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文档简介
1、第五章第五章逻辑代数基础逻辑代数基础(1)进位制:表示数时,仅用一位数码往往不够用,)进位制:表示数时,仅用一位数码往往不够用,必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制,简称进位制。计数制,简称进位制。(2)基)基 数:进位制的基数,就是在该进位制中可数:进位制的基数,就是在该进位制中可能用到的数码个数。能用到的数码个数。(3) 位位 权(位的权数):在某一进位制的数中,权(位的权数):在某一进位制的数中,每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定每一
2、位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数,这个固定的数就是这一位的权数。权数是一的数,这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。个幂。数码为:数码为:09;基数是;基数是10。 Decimal:十进制:十进制运算规律:逢十进一,即:运算规律:逢十进一,即:9110。十进制数的权展开式:十进制数的权展开式:5 10 3 5 0 0 05 10 2 5 0 05 10 1 5 05 10 0 5 5 5 5 5103、102、101、100称为十进制的权。各称为十进制的权。各数位的权是数位的权是10的幂。的幂。同样的数码在不同的数同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。位上代表的数值不同。任
3、意一个十进制数都任意一个十进制数都可以表示为各个数位可以表示为各个数位上的数码与其对应的上的数码与其对应的权的乘积之和,称权权的乘积之和,称权展开式。展开式。即:即:( 5555 )D5103 510251015100又如:又如:(209.04)10 2102 01019100010-14 10-2数码为:数码为:0、1;基数是;基数是2。 Binary:二进制:二进制运算规律:逢二进一,即:运算规律:逢二进一,即:1110。二进制数的权展开式:二进制数的权展开式:(101.01)B1220211200211 22 (5.25)10加法规则:加法规则:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1
4、=10乘法规则:乘法规则:00=0, 01=0 , 10=0, 11=1运算运算规则规则各数位的权是的幂各数位的权是的幂二进制数只有二进制数只有0和和1两个数码,它的每一位都可以用电子元件来两个数码,它的每一位都可以用电子元件来实现,且运算规则简单,相应的运算电路也容易实现。实现,且运算规则简单,相应的运算电路也容易实现。数码为:数码为:07;基数是;基数是8。 Octal:八进制:八进制运算规律:逢八进一,即:运算规律:逢八进一,即:7110。八进制数的权展开式:八进制数的权展开式:(207.04)82820817800814 82 (135.0625)10各数位的权是各数位的权是8的幂的幂
5、数码为:数码为:09、AF;基数是;基数是16。 Hexadecimal:十六进制:十六进制运算规律:逢十六进一,即:运算规律:逢十六进一,即:F110。十六进制数的权展开式:十六进制数的权展开式:如:如:(D8.A)H 13161 816010 161(216.625)10各数位的权是各数位的权是16的幂的幂 一般地,一般地,N进制需要用到进制需要用到N个数码,基数是个数码,基数是N;运算规律为逢运算规律为逢N进一。进一。 如果一个如果一个N进制数进制数M包含位整数和位小数,包含位整数和位小数,即即 (an-1 an-2 a1 a0 . a-1 a-2 a-m)N则该数的权展开式为:则该数的
6、权展开式为:(M)N an-1Nn-1 an-2 Nn-2 a1N1 a0 N0a-1 N-1a-2 N-2 a-mN-m 由权展开式很容易将一个由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制进制数转换为十进制数。数。(1)二进制数转换为八进制数:)二进制数转换为八进制数: 将二进制数由小数点开始,将二进制数由小数点开始,整数部分向左,小数部分向右,每整数部分向左,小数部分向右,每3位分成一组,不够位分成一组,不够3位位补零,则每组二进制数便是一位八进制数。补零,则每组二进制数便是一位八进制数。将将N进制数按权展开,即可以转换为十进制数。进制数按权展开,即可以转换为十进制数。1 1 0 1 0 1
7、 0 . 0 10 00 (152.2)8(2)八进制数转换为二进制数:将每位八进制数用)八进制数转换为二进制数:将每位八进制数用3位二进位二进制数表示制数表示。= 011 111 100 . 010 110(374.26)81 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 10 0 00 (1D4.6)16= 1010 1111 0100 . 0111 0110(AF4.76)16 二进制数与十六进制数的相互转换,按照每二进制数与十六进制数的相互转换,按照每4位二进制位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。数对应于一位十六进制数进行转换。采用的方法采用的方法 基数连除、连乘法基数连除、连乘法原
