第二类曲线积分地计算

1、作者：钟家伟第二类曲线积分的计算指导老师：张伟伟摘要:本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性, 参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词:第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和

2、斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。2.1第二类曲线积分的物理学背景力场F (x, y)二P(x, y) , Q(x,y)沿平面曲线L从点a到点B所作的功一质点受变力F x, y的作用沿平面曲线 L运动,当质点从L之一端点A移动到另一端 B时, 求力F x, y所做功W.大家知道，如果质点受常力 F的作用从A沿直线运动到B,那末这个常力F所做功为W= F AB .现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲怎么办呢？An,即在AB内插入n-1个分点为此，我们对有向曲线L作分割T二A0,A|,.,An4,M1,M2,，Mn4,与 A=M 0, B 二 Mn 起把曲线

3、分 成n个有向小曲线段 M jMj (i =1, 2，n),记 小曲线段MjM 的弧长为.0 则分割T - Ao , A1,An 4 , An 的细度为 T 二會 $.设力F x, y在x轴和y轴方向上的投影分别为 P(x, y)与 Q(x,y),那么 Fx,y = P(x, y),Q(x, y) i；二P(x,y)i Q(x,y)j 由 于MijXijy*), Mi(Xi,yJ,则有向小曲线段M ii (i = 1, 2，n)在x轴和y轴方向上的投影分别为 厶片 二XjXj与y 二yjyij .记LMj lMj =(卫片，AyJ从而力F(x, y )在 小曲线段 MjMj 上所作的功WjF

4、( , j) L m i 1M= P i, i X+Q j, j .-.yi其中(h j )为小曲线段 M iM i上任一点，于是力F x, y沿L所作的功可近似等于nnnWj = 7Wj ：八 P(Sj, j).'XjQ(Sj, j) ：yj当T > 0时，右端积分和式的极限就是所j Aj 4i 4求的功这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分2.2 第二型曲线积分的定义设P(x, y), Q(x, y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线LAB上的函数,对LAB任一分割T ,它把LAB分成n个小弧段MjM j (i =1, 2，,n);其中A = Mo,B = M n

5、.记各个小 弧段M jM j弧长为.-：sj ,分割T的细度为T二max Sj,又设T的分点的坐标为 i_i岂Mj(Xj ,yj),并记 =Xj Xj，=yj yj,(i =1, 2, , n).在每个小弧段MMj上任取一点 <,j ,若极限nnlim./ P( j, j)%Q( j, j)»存在且与分割T与点, j的取法无关，则称此极限为函数P(x, y) , Q(x,y)在有向线段Lab上的第二类曲线积分，记为P(x, y)dx Q(x, y)dy 或 P(x,y)dx Q(x, y)dyLAB也可记作P(x, y)dx Q(x,y)dy 或 P(x,y)dx Q(x,y)

6、dyLLABAB注： 若记F x, y = P(x, y), Q(x, y) , ds二dx, dy则上述记号可写成向量形 式:.F ds.L(2)倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线，P(x, y,z) , Q(x, y,z), R(x, y, z)为定义在L上的函数，则可按上述办法定义沿空间有向曲线L的第二类曲线积分，并记为P(x, y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dzL按照这一定义，有力场F(x,y)二P(x, y) , Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为W二 Pdx Qdy .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分AB'有二一

7、 ,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x轴上的线段时的特例可类似地考AB4A虑空间力场F(x, y,z)二P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y,z)沿空间曲线Lab所作的功为 空间曲线Lab上的第二型曲线积分ABP(x,y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz.2.1对坐标的第二类曲线积分的概念设函数在平面P(x，y)上的一条光滑(或分段光滑)曲线上有定义且有界，用分点皿")0 =°,1,2山n)将曲线l从起点a到B分为n个有向小弧的长度一("h，nn迟 P(4V)AXi(Xi Xy)x=Ra |AilJ 呼 卩(勺-斗

8、)纠=1作和式 i。记 1旦 ''，若极限一 7存在，且对曲线L的分点及点的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A到B的方向沿曲线L对坐标.x的曲线积分，记作的曲线积分记作(_i, i)nP(x, y)dx li.m Pie i ' )iXP(x,y)dxlV，其中P(x，y)称为被积函数，L称为被积路径，对坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。类似的，设函数 Q(x，y)在xy平面上的一条光滑(或分段光滑)曲线 L( AB)上有定义且 有界。若对于 L的任意分法和(i, i)的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值nlim ' Q( i - J Y

9、'：:i为函数Q( x，y)按从A到B的方向沿曲线L对坐标Y的曲线积分，fQ(x,y)dy记作L2. 2第二类曲线积分的参数计算法首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是nl f(x, y)ds =lim( i, i)2. ：s10 i 4第二类曲线积分就是nP(x, y)dx Q(x, y)dy =limP( i,"逐 Q( i, J y'Jim( 1)这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的"：S1，人S是一小段弧的弧长，"：Si总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x，y坐标的增量也Xj =x

