初中函数知识点专题讲解

1、知识点 1 函数及其相关概念1 、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（ 1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自变量x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做

2、列表法。（ 3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（ 3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数1 、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果y kx b （k, b是常数，k 0）,那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数 y kx b中的b为。时，y kx （k为常数，k 0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要

3、特征：一次函数y kx b的图像是经过点（0, b）的直线；正比例函数 y kx的图像是经过原点（0, 0） 的直线。k的符号b的符号函数图像图像特征k>0b>0y/ /。I/ x图像经过一、二、三象限， y随x 的增大而增大。b<0y .o/图像经过一、三、四象限， y随x 的增大而增大。K<0b>0yJ0图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b<0yb Ax图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质y随x的增大而增大; y随x的增大而减小。般地，正比例函数 y

4、kx有下列性质:(1)当k>0时，图像经过第一、三象限,(2)当k<0时，图像经过第二、四象限,5、一次函数的性质一般地，一次函数 y kx b有下列性质：(1)当k>0时，y随x的增大而增大(2)当k<0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y kx (k 0)中的常数 ko确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 y kx b (k 0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数1、反比例函数的概念k 一般地，函数y (k是常数，k 0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可

5、以写成y kxx的形式。自变量 x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x 0,函数y 0,所以，它的图像与 x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例 函数ky (k 0) xk的符号k>0k<0图像d y卜LJ1xO性质x的取值范围是x 0,y的取值范围是y 0;当k>0时，函数图像的两个分支分别在A、三象限。在每个象限内， y 随x的增大而减

6、小。x的取值范围是x 0,y的取值范围是y 0;当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定k确定及唉是的万法仍是待定系数法。由于在反比例函数y 中，只有一个待定系数，因此只需要X一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义 k .如下图，过反比例函数 y (k 0)图像上任一点 P作x轴、y轴的垂线PM, PN,则所得的矩形 XciIlk.一.PMON 的面积 S=PM?PN= y ? x xy。 y , xy k,S k。 x知识点六、二次函数的概念和图像1、

7、二次函数的概念一般地，如果特y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0),特别注意 a不为零那么y叫做x的二次函数。y ax2 bx c(a, b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像b一次函数的图像是一条关于 x对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左

8、到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y轴的交点C及对称点D。由C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一 一般两根三顶点(1) 一般一般式：y ax2 bx c(a,b, c是常数，a 0)(2)两根当抛物线y ax2 bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程 ax2 bx c 0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2 bx c a(x x1)(x

9、x2),二次函数y ax2 bx c可转化为两根式 y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。(3)二顶点顶点式：y a(x h)2 k(a, h,k是常数，a 0)知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当x-b-时，2a4ac b2y最值 04ab如果自变量的取值范围是 xi x x2,那么，首先要看是否在自变量取值范围 xi x x2内，2ab4ac b2若在此范围内，则当x= 旦时，y最值 ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 x1 x *2范2a4a围内的增减性，如果在此范围

10、内，y随x的增大而增大，则当x x2时，y最大 ax2 bx? c,当x xi时，y最小ax12bx1c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，y最大ax12bx1c ,当 x x2 时，y最小 ax2 bx2 c。知识点九、二次函数的性质1、二次函数的性质二次函数函数21、，y ax bx c(a,b,c 是吊数，a 0)性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；，一，一bb(2)对称轴是x= 一，顶点坐标是(，2a2a4ac b2 、);4a(3)在对称轴的左侧，即当 x< 上-时，y随x2a的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大，简记左减

11、2a右增；(4)抛物线有取低点，当 x= 时，y有取小2a,2/击4ac b值，y最小值 4a(1)抛物线开口向卜，并向卜无限延伸；，一，一bb(2)对称轴是x=,顶点坐标是( 一，2a2a4ac b2 、);4a(3)在对称轴的左侧，即当 x< 上时，y随2ax的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左2a增右减；(4)抛物线有取网点，当 x= 时，y有取2a,2“由4ac b大值，y最大值4a2、二次函数y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义:a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上a <0时，抛物线开口向下b

12、b与对称轴有关：对称轴为 x= 2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：(0, c)3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的b2 4ac,在二次函数中表示图像与 x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。知识点十二次函数压轴题常考公式1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法)斗如图：点A坐标为(x，yi)点B坐标为(x2, y2)则AB间的距离，即线段 AB的长度为x x1 x22yly2 2A2,二次函数图象的平

