算法的时间复杂度

1、时间复杂度：如果一个问题的规模是 n ，解这一问题的某一算法所需要的时间为 T(n) ，它是 n 的某一函数， T(n) 称为这一算法的 “时间复杂度 ”。渐近时间复杂度： 当输入量 n 逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的 “渐近时间复杂度 ”。当我们评价一个算法的时间性能时， 主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度 T(n)=O(f(n) 简称为时间复杂度， 其中的 f(n) 一般是算法中频度最大的语句频度。此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关， 还与输入实例中各元素的取值相关。 但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度

2、。 以保证算法的运行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1) 、对数阶 O(log2n) 、线性阶 O(n) 、线性对数阶 O(nlog2n) 、平方阶O(n2)、立方阶 O(n3)、k 次方阶 O(nk)、指数阶 O(2n)。下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。1 、设 三 个函 数f,g,h分 别为f(n)=100n3+n2+1000,g(n)=25n3+5000n2 , h(n)=n1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：（ 1 ） f(n)=O(g(n)（ 2 ） g(n)=O(f(n)（ 3 ） h(n)=O(n1.5)

3、（ 4 ） h(n)=O(nlgn)这 里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)，这里的O 是数学符号，它的严格定义是 若 T(n) 和 f(n) 是定义在正整数集合上的两个函数，则 T(n)=O(f(n)表示存在正的常数C 和 n0 ,使得当 n n0 时都满足 0 T(n) C?f(n) 。 用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量 n 趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于 0 的常 数。这么一来，就好计算了吧。 (1) 成立。题中由于两个函数的最高次项都是n3,因此当 n 时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 （2 ）成立。与上同理。 （3 ）成立

4、。与上同理。 （4 ）不成立。由于当 n 时 n1.5 比 nlgn 递增的快，所以 h(n) 与 nlgn 的比值不是常数，故不成立。2 、设 n 为正整数，利用大 O 记号，将下列程序段的执行时间表示为 n 的函数。(1) i=1; k=0 while(i1while (x=(y+1)*(y+1)y+;解答： T(n)=n1/2循环的次数是 n1/2，T(n)=O(n1/2) ， 最坏的情况是 y=0 次，这是一个按平方根阶递增的函数。，那么(3) x=91; y=100;while(y0)if(x100)x=x-10;y-;else x+;解答：T(n)=O(1)， 这个程序看起来有点吓

5、人，总共循环运行了1000次，但是我们看到 n 没有 ? 没。这段程序的运行是和n 无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1 ，该程序段的执行时间是一个与问题规模 n 无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶， 记作 T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n 的增加而增长，即使算法中有上千条语句， 其执行时间也不过是一个较大的常数。 此类算法的时间复杂度是 O(1) 。O(n2)2.1.交换 i 和 j 的内容sum=0；（一次）for(i=1;i=n;i+)（n 次 ）for(j=1;j

6、=n;j+)（n2次 ）sum+；（n2次 ）解： T(n)=2n2+n+1 =O(n2)2.2.for (i=1;in;i+)y=y+1;for (j=0;j=(2*n);j+)x+;解： 语句 1 的频度是 n-1语句 2 的频度是 (n-1)*(2n+1)=2n2-n-1f(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2该程序的时间复杂度T(n)=O(n2).O(n)2.3.a=0;b=1;for (i=2;i=n;i+)s=a+b;b=a;a=s;解： 语句 1 的频度： 2,语句 2 的频度：n,语句 3 的频度：n-1,语句 4 的频度： n-1,语句 5 的频度： n-1,T(n)

7、=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(log2n )2.4.i=1;while (i=n)i=i*2;解： 语句 1 的频度是 1,设语句 2 的频度是 f(n),则：2f(n)=n;f(n)=log2n取最大值 f(n)= log2n,T(n)=O(log2n )O(n3)2.5.for(i=0;in;i+)for(j=0;ji;j+)for(k=0;kj;k+)x=x+2;解：当 i=m, j=k的时候 , 内层循环的次数为k 当 i=m时, j可以取0,1,.,m-1 ,所以这里最内循环共进行了0+1+.+m-1=(m-1)m/2次所以 ,i 从 0 取到 n, 则循环共进行了

8、 :0+(1-1)*1/2+.+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为 O(n3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。 如快速排序的最坏情况运行时间是 O(n2) ，但期望时间是 O(nlogn) 。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 ( 即 O(n2) 情况 ) 的概率减小到几乎等于 0 。在实际中， 精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn) 时间运行。下面是一些常用的记法：访问数组中的元素是常数时间操作， 或说 O(1) 操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素， 如二分检索，通常它就取 O(logn) 时间。用 strcm

9、p 比较两个具有 n 个字符的串需要 O(n) 时间 。常规的矩阵乘算法是 O(n3) ，因为算出每个元素都需要将n 对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是 n2 。指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n 个元 素的集合共有 2n 个子集 , 所以要求出所有子集的算法将是O(2n) 的 。指数算法一般说来是太复杂了，除非 n 的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。 不幸的是，确实有许多问题 ( 如著名 的“巡回售货员问题 ” ，)到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。一个经验规则有如下复杂度