10、 XjAyj =yj _yj七心Xj与心yj是可正可负的。当积分的路径反向时，s不变,而.,yi反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积 分，但两类曲线积分有些不同。设曲线1的参数方程为x=x(t),住彳 v 7 a <t <Py = y(t),则第一类曲线积分的计算公式为ds 二 dx2 dy2 二 x' (t)dt " | y'(t)dt=Jx，2 (t)dt + 存，2(t)dt |dt这里要注意"邛，即对t的定积分中，下限比上限小时

11、才有dt a 0，也就有dt = dt，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿1上的点由A变到B，即t的下限对应曲线积分的起点 A，他的上限：对应曲线积分的起点 A，t的上限：对应终点Bo 在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为x"(tnt)，o 注汐； y = a(t -cost),有些较简单的曲线可取X或y为参数，即可由直角坐标方程。例如，直线y“x b 取可由直角坐标方程得出参数方程。例如，直角y = ax b，取x为参数，参数方程即为X = X, X ：:： y =ax b,又如，抛物线y =，取y为参数，参数方程为2

12、x 二 y ,小y，0 兰 y <Py =y,例1设I为以。(°，°)，A(1,0), B(0,0)为顶点的三角形边界，计算(1)l(x2 y2)ds2 2 2 2(2)i(x y )dx (x y)dy，沿逆时针方向。解：(1 )这是第一类曲线积分。29I (x y )ds 二(x2 y2)ds (x2 y2)ds 拆(x2 y2)ds线段OA的参数方程为x=x,°*1 y =°,OA2 1 2 1y)ds°xdx = 3线段AB的参数方程为y =1 _x,° 乞X12 2AB(x y )ds 二0(x2 (x)2)、2dx

13、A2线段OB的参数方程为y =y.0<y<1才2 ".。血八孑所以L3333(2 )这是第二类曲线积分。f(x2 +y2)dx+(x +2)dy2 2 2 2=OA(x y )dx (x 2)dy /X y )dx (x 2)dy1 2 1 2 2 1=°x dx°x (1 -x) dx (x 2)d(1 -x) °2dy1 1 2 1(1 3x -2x2)dx -2 二一306在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性问题。2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分设D是由分段光滑的曲线l围成的连通有界闭区

14、域，函数P(x，y)，Q(x, y)在其上有 阶连续偏导数，则有格林公式P(x,y)dx盹祸十迁曲其中1取正向。格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的，格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中， 在许多公式的推导中， 在曲线积分的计算中， 格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个计算曲线积分的例子。例2.用格林公式计算例1中(2)的第二类曲线积分。解:显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式，2 2l(x2 y2)dx (x 2)dyi(1-2y)dxdy = °dy ° (1-2y)dxD1 1

15、=°(1-2y)(1 -2y)dy = 62x2y 二 14这比例1中的解法简单一些。 例3.计算第二类曲线积分2 2l(y x )dx -(x y )dy,其中1为从A(-2,0 )至 B (2,0 )沿椭圆的上半部分的曲线。解：I不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿x轴的线段BA而成为封闭曲线。29921(y x )dx-(x y )dyBA(y X )dx-(x y )dy-(-1 -1)dxdy =2匕 2 FD2 21(y x )dx-(x y )dyAB(y x2)dx-(x y2)dy22=4- - BA(y x )dx -(x y )dy2 2 16=4二 x

16、 dx =4二3此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线 积分的计算转化为二重积分的计算。2.4利用对称性计算第二类曲线积分定理1设L为xoy平面上关于x轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为y = -Wx), a _ x _ b)。记J丄2分别为L位于x轴的上半部分与下半部分，J丄2分别在上的投影方向相反，函数P(x，y)在L上连续，那么1)当P(x,y)关于y为偶函数时，则LP(x, y)dx=02)当P(x,y)关于为奇函数时，则LP(x,y)dx =2 LP(x,y)dx证明：依定理条件不妨设Ly = y(x)从点 a变到点bL2： y

17、= -y(x)从点b变到点a于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有P(x, y)dx P(x, y)dx 亠 I P(x, y)dx 二Li“L2P Lx, y(x) Idx 亠 i Px, -y(x) Idx 二 a' a：Px, y(x)Px,y(x) Idx 二atplx, y(x) l-px, -y(x) Pdxab0dx =0a故1 )当P(x, y)关于为偶函数时，有L P(X, y)dx =a 】Px ,y(x) -P &, y(x) 1/dx2)当P(X,y)位于为奇函数时，有LP(x,y)dxx, y( x) Plx, y(x) fdx =2f Plx, y(

18、x) dx =2 P(x, y)dxf Q(x, y)dy注1 对于L有定理1的结论注2 定理1可用两句口诀来简言之，即“反 对 偶 零” “与反 对I奇 倍”。其中“反” 指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数； “零” 指曲线积分的结果等于零。口诀“反 对 奇 倍”涵义类似解释。关于曲线积L P(x，y)dx分还有另一个对称性的结论是定理2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程为y二y(x),( -a zx空a)，记S L?分别l为位于y轴的右半部分，丄?分别在x轴上的投影方向相同，函数 P(x,y)在L上连续，那么1)当P(x，y)关于x