13、移2将抛物线解析式车t化成顶点式y a x h k ,确定其顶点坐标 h, k ;保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下:平移|k|个单位y=ax2y=a(x-h)2-向右（h>0）【或左（h<0）】向上（k>0）或下（k<0）】平移|k|个单位H y=a（x-h）2+k向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位 > y=ax 2+ k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个

14、单位平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移； k值正上移，负下移函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆- 同左上加异右下减（必须理解记忆）说明函数中ab值同号，图彳t顶点在 y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在 Y轴右侧异右向左向上移动为加左上力口，向右向下移动为减 右下减3、直线斜率：y2 y1b为直线在y轴上的截距4、直线方程:k tan x2 x14、两,点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式y yi kx b (tan )x b辿y1x(x x"此公式有多种变形牢记X2

15、 x1点斜 y yi kx(x xi)斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式：y=kx+b(kw。)截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：- y 1a b牢记 口诀一 两点斜截距 -两点点斜斜截截距5、设两条直线分别为，li： y kix bi 12： y k?x b2 若 li I2，则有 li/12 ki k?且 b1b2。 右 i1vvdli1 2kik 2I|kxo yo blIkxo y° b6、 点 P (xo, yo)至ij直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d , _=-1 .-.k2 ( i)2, k2 i抛物线V aX2

16、bx c中，a b c，的作用 y ax x c(1) a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线bbx故：b 0时，对称轴为 y轴；一 0 (即a、b同号)时，对称轴在 y轴左侧；2aab 0 (即a、b异号)时，对称轴在 y轴右侧. 口诀- 同左 异右 a(3) c的大小决定抛物线 y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,，抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0, c)：c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，

17、当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 为 0.a十二，初中数学助记口诀(函数部分)特殊点坐标特征：坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X轴上y为0,x为0在Y轴。对称点坐标：对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称，x前面添负号；原点 对称最好记, 横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律：若把一次函数解析式写成y=k (x+0) +b、二次函数的解析式写成y=a (x+h)2+k 的形式，则用下面后的口

18、诀“左右平移在括号 , 上下平移在末稍, 同左上加异右下减一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为 负来左下展, 变化规律正相反；k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与 a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵

19、标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k 为正 , 图在一、三( 象 )限 ,k 为负 , 图在二、四( 象 ) 限 ; 图在一、三函数减, 两个分支分别减。图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长越近轴 , 永远与轴不沾边。正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四限，x 增大y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限，x 增

20、大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、 y 的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简便，x轴上数交点，a、 b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。对称点坐标:对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反 , Y 轴对称 ,x 前面添负号；原点对称最好记, 横纵坐标变符号。关于x轴对称22y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c；22y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；关于y轴对称22y ax bx

21、 c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是关于原点对称22y ax bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c；2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是关于顶点对称22b2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是yax2 bx c ；2a22y a x h k关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k .关于点m, n对称2a x h 2m 2n k2y a x h k关于点 m, n对称后，得到白解析式是 y根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不

22、变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式.口诀丫 反对X, X反对Y,都反对原点2自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次哥底数不为零, 函数图像的移动规律：若把一次函数解析式写成y=k (x+0) +b,二次函数的解析式写成 y=a (x+h) 2+k的形式, 则用下面后的口诀：“左右平移在括号，上下平移在末稍，左正右负须牢记，上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀一次函数是直线，图像经过任象限

23、；正比例函数更简单，经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜，x增减y增减；k为负来左下展，变化规律正相反;k的绝对值越大，线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点，它们确定图象限；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与 a相关联；顶点位置先找见， Y轴作为参考 线，左同右异中为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要 ，一般式配方它就现，横标即为对称轴 ，纵标函数 最值见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀：反比例函数有特点，双曲

24、线相背离的远；k为正，图在一、三（象）限；k为负，图在二、四（象）限；图在一、三函数减，两个分支分别减；图在二、四正相反，两个分支分别添；线越长越近轴，永远与轴不沾边。函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负 k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加 b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线 x、y的顺序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简便，x轴上数交点

25、,a、b同号轴左边抛物线平移 a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 指是分数底正数，数零没有零次哥。 限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域要过关，四项原则须注意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 分数指数底正数，数零没有零次哥。 限制条件不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站

26、。 判别式值若非负，曲线横轴有交点。a 正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。 确定参数abc,计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程:已知未知先分离，因式分解是其次。 调整系数等互反，和差积套恒等式。 完全平方等常数，间接配方显优势【注】恒等式解一兀二次方程：方程没有一次项，直接