8、理:原理:将将整数整数部分和部分和小数小数部分部分分别分别进行转换。进行转换。整数部分采用基数连除法;整数部分采用基数连除法;小数部分采用基数连乘法;小数部分采用基数连乘法;转换后再合并。转换后再合并。采用基数连除、连乘法,可将十进制数转换为任意采用基数连除、连乘法,可将十进制数转换为任意的的N进制数。进制数。 0.375 2 整整数数 0.750 0=K1 0.750 2 1.500 1=K2 0.500 2 1.000 1=K3 0.000 整数部分采用基数连除法,整数部分采用基数连除法,先得到的余数为低位,后得先得到的余数为低位,后得到的余数为高位。到的余数为高位。小数部分采用基数连乘法
9、,小数部分采用基数连乘法,先得到的整数为高位,后得先得到的整数为高位,后得到的整数为低位。到的整数为低位。所以:所以:(0.375)10(0.011)2225 余余1 K0122 余余0 K162 余余0 K232 余余1 K312 余余1 K40(25)D=(11001)B 用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。符号等信息称为编码。 用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。数的二进制数称为代码。 数字系统只能识别数字系统只能识别0和和1,怎样才能表示更多
10、的数码,怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢?用编码可以解决此问题。、符号、字母呢?用编码可以解决此问题。 二二 十进制代码:用十进制代码:用4位二进制数位二进制数b3b2b1b0来表示来表示十进制数中的十进制数中的 0 9 十个数码。简称十个数码。简称BCD码。码。 8421码的权值依次为码的权值依次为8、4、2、1; 余余3码由码由8421码加码加0011得到;得到; 格雷码是一种循环码,其特点是任何相邻的两个码字,格雷码是一种循环码,其特点是任何相邻的两个码字,仅有一位代码不同,其它位相同。仅有一位代码不同,其它位相同。用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码,用四位自然二进制码
11、中的前十个码字来表示十进制数码,因各位的权值依次为因各位的权值依次为8、4、2、1,故称,故称8421 BCD码。码。日常生活中使用十进制,但在计算机中基本上日常生活中使用十进制,但在计算机中基本上使用二进制,有时也使用八进制或十六进制。利用使用二进制,有时也使用八进制或十六进制。利用权展开式可将任意进制数转换为十进制数。将十进权展开式可将任意进制数转换为十进制数。将十进制数转换为其它进制数时,整数部分采用基数除法,制数转换为其它进制数时,整数部分采用基数除法,小数部分采用基数乘法。利用小数部分采用基数乘法。利用1位八进制数由位八进制数由3位二位二进制数构成,进制数构成,1位十六进制数由位十六
12、进制数由4位二进制数构成,位二进制数构成,可以实现二进制数与八进制数以及二进制数与十六可以实现二进制数与八进制数以及二进制数与十六进制数之间的相互转换。进制数之间的相互转换。二进制代码不仅可以表示数值,而且可以表示二进制代码不仅可以表示数值,而且可以表示符号及文字,使信息交换灵活方便。符号及文字,使信息交换灵活方便。BCD码是用码是用4位二进制代码代表位二进制代码代表1位十进制数的编码,有多种位十进制数的编码,有多种BCD码形式,最常用的是码形式,最常用的是8421 BCD码。码。事物往往存在两种对立的状态,在逻辑代数中可以抽象地事物往往存在两种对立的状态,在逻辑代数中可以抽象地表示为表示为
13、0 和和 1 ,称为逻辑,称为逻辑0状态和逻辑状态和逻辑1状态。状态。逻辑函数是按一定的逻辑关系进行运算的函数,是分析和逻辑函数是按一定的逻辑关系进行运算的函数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数中,只有设计数字电路的数学工具。在逻辑代数中,只有和和两种逻两种逻辑值,有辑值,有三种基本逻辑运算,还有三种基本逻辑运算,还有几种导出逻辑运算。几种导出逻辑运算。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量,用大写字母表示。逻辑逻辑代数中的变量称为逻辑变量,用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种,即逻辑变量的取值只有两种,即逻辑0和逻辑和逻辑1,0 和和 1 称为逻辑常量,称为逻辑常量,并不表示数量的大小,
14、而是表示两种对立的逻辑状态。并不表示数量的大小,而是表示两种对立的逻辑状态。逻辑是指事物的因果关系,或者说条件和结果的关系,这逻辑是指事物的因果关系,或者说条件和结果的关系,这些因果关系可以用逻辑运算来表示,也就是用逻辑代数来描述。些因果关系可以用逻辑运算来表示,也就是用逻辑代数来描述。 与逻辑的定义:仅当决定事件(与逻辑的定义:仅当决定事件(Y)发生的所有)发生的所有条件(条件(A,B,C,)均满足时,事件()均满足时,事件(Y)才能发)才能发生。表达式为:生。表达式为:开关开关A,B串联控制灯泡串联控制灯泡Y电路图L=ABEABYEABYEABYEABYEABY两个开关必须同时接通,两个开
15、关必须同时接通,灯才亮。逻辑表达式为:灯才亮。逻辑表达式为:A、B都断开,灯不亮。都断开,灯不亮。A断开、断开、B接通,灯不亮。接通,灯不亮。A接通、接通、B断开,灯不亮。断开,灯不亮。A、B都接通,灯亮。都接通,灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做结果一一列出来的表格叫做真值表真值表。将开关接通记作将开关接通记作1,断开记作,断开记作0;灯亮;灯亮记作记作1,灯灭记作,灯灭记作0。可以作出如下表。可以作出如下表格来描述与逻辑关系:格来描述与逻辑关系:A BY0 00 11 01 10001开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭
