第3讲.解析几何之中点弦题型

1、第三讲解析几何之中点弦题型【教学目标】1掌握两点的中点坐标公式；2掌握韦达定理在解析几何中的应用；3.会求解解析几何中相关的中点弦问题。【知识、方法梳理】Xi X2 V1 V21.若A(X1,V1)，B(X2,V2)，则AB 的中点坐标是(丁，丁)x1x2一 22. 一元二次方程 ax bx c0,则有x1x23.解析几何中遇到中点弦问题，基本解题思路是联立方程，利用韦达定理(注意判别式【典例精讲】2 2x y例1.直线l : y x 1与椭圆1交于A, B两点，求A, B的中点坐标。42【解析】：将直线代入椭圆，得 3x2 4x 20设 A(xi, yi), B(X2, y2)，中点(xo,

2、 yo)则 X1 x24x1x2，Xo32yoXo【点评】：看到中点，想到韦达定理例2.设直线l交椭圆x21y21于代B两点，且A, B的中点为M(1,)，求直线丨的方程。2 21【解析】：直线丨斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线 l :y -234代入椭圆方程，整理得(k2扣2设 A(X1, y1), B(X2, y2)，则为 x?1 22k(k -)x k2 k212k(k -)&，又因为 k2 12k(x 1)1叫)所以X1 X22所以l : y1k(k寸21,解得.2 1 k23k 1，经检验此时【点评】：联立方程利用韦达定理是解决中点问题的基本方法2例3.已知双曲线x2 f 1与

3、点P(1,2)，过P点作直线l与双曲线交于AB两点，若P为AB 中点.(1)求直线AB的方程;(2)若Q(1,1)，证明不存在以Q为中点的弦.【解析】：(1 )解：设过P(1,2)点的直线 AB方程为y 2 k(x 1)，代入双曲线方程得(2 k2)x2(2k2 4k)x (k2 4k 6)0设 A(xi,yi), B(x2, y2),则有XiX22k2 4k2 k2Xp 1由已知2k2 4k2 k22 解得k 1.又k 1时， 160，从而直线AB方程为x y 10.(2 )证明：按同样方法求得 k 2，而当k 2时,0,所以这样的直线不存在【点评】：注意检验 的重要性，上题中中点在椭圆内部

4、，检验只是形式而已，而双曲线的情况较为复杂，检验的步骤必不可少，具体的情况我们以后会做分析。2例4.若抛物线y ax 1上总存在关于直线 x y0对称的两点，求a的范围【解析】：设对称的两点分别为 A(X1,yj B(X2,y2)，中点 M (xo, y)，考虑到直线 AB应与x y 0垂直，设直线AB : y联立方程得，ax2 x b 10，所以X1X2，X0点M也在x y 0上，所以y。X02aX-I x212 2a，12a)代入直线AB，1所以方程化简为ax x -a考虑到 0，3 解得a 一42x例5.已知椭圆y221上有不同两点代B关于b对称，求b的取值范围;【解析】：设 A(X1,

5、 yj, B(X2,y2)，A, B 中点 M(X0,y)，依题意AB被直线y x b垂直平分，所以kAB1,设 AB: yx m，代入椭圆，整理得3x24mx 2m22则 x-ix24m , Xo3x1x222-m ,3yoXom由于M (xo, yo)也在yx b上,所以yoXob ,yoXo考虑到有两个交点所以b ( 【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(xi, yi), B(X2, y2)，但不是真的求出X1,y1,X2, y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA丄OB得X1X2 y2 o是解决本题的关键.2例6.椭圆C:%a椭圆C相交于y22

6、1(a b 0)的左、右焦点分别是 FMb2A, B两点，且AF2 , AB , BF2成等差数列.c,o), F2(c,o)，过Fi斜率为1的直线l与(1) 求证：b(2) 设点 P(0,c ；1)在线段AB的垂直平分线上，求椭圆 C的方程.【解析】：(1)由题设，得2ABAF2由椭圆定义AB所以,AB设 A(X1, yj ,2 2 2(a b )y_ 2(X1则AB2a22b2c4a.3Bgm) , F1 (2b2cyX2)22b4(yi4b4a2 b24a ,c,0), l :0,y2)22( y1y2)2c,代入椭圆C的方程，整理得(*)y2)2 4y1y22(yi2. 2X 2(a

