解法；1 、 添项拆项 例 1 因式分解：( 1 ) x4+ x2+ 1 ；(2) a3+ b3+ c3 3abc(1) 分析：x4+ 1若添上2x2可配成完全平方公式解:x°+ x2+ 1 = x4+ 2x2 + 1 x2=(x2 + 1)2 x2=(x2 + 1 +x)(x 2+1x)(2) 分析：a3 + b3要配成(a+ b)应添上两项3a2b + 3ab2解:a + b + c 3abc= a + 3a b + 3ab + b + c 3abc 223a2b 3ab2=(a+b)3+c33ab(a+b+c)22=(

3、a+b+c)(a +b)2(a+b)c+c23ab(a+b+c)=(a+ b+ c)(a 2+ b2+ c2 ab ac bc)例2因式分解：(1) x311x+20；(2) a5+a+1( 1 ) 分析 ：把中项 11x 拆成 16x+5x 分别与 x5,20 组成两组，则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数)解：x3 11x + 20= x3 16x + 5x+ 20= x(x2- 16) + 5(x + 4)2=x(x + 4)(x 4) + 5(x + 4) =(x + 4)(x 4x + 5)(2)分析：添上一a2和a2两项，分别与a5和a+ 1组成两组，正好可以用立方差公式55

4、22232解：a +a+ 1 = a a + a +a+ 1=a(a 1) + a +a+ 1=a2(a 1)( a 2+a+ 1) + a2+a+ 1=(a2 + a+ 1)(a 3 a2+ 1)2、待定系数法例 3因式分解 2x2 + 3xy 9y2 + 14x 3y+ 20解：T 2x2 + 3xy 9y2=(2x 3y)(x + 3y),故用待定系数法，可设 2x2 + 3xy 9y2 + 14x 3y+ 20=(2x 3y + a)(x + 3y +b),其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得2 2-2x + 3xy 9y + 14x 3y + 20=(2x 3

5、y + 4)(x + 3y + 5)另解原式=2x + (3y + 14)x (9y + 3y 20)，这是关于x的二次三项式常数项可分解为(3y 4)(3y + 5),用待定系数法，2 2可设 2x + (3y + 14)x (9y + 3y 20)=mx (3y 4)nx +(3y + 5)比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=12 2-2x + 3xy 9y + 14x 3y + 20=(2x 3y + 4)(x + 3y + 5)三、重点定理1、余式定理：整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则 f(x)=(x-a)q(x)+r 。当一个多项式f(x)除

6、以(x - a)时，所得的余数 等于f(a)。例如：当 f(x)=xA2+x+2除以(x - 1) 时，则余数二f(1)=1八2+1+2=4。2、因式定理：即为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多 项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么， f(a)=0。四、填空题1、 两个小朋友的年龄分别为 a和b,已知a2+ ab=99,则a=, b=。2、 计算：(x + 6)2(x 6)2=(x2-36)2。3、 若 x + y=4, x2+ y2=10,则(x y) 2=。4 、 分解因式：a2b2 + 4a + 2b +3=。5 、 分 解 因 式：4

7、x331x+15=。6 、 分解 因 式：x4+1987X2+1986x+1987=。五、选择题7、x2y y2z + z2x x2z + y2x + z2y 2xyz 因式分解后的结果是()。(A) (y z)(x + y)(x z)(B) (y z)(x y)(x + z)(C) (y + z)(x y)(x + z)(D (y + z)(x + y)(x z)8、已知 724 1 可被 40 至 50 之间的两个整数整除，则这两个整数是 ）。（A） 41，48（B）45，47（C）43， 48 （ D）41，479、n 为某一自然数，代入代数式 n3n 中计算其值时，四个同学算出 如下四

8、个结果，其中正确的结果只能是（ ）。（A）388944（B）388945（C）388954 （ D）388948六、将下列各式分解因式11、x4410、x4x2y2y412、x4 23x2y2 y413、x34x2914、x3 41x3015、x35x21816、x33x2y3xy22y317、 x 3x 3x718、x39ax227a2x26a319、 x36x2 11x620、a3+b3 + 3(a2 + b2) + 3(a + b) + 221、3x3 7x + 1022、x3 11x2 + 31x 21七、解答题23、已知x y + 4是x2 y2+ mx+ 3y + 4的一个因式，求 m的值24、求方程xy x y +仁3的整数解。 解