16、合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表功能表实现与逻辑的电路实现与逻辑的电路称为与门。与门的称为与门。与门的YAB&真真值值表表或逻辑的定义:当决定事件(或逻辑的定义:当决定事件(Y)发生的各种条)发生的各种条件(件(A,B,C,)中,中,只要有一个或多个条件具备,只要有一个或多个条件具备,事件(事件(Y)就发生。表达式为:)就发生。表达式为:开关开关A,B并联控制灯泡并联控制灯泡Y电路图L=ABEABYEABYEABY两个开关只要有一个接通,两个开关只要有一个接通,灯就会亮。逻辑表达式为:灯就会亮。逻辑表达式为:A、B都断开,灯不亮。都断开,灯不亮。A断开、断开、B接通,灯亮。接通,灯亮。A接通、
17、接通、B断开,灯亮。断开,灯亮。A、B都接通,灯亮。都接通,灯亮。EABYEABYA BY0 00 11 01 10111 实现或逻辑的电路实现或逻辑的电路称为或门。或门的称为或门。或门的真值表真值表开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭亮亮亮功能表功能表非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件(非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件(Y)发)发生的条件(生的条件(A)满足时,事件不发生;条件不满足,)满足时,事件不发生;条件不满足,事件反而发生。表达式为:事件反而发生。表达式为:开关开关A控制灯泡控制灯泡Y电路图EAYRAY0110实现非逻辑的电路实现非逻辑的电路称为非门。
18、非门的称为非门。非门的YA1EAYRA断开,灯亮。断开,灯亮。EAYRA接通,灯灭。接通,灯灭。真真值值表表功功能能表表开关 A灯 Y断开闭合亮灭(1)与非运算:逻辑表达式为:)与非运算:逻辑表达式为:ABY A BY0 00 11 01 11110 真值表YAB与非门的逻辑符号L=A+B&(2)或非运算:逻辑表达式为:)或非运算:逻辑表达式为:BAYA BY0 00 11 01 11000 真值表YAB或非门的逻辑符号L=A+B1(3)异或运算:逻辑表达式为:)异或运算:逻辑表达式为:BABABAYA BY0 00 11 01 10110 真值表YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1CDABY
19、Y1&ABCD与或非门的逻辑符号ABCD&1Y与或非门的等效电路(4) 与或非运算:逻辑表达式为:与或非运算:逻辑表达式为:基本逻辑关系小结基本逻辑关系小结 (1)逻辑表达式:由逻辑变量和与、或、非)逻辑表达式:由逻辑变量和与、或、非3种运算符种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中,等式右边的字母连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中,等式右边的字母A、B、C、D等称为等称为输入逻辑变量输入逻辑变量,等式左边的字母,等式左边的字母Y称为称为输出逻辑变量输出逻辑变量,字母上面没有非运算符的叫做,字母上面没有非运算符的叫做原变量原变量,有非,有非运算符的叫做运算符的叫做反变量反变量。 (2)逻
20、辑函数:如果对应于输入逻辑变量)逻辑函数:如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值,输出逻辑变量的每一组确定值,输出逻辑变量Y就有唯一确定的值,就有唯一确定的值,则称则称Y是是A、B、C、的逻辑函数。记为的逻辑函数。记为),(CBAfY :与普通代数不同的是,在逻辑代数中,不管是变:与普通代数不同的是,在逻辑代数中,不管是变量还是函数,其取值都只能是量还是函数,其取值都只能是0或或1,并且这里的,并且这里的0和和1只表示只表示两种不同的状态,没有数量的含义。两种不同的状态,没有数量的含义。(3)逻辑函数相等的概念:设有两个逻辑函数)逻辑函数相等的概念:设有两个逻辑函数),( ),(21
21、CBAgYCBAfY它们的变量都是它们的变量都是A、B、C、,如果对应于变量,如果对应于变量A、B、C、的任何一组变量取值,的任何一组变量取值,Y1和和Y2的值都相同,则称的值都相同,则称Y1和和Y2是相等的,记为是相等的,记为Y1=Y2。若两个逻辑函数相等,则它们的真值表一定相同;反之,若两个逻辑函数相等,则它们的真值表一定相同;反之,若两个函数的真值表完全相同,则这两个函数一定相等。因此,若两个函数的真值表完全相同,则这两个函数一定相等。因此,要证明两个逻辑函数是否相等,只要分别列出它们的真值表,要证明两个逻辑函数是否相等,只要分别列出它们的真值表,看看它们的真值表是否相同即可。看看它们的
22、真值表是否相同即可。A BABABA BA+B0 00 11 01 1000111101 11 00 10 01110BAAB证明等式:证明等式:1.1.基本概念基本概念 正逻辑正逻辑:用高电平表示逻辑:用高电平表示逻辑1 1,低电平表示逻辑,低电平表示逻辑0 0。负逻辑负逻辑:用高电平表示逻辑:用高电平表示逻辑0,低电平表示逻辑,低电平表示逻辑1。2.2.正逻辑与负逻辑的关系正逻辑与负逻辑的关系 v按正逻辑规定按正逻辑规定:可得到表:可得到表5-4所示真值表,由真值所示真值表,由真值表可知,该电路是一个正逻辑的表可知,该电路是一个正逻辑的与与门;门;v按负逻辑规定按负逻辑规定:可得到表:可得