19、为奇函数时，则l P(x, y)dx =02)当P(x，y)关于x为偶函数时，则L P(x,y)dx -2 l P(x, y)dx证明：依定理条件不妨设L1：y = y(x)从点0变到aL2：y = y(x)从点-a 变到 o(a °).于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有L P(x, y)dx = P(x, y)dx l P(x, y)dx =:P !-x,y(x)】dx ：Px, y(-x)dx对右端第2个积分，令x=-t，有aP l-x, y(x) dxL P(x,y)dx =；Px, y(x)dx0Pl -x, y(x) dxa-j ' P lx, y(x) P l

20、-x,y(x) ?dx故1）当P（x,y）在L上关于x为奇函数时，有L P(x,y)dx 二a dP Ry(x)P x, y(x)dxa0°dx=02）当P（x，y）在l上关于x为偶函数时，有l P(x,y)dx -Px, y(x) P lx, y(x) l.?dx 二a20Pl.x, y(x) Idx = 2 P 1.x, y(x) Idx"L1f Q（x, y）dy对于L有类似2的结论。定理1与定理2虽然都是对坐标 x的曲线积分，但定理1中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对x轴而言的，而定理2积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对y轴和x轴而言的。另外，被积函数 P（x,

21、 y）的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的，故定理2的结论恰好与定理1相反，定理2用口诀简言之是：“同 对奇零 倍”。其中“同”指L1 , L2 分别在x轴的投影方向相同，“对”指L关于y轴对称“奇”指被积函数 P（x, y）关于x为奇函数，“零”指曲线积分结果等于零“同对偶倍”的涵义类似解释。例4计算1-Txydx.其中L为抛物线/二X 从点A（1厂“到B（1,1）±的一段弧。解：以题设条件知，该曲线积分满足定理1中“反 对 奇 倍”的结论，故有I = 2 xydx = 2 x xdx 二-Tp5，其中，L1 : x，X从点0变到1.P(x,y)(-x) Idx 二 0 P(-t,

22、y(t) dt 二 因此有2 2 2例5计算1（a - 0）按逆时针方向二 L(x y) dx-(xy sin y)dy其 L 为 x2 y2 二 a2从点A（a，0）到点B（_a，°）的上半圆周。解可将原式改写为 3 个曲线积分的代数和，即2 2 2 2I = （x y ）dx _2 xydx _ l （x y sin y）dy依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同对偶倍”、“同L对奇L零”及及定理1的注1中“反L对L偶L乘LI零“的结论，故有I = L(x2 y2)dx220=2 L (x y )dx = 2 它(x2 a2 x2)dx - -2

23、a3其中,x从点a变到0.2.5利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分斯托克斯（Stokes ）公式建立了沿空间双侧曲面 S的积分与沿S的边界曲线L的积分之 间的联系。在介绍下述定理之前， 先对双侧面S的侧与边界L的方向作如下规定： 设有人站 在S上指定的一侧，若沿 L行走，指定的侧总在人的左方，则人的前进方向为边界L正向;若沿L行走，指定的侧总在人的右方， 则人的前进方向为边界线 L的负向，这个规定方法也 称为右手法则，如下图所示。定理3设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R在S（连同L）上连续,且有一阶连续偏导数，则)dydz-'Z(-:z)dzdx (y:Q：:x

24、:P)dxdyPdx Qdy Rdz其中S的侧面与L的方向按右手法则确定。公式（2）称之此公式为斯托克斯公式。:p: Pdzdx dxdy Pdx,证明：先证 S在创（ 3）其中曲面S由方程z=z（X,y）确定，它的正侧法线方向数为-Zx-Zy,1，方向余弦为cZ cosa cZcos Pcosg,cos 0,COS 7 所以_ cosY 石 _cos?'若S在xy平面上投影区为 Dxy，L在xy平面上的投影曲线记为现由第二类曲线积分定义及格林公式有因为QP(x,y,z)dQ P(P(x, y,z(x,y) yx, y,z(x)dx；:P .:P : z:y: z : y-P(x, y

25、, z(x,y)dxdy 以yP : p ：zP(x,y,z(x, y)dxdy 二- (一一一)dxdy所以d ydy：z :yxyxy:zcos :由于：-ycos 从而:P :z)dxdy:z :y沪一 -y n sdx一 ePcoss :y.P:zcosdxdycoscos1 -)dSPcos:z；:P；:pdzdx ' dxdyS z:y综合上述结果，便得所要证明的（3）式。同样对于曲面S表示x=x(y,x)和y=y(z,x)时，可得dxdy s ：:x:Q.:zdydz = Qdy(4)口型 dydz-空 dydz = Rds(5)S ；：xjzL将(3)、(4)、( 5)三式相加即得斯托克斯公式(2)。如果曲线S不能以z=z(x，y)的形式给出，则用一些光滑曲线把 S分割为若干小块, 使每一小块能和这种形式表示，因而这时斯托克斯公式也能成立。为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：dydzdzdx:yQdxdy:zRJ Pdx +Qdy +