7、b )4bb28b4 2a2(a2 b2)24于是有一a3化简，得a(2 )由(1)4b2a，.2b，故,b有b c,方程设AB中点为M (xo,yo)，则yo又M I，于是Xoyo c由PA PB知PM为AB的中垂线,可化为3y21(y1 y2)22b3 .kPM2byb3，b2由 P(0, 1)，得 12b，解得b3, a218 ,故，椭圆C的方程为32 2x y189例7.已知抛物线y22 px( p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点AB ,且 |AB|2p。(1)求a的取值范围(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求 NAB面积的最大值【解析】：(1

8、)设直线l的方程为：y x a，2 2 2代入抛物线方程得 (x a) 2 px，即x 2(a p)x a 0AB V2 /4(a_pp_4a22 p， 4ap 2p p 即 4ap p2p又 Q p 0， a4(2)设 A(x1, y1), Bg y2)， AB 的中点 C(x, y),由(1)知，如 为 a, y2 X2 a ,X1X22a2p则有 x x1 x2 a p,y y1 y22 2xX22ap2线段AB的垂直平分线的方程为yp(xaP),从而N点坐标为(a 2 p,0)点N到AB的距离为|a 2p a|V2、2p从而 Sa nab 1、2 4(a p)2 4a2、2p 2 p

9、2ap p22当a有最大值 时，S有最大值为2p2。4【双基训练】21.若直线x y 20与抛物线y 4x交于A, B两点，则线段AB的中点坐标是2 22设直线l交椭圆- y 1于代B两点，且A,B的中点为M(1,1),求直线l的方程。322P为AB中3已知双曲线x2 y 1与点P(2,1)，问能否过P点作直线l与双曲线交于 A B两点，使得2点？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由。2 2x y4已知椭圆1上有不同两点 代B关于y 4x m对称，求m的取值范围;4 3【纵向应用】25已知直线y ax 1与双曲线3xy21交于A、B点。(1 )求a的取值范围；一 1(2)是否存在这样的实

10、数 a，使A、B两点关于直线y - x对称？若存在,2请求出a的值；若不存在，说明理由。【横向拓展】6定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆2X 2C1： y4(1)2 2若椭圆c2：x -1，判断C2与G是否相似？如果相似，求出C2与G的相似比；如果不相似,164请说明理由;(2)写出与椭圆G相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程;若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线(3)y x 1对称，求实数b的取值范围?如图：直线l与两个“相似椭圆”2 x

11、2 a2 2x2 ,2a b2 (a b 0,01)分别交于点A,B 和点 C,D，证明:|AC |BD【练习题答案】1. （4,2）2 52. y - x -3 33. 能，y 2x 32后2用4. m-1313y ax 1225.【解析】：（1 ）由 22 消去y，得（3 a ）x 2ax 2 03x y 1依题意3 a 0即-6 a飞且a 30(2)如果存在的话，必须满足AB被y lx垂直平分，所以a2代入(1 )中方程得x2 4x 20设 A(X1,yd B(X2, y2)， AB 的中点 Mgy。)，则 X。臣 2，yo2xo 13，即 M(2, 3)21但M (2, 3)不在y x

12、上，所以不存在这样的 a。26.【解析】：(1 )椭圆C2与G相似。因为椭圆C2的特征三角形是腰长为 4,底边长为43的等腰三角形，而椭圆Cl的特征三角形是腰长为 2 ,底边长为23的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:12 2(2)椭圆Cb的方程为： 二爲 1 (b 0)4b b设 Imn : y x t，点 M (xi, yi), N(X2, y2)， MN 中点为(x,y)，y x t则x24b22 y b2，i所以5x28tx4(t2b2) oXiX4tt则Xo,yon255t4ti，t5因为中点在直线yXi上,所以有553即直线l MN的方程为:lMN :x53由题意可知，直线Imn与椭圆Cb有两个不同的交点，255 22即方程5x 8( )x 4() b 0有两个不同的实数解，3340 225 245所以 (一)2 4 5 4 ( b2)0,即 b 393(3)证明：直线丨与x轴垂直时，易得线段 AB与CD的中点重合，所以 AC BD直线丨不与x轴垂直时，设直线丨的方程为:kx n，A(xi, yi), B(X2, y2)，线段AB的中点