23、到表55所示真值表,由真所示真值表,由真值表可知,该电路是一个负逻辑的值表可知,该电路是一个负逻辑的或或门。门。 即即正逻辑与门等价于负逻辑或门正逻辑与门等价于负逻辑或门。 v前面讨论各种逻辑门电路时,都是按照正逻辑规前面讨论各种逻辑门电路时,都是按照正逻辑规定来定义其逻辑功能的。在本课程中,若无特殊定来定义其逻辑功能的。在本课程中,若无特殊说明,约定按正逻辑讨论问题,所有门电路的符说明,约定按正逻辑讨论问题,所有门电路的符号均按正逻辑表示。号均按正逻辑表示。布尔代数:布尔代数: 逻辑代数最初是由英国数学家布尔(逻辑代数最初是由英国数学家布尔(G.Boole)首先提出来的,所以被称为布尔代数。
24、首先提出来的,所以被称为布尔代数。 逻辑代数的变量称为逻辑变量。逻辑代数的变量称为逻辑变量。逻辑变量与一逻辑变量与一般代数变量不同,逻辑变量的取值只有般代数变量不同,逻辑变量的取值只有0和和1,就是,就是说逻辑电路中只有两种逻辑状态。这里的说逻辑电路中只有两种逻辑状态。这里的1和和0可以可以由数字系统中的电平的高低、开关的断通和信号的由数字系统中的电平的高低、开关的断通和信号的有无来表示。有无来表示。 与运算:111 001 010 000(1)基本运算规则)基本运算规则(2)基本定律)基本定律0-1 律:AAAA10 0011AA或运算:111 101 110 000非 运 算 :10 01
25、互补律: 0 1AAAA等幂律:AAAAAA 分别令分别令A=0及及A=1代入这些公式,代入这些公式,即可证明它们的即可证明它们的正确性。正确性。交换律:ABBAABBA结合律:)()()()(CBACBACBACBA分配律:)()()(CABACBACABACBA反 演 律 ( 德 .摩 根 定 律 ) :BABABABA自等律:自等律:A1=A,A+0=A ( A + B )( A + C ) = AA+BA+AC+BC分配率分配率A(B+C)=AB+AC= A+AB+AC+BC等幂率等幂率AA=A= A(1+B+C)+BC分配率分配率A(B+C)=AB+AC= A+BC0-1率率A+1=
26、1证明分配律:证明分配律:A + BC =( A + B )( A + C )证明:证明:例如:例如:已知等式已知等式 ,用函数,用函数Y=AC代替等式中的代替等式中的A,根,根据代入规则,等式仍然成立,即有:据代入规则,等式仍然成立,即有:(1)代入定理代入定理:任何一个含有变量:任何一个含有变量A的等式,如的等式,如果将所有出现果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立,这个规则称为代入规则。等式仍然成立,这个规则称为代入规则。BAABCBABACBAC)((2)反演定理反演定理:对于任何一个逻辑表达式:对于任何一个逻辑表达式Y,如,如果将表
27、达式中的所有果将表达式中的所有“”换成换成“”,“”换成换成“”,“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”,那么所得到的表达式就是,那么所得到的表达式就是函数函数Y的反函数的反函数Y(或称补函数)。这个规则称为反(或称补函数)。这个规则称为反演规则。演规则。EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY例如:例如:反演定理内容:反演定理内容:将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 + 变量与常数均取反变量与常数均取反互补运算互补运算不是一个变量上的反号不动。不是一个变量上的反号不动。注意注意:用处:用处:实现互补运算(求反运算)。实现互补运算(求反运算)。新表达式:新表达式:F显然:显
28、然:FF 变换时,原函数运算的先后顺序不变变换时,原函数运算的先后顺序不变例例1:1() () 1FABCD10FA BC D与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号10FA BC D1FACBCADBD()ABCDE()ABCD E例例2:2FABCDE2FA B C D E与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动2FABCDE2FA BA CA D E (3)对偶定理对偶定理:对于任何一个逻辑表达式:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中的所有如果将表达式中的所有“”换成换成“”,“”换成换成“”,“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”,而,而,则可得到的一个新的函数表达式,
29、则可得到的一个新的函数表达式Y,Y称为函称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如:例如:EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY对偶规则的意义在于对偶规则的意义在于:如果两个函数相等,则它:如果两个函数相等,则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。及要记忆的公式数目减少一半。例如:例如:在运用反演规则和对偶规则时,必须按照:在运用反演规则和对偶规则时,必须按照逻辑运算的优先顺序进行:先算括号,接着与运算,逻辑运算的优先顺序进行:先算括号,接着与运算,然后或运算,
30、最后非运算,否则容易出错。然后或运算,最后非运算,否则容易出错。ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()( 逻辑函数化简的意义:逻辑函数化简的意义:逻辑表达式越简单,实逻辑表达式越简单,实现它的电路越简单,电路工作越稳定可靠。现它的电路越简单,电路工作越稳定可靠。 逻辑代数的基本和常用公式以逻辑代数的基本和常用公式以与与- -或或形式给出,形式给出,下面主要讨论与下面主要讨论与- -或逻辑函数式的化简。或逻辑函数式的化简。 最简的与最简的与- -或函数式,再通过公式变换就可以得或函数式,再通过公式变换就可以得到其他类型的函数式了。究竟应该将函数式变换成到其他类型的函数式了
31、。究竟应该将函数式变换成什么形式,要视所用门电路的功能类型而定。什么形式,要视所用门电路的功能类型而定。 但必须注意,将最简与但必须注意,将最简与- -或函数式直接变换为其或函数式直接变换为其他类型的逻辑式时,得到的结果不一定是最简的;他类型的逻辑式时,得到的结果不一定是最简的;同时,在逻辑设计中,最简的表达式不一定能得到同时,在逻辑设计中,最简的表达式不一定能得到最简的电路。最简的电路。 逻辑函数的逻辑函数的公式化简法公式化简法就是运用逻辑代数的基就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。本公式、定理和规则来化简逻辑函数。利用公式利用公式1,将两项合并为一项,并消去一,将两项合并
32、为一项,并消去一个变量。个变量。BCCBCBBCCBBCAACBBCAABCY)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY)()(2若两个乘积项中分别若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量包含同一个因子的原变量和反变量,而其他因子都和反变量,而其他因子都相同时,则这两项可以合相同时,则这两项可以合并成一项,并消去互为反并成一项,并消去互为反变量的因子。变量的因子。运用摩根定律运用摩根定律运用分配律运用分配律运用分配律运用分配律BAFEBCDABAY)(12()()YABCDADBABCDADBAADBBCDAB如果乘积项是另如果乘积项是另外一个乘积项的因子,外一个乘积项的因
33、子,则这另外一个乘积项则这另外一个乘积项是多余的。是多余的。运用摩根定律运用摩根定律()利用公式,消去多余的项。()利用公式,消去多余的项。()利用公式()利用公式+,消去多余的变量。,消去多余的变量。()YABACBCABAB CABABCABCDCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAY)()(如果一个乘积项的如果一个乘积项的反是另一个乘积项的反是另一个乘积项的因子,则这个因子是因子,则这个因子是多余的。多余的。()利用公式(),为某一项配上其()利用公式(),为某一项配上其所缺的变量,以便用其它方法进行化简。所缺的变量,以便用其它方法进行化简。CACBBABBCAA
34、CBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()1 ()1 ()()(()利用公式,为某项配上其所能合并()利用公式,为某项配上其所能合并的项。的项。BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY)()()(利用冗余律,将冗余利用冗余律,将冗余项消去。项消去。DCACBAADEDCACBADCADEACBAY)(1CBABFGDEACCBABY)(2在化简更复杂一些的逻辑函数时,往往需要综合运在化简更复杂一些的逻辑函数时,往往需要综合运用各种方法进行化简。用各种方法进行化简。 () ()() YABCABCABCABDACD
35、ACDEABCABCABCABCAD BCACDEAB CCAA BCAD BCACDEABBCAD BCACDEABBCADACDEABBCAD例例1:例例2:化简函数化简函数()()()()()YB D B D A G C E C G A E G 解解:先求出先求出Y的对偶函数的对偶函数Y,并对其进行化简。,并对其进行化简。YBDBDAGCECGAEGBDCECG 求求Y的对偶函数,便得的最简或与表达式。的对偶函数,便得的最简或与表达式。)()(GCECDBY例例3:()()()FABCABCABCABCAB CCABCABA BCBA CBACAB反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出
36、提出A() ABAC BBB C例例4: FABA B BCB C ( )ABA BBCB C()反演反演 () () ABA B CCBC AAB C配项配项 ABA BCA B CABCABCB C被吸收被吸收被吸收被吸收 ABACB C结论:结论:异或门可以用异或门可以用4个与非门实现。个与非门实现。例例5:证明证明YABABABA A B B A BA A BB A B右边AB=A+BA A BB A B()()AABBABA AA BB AB B00A BB AA BB A 右边AA展开展开A BA B 证明:证明:例例6:化简为最简逻辑代数式化简为最简逻辑代数式YABCABCABC
37、ABCABCYABCABCABCABCABC()()AB CCABCAB CCABABCAB()AA BABCBABCBAC解:解:例例7:将将Y化简为最简逻辑代数式。化简为最简逻辑代数式。 ;利用反演定理利用反演定理;利用公式利用公式A+AB=A+B;A=A()YABAB CD()YABAB CD()ABAB CDABABCDABCD解:解:(1)与或表达式:ACBAY(2)或与表达式:Y)(CABA(3)与非-与非表达式:Y ACBA(4)或非-或非表达式:YCABA(5)与或非表达式:YCABA一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表
38、达式、与非与非-与非表达式、或非与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式或非表达式、与或非表达式5种表种表示形式。示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同,但逻辑功能是相同的。逻辑函数表达式的各种表示形式不同,但逻辑功能是相同的。(1)(1)最简与或表达式最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。与或表达式。CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最简与或表达式最简与或表达式(2)(2)最简与非最简与非与非表达式与非表
39、达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非最少的与非与非表达式。与非表达式。CABACABACABAY在最简与或表达式的基础上两次取反在最简与或表达式的基础上两次取反用摩根定律去用摩根定律去掉下面的非号掉下面的非号(3)最简或与表达式最简或与表达式 括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。或与表达式。CABAYACBACBACBACABACABAY)()(CABAY求出反函数的求出反函数的最简与或表达式最简与或表达式利用反演规则写出函利用反演规则写出函数的最简或与表达式数的最简或与表
40、达式(4)最简或非最简或非或非表达式或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非的或非或非表达式。或非表达式。CABACABACABACABAY)()(求最简或非求最简或非-或非或非表达式表达式两次取反两次取反用摩根定律去用摩根定律去掉下面的非号掉下面的非号(5)最简与或非表达式最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。相乘的变量也最少的与或非表达式。ACBACABACABAY求最简或非求最简或非-或非表达式或非表达式用摩根定律用摩根定律去掉大非号下
41、去掉大非号下面的非号面的非号(1)最小项最小项:如果一个函数的某个乘积项包含了函:如果一个函数的某个乘积项包含了函数的数的全部变量全部变量,其中每个变量都以,其中每个变量都以原变量原变量或或反变量反变量的的形式出现,且形式出现,且仅仅出现一次出现一次,则这个乘积项称为该函数,则这个乘积项称为该函数的一个标准积项,通常称为最小项。的一个标准积项,通常称为最小项。3个变量个变量A、B、C可组成可组成8个最小项:个最小项:ABCCABCBACBABCACBACBACBA、(2)最小项的表示方法最小项的表示方法:通常用符号:通常用符号 mi 来表示最小来表示最小项。下标项。下标 i 的确定:把最小项中
42、的原变量记为的确定:把最小项中的原变量记为1,反,反变量记为变量记为0,当变量顺序确定后,可以按顺序排列成,当变量顺序确定后,可以按顺序排列成一个二进制数,则与这个二进制数相对应的十进制数,一个二进制数,则与这个二进制数相对应的十进制数,就是这个最小项的下标就是这个最小项的下标i。3个变量个变量A、B、C的的8个最小项可以分别表示为:个最小项可以分别表示为:ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、(3)最最小小项项的的性性质质:任意一个最小项,只有一组变量取值使其值为任意一个最小项,只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。A
43、BCABC任意两个不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的乘积必为0。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和,称为任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和,称为标准与或表达式,也称为最小项表达式。标准与或表达式,也称为最小项表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式,可利用公式对于不是最小项表达式的与或表达式,可利用公式AA1 和和A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表达式。来配项展开成最小项表达式。)7 , 3 , 2 , 1 , 0()()(73210mmmmmmABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY(4)逻辑函数
44、的最小项表达式)逻辑函数的最小项表达式如果列出如果列出了函数的真值了函数的真值表,则表,则只要将只要将函数值为函数值为 1 的的那些最小项相那些最小项相加加,便是函数,便是函数的的最小项表达最小项表达式式。A B CY最小项0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101100m0m1m2m3m4m5m6m7m1ABCm5ABCm4ABCm2ABCCBACBACBACBAmmmmmY)5 ,4,2, 1(5421将真值表中将真值表中函数值为函数值为0的那些的那些最小项相加最小项相加,便可得到,便可得到反函反函数数的最小项表达式。的最小项表达式。逻辑相邻
45、:逻辑相邻:若两个最若两个最小项只有一个变量以小项只有一个变量以原、反区别,其他变原、反区别,其他变量均相同,则称这两量均相同,则称这两个最小项逻辑相邻。个最小项逻辑相邻。 A BCABC例:与逻辑相邻; A BCABC与不是逻辑相邻。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABCABCCBACBACBACBAF 逻辑相邻逻辑相邻CBCBACBA 逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并,消去一个因子合并,消去一个因子逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡
46、诺图来逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示,利用卡诺图来化简逻辑函数。表示,利用卡诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式,并且式,并且使使,这样构成的图形就是卡诺图。,这样构成的图形就是卡诺图。逻辑变量的卡诺图:逻辑变量的卡诺图:卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。(相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反相邻的。(相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量,其余因子均相同,又称为逻辑相邻项)。变量,其余因子均相同,又称为逻辑相邻项)。 A B010m0m21
47、m1m3 ABC000111100m0m2m6m41m1m3m7m5 2 变量卡诺图 3 变量卡诺图每个每个2变量的最小变量的最小项有两个最小项项有两个最小项与它相邻与它相邻每个每个3变量的最变量的最小项有小项有3个最小个最小项与它相邻项与它相邻 ABCD0001111000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m10 4 变量卡诺图每个每个4变量的最小项有变量的最小项有4个最小项与它相邻个最小项与它相邻最左列的最小项与最左列的最小项与最右列的相应最小最右列的相应最小项也是相邻的项也是相邻的最上面一行的最小最上面一行的最小项与最下面一行的项与最下面一
48、行的相应最小项也是相相应最小项也是相邻的邻的个相邻最小项可以合并消去一个变量;依次类推个相邻最个相邻最小项可以合并消去一个变量;依次类推个相邻最小项可以合并,消去两个变量;个相邻最小项可以合并,消小项可以合并,消去两个变量;个相邻最小项可以合并,消去三个变量。去三个变量。 ABC DAB C DAC D逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并1、逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出:在、逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出:在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入内填入1,其余的方格内填入,
49、其余的方格内填入0。 ABCD00011110000100011000111111100110)15,14,11, 7 , 6 , 4 , 3 , 1 (),(mDCBAYm1m3m4m6m7m11m14m152、逻辑函数以一般的逻辑表达式给出:先将函数变、逻辑函数以一般的逻辑表达式给出:先将函数变换为与或表达式(不必变换为最小项之和的形式),换为与或表达式(不必变换为最小项之和的形式),然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项(该乘积项就是这些最小项的公因子)相对应的方格(该乘积项就是这些最小项的公因子)相对应的方格内填入内填入1,其余的方
50、格内填入,其余的方格内填入0。)(CBDAYCBDAY ABC D00011110001100010000111001101101变换为与变换为与或表达式或表达式的公因子的公因子的公因子说明说明:如果求得了:如果求得了函数的反函数,则函数的反函数,则对中所包含的各个最对中所包含的各个最小项,在卡诺图相应方小项,在卡诺图相应方格内填入格内填入0,其余方格内,其余方格内填入填入1。 A BC D0 00 11 11 00 001000 100011 100011 00100 任何两个(任何两个(21个)标个)标1的相邻最小项,可以合并为一项,并的相邻最小项,可以合并为一项,并消去一个变量(消去互为
51、反变量的因子,保留公因子)。消去一个变量(消去互为反变量的因子,保留公因子)。 A B C0 00 11 11 00100110110CBACBA ABCABC ABCDABCDCDBADCBACBBCDBADBA3、卡诺图的化简、卡诺图的化简 ABC D00011110000100011111110110100100 任何任何4个(个(22个)标个)标1的相邻最小项,可以合并为一项,并消的相邻最小项,可以合并为一项,并消去去2个变量。个变量。 A B C0 00 11 11 00111110110CCBAABBABACBACABCBACBA)(BBACCACACAABCCABBCACBA)(
52、BADC ABC D00011110001001010110110110101001 ABC D00011110000110011001111001100110 ABC D00011110000000011111111111100000 A BC D0 00 11 11 00 010010 110011 110011 01001 任何任何8个(个(23个)标个)标1的相邻最小项,的相邻最小项,可以合并为一项,并消去可以合并为一项,并消去3个变量。个变量。4、图形法化简的基本步骤、图形法化简的基本步骤逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图)15,13,12,11, 8 , 7 , 5
53、, 3(),(mDCBAY A BC D0 00 11 11 00 000110 101101 111111 00000 1 1 合并最小项合并最小项圈越大越好,但每个圈圈越大越好,但每个圈中标的方格数目必须为中标的方格数目必须为 个。个。同一个方格可同同一个方格可同时画在几个圈内,但每个时画在几个圈内,但每个圈都要有新的方格,否则圈都要有新的方格,否则它就是多余的。它就是多余的。不能漏不能漏掉任何一个标的方格。掉任何一个标的方格。i2最简与或表达式最简与或表达式 A BC D0 00 11 11 00 000110 101101 111111 00000DCACDBDDCBAY ),(冗余项
54、冗余项 2 2 3 3 将代表每个圈将代表每个圈的乘积项相加的乘积项相加 ABC D00011110 ABC D00011110001101001101010111010111110011110011100000100000 在有些情况下,最小项的圈法不只一种,得到的各个在有些情况下,最小项的圈法不只一种,得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同,哪个是最简的,要经过比乘积项组成的与或表达式各不相同,哪个是最简的,要经过比较、检查才能确定。较、检查才能确定。不是最简不是最简最简最简 ABCD00011110 ABCD000111100011000011000111100111101100101
55、10010101010101010 在有些情况下,不同圈法得到的与或表达式都是最简在有些情况下,不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。逻辑函数的化简有公式法和图形法等。逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简,这种方法适用于各种复则来对逻辑函数化简,这种方法适用于各种复杂的逻辑函数,但需要熟练地运用公式和定理,杂的逻辑函数,但需要熟练地运用公式和定理,且具有一定的运算技巧。且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函
56、图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简,这种方法简单直观,容易掌握,但变数化简,这种方法简单直观,容易掌握,但变量太多时卡诺图太复杂,图形法已不适用。在量太多时卡诺图太复杂,图形法已不适用。在对逻辑函数化简时,充分利用随意项可以得到对逻辑函数化简时,充分利用随意项可以得到十分简单的结果。十分简单的结果。约束项:约束项:不会出现的变量取值所对应的最小项叫做不会出现的变量取值所对应的最小项叫做约束项。也叫做无关项。约束项。也叫做无关项。约束:约束:用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约关系的一个重要概念。关系的一个重要概念。d)5 , 3 , 1 (0)5
57、 , 3 , 1 (0CBABCACBA或或0=CB+CA最小项之和表达式最小项之和表达式 最简与或表达式最简与或表达式 例如:判断一位十进制数是否为偶数。例如:判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说说 明明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A
58、B C D输入变量输入变量A,B,C,D取值为取值为00001001时,逻辑函数时,逻辑函数Y有确定的值,根有确定的值,根据题意,偶数时为据题意,偶数时为1,奇数时为,奇数时为0。A,B,C,D取值为取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现,对应的情况不会出现或不允许出现,对应的最小项属于约束项。用符号的最小项属于约束项。用符号“”、“”或或“d”表示。表示。0)15,14,13,12,11,10(d 含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式:含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式:)15,14,13,12,11,10()8 , 6 , 4 , 2 , 0(),(dmDCBAF( , ,)(0,2,4,6,8)Y A B C Dm 在逻辑函数的化简中,充分利用约束项可以得到更加简单在逻辑函数的化简中,充分利用约束项可以得到更加简单的逻辑表达式,因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程的逻辑表达式,因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中,约束项的取值可视具体情况取中,约束项的取值可视具体情况取0或取或取1。具体地讲,如果约。具体地讲,如果约束项对化简有利,则取束项对化简有利
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