第六章不定积分-宁夏大学资料

1、归纳法”教案实例第六章 不 定 积 分§6.3 换元积分法一、本次课教学内容 第一换元法（凑微分法）二、教学重点及难点1、 重点：凑微分法的理解及利用凑微分法计算某些类型函数 的不定积分的积分技巧2、 难点： 计算被积函数为三角函数的不定积分（其中涉及 到恒等变形和三角公式的灵活运用）三、教学目的： 通过本节的学习，使学生熟悉某些类型函数的凑微分方式，凑微 分法重点在于“凑微分” ，通过例题及练习，使学生增加对凑微分法感 性认识的基础上，熟练掌握凑微分的技巧，从而能够熟练计算这类不 定积分 .四、教学内容： 今天，我们讲换元积分法，在讲新课之前，我们先把上一节课的内容作一个简单的回顾

2、：上一节课，我们主要讲了原函数和不定积分的定义、不定积分 的性质、基本积分公式及直接积分法，原函数的定义简单地说就是如果 F (x)二f(x)或者dF(x)二f(x)dx 则F(x)称为f(x)在区间D上的一个原函数。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)有无穷多个原函数且 F(x)+C是f (x)的全体原函数的全体原函数称为f(x)的不定积分的不定积分表示一族积分曲线不定积分有三个性质基本积分公式表非常重要，不论是简单函数还是复杂的函数求不 定积分的基本出发点是化为最简形式，能直接利用积分公式求出不定 积分直接积分法是最简单的积分方法有了以上的内容作基础，我们就可以来研究一些较为复杂

3、的函数 的不定积分的计算方法了，首先，我要给大家介绍的是第一换元法：一、第一换元法：第一换元法，也称为凑微分法，这种方法可以说是所有积分方法 中最基本、最有效的一种方法，因为我们后面所讲到的其他方法求积 分时，如第二换元法、分部积分法、有理函数积分法等等都或多或少地会用到第一换元法(凑微分法)。下面我们就来看一看凑微分法在具体问题中是如何运作的。首先我们先来看几个例子：cos5xdxdx.-2x,e d x这几个例子有什么特别这处呢？就是因为它们看似简单却不能用积分公式，根据求不定积分的基本出发点，把这几个积分化为积分公式的形式，然后求出结果:1cos5xdx= cos5xd5x'5

4、'e2xdx-1 exd(-2x)1d(1 x)_2x1dx= 1 x11c osd u= sinu +C 5-1 U1 u ce d u= e +C2 -1-du = ln u +Cu-s i 5x+C51 _2xe +C2ln(1 + x) +C这种先凑微分，再进行变量代换的方法称为凑微分法。定理(第一换元法)设f(u)有原函数F(u)，u =(x)可导，则fL(x)是 f 2(x)1(x)的原函数。即：f ' (xp： (x)dx= F(x) 1+C证明：(略)为了便于应用，第一换元法常写为下面的格式： Jf ®(x)畝 x)dx= Jf b(x)d®

5、(x)ff (u)du= F(u)+CF®(x)】+C从上面的例子和格式可看出凑微分是非常关键的一步，为了让大家熟悉凑微分的过程，先来作一些练习：凑常数：(1) dx=( )d(5x-7)(2) dx=( )d(a-bx)2 2(3) xdx=( )d(1-2x2)(4) xexdx =( )dex(5)舟=(1 9x)darctg 3x凑微分：（1）dx =1 da(）（2）x dx = d (）（3）1-dx = dx(）（4）1dx=d (x）（5）12 dx= dx（）（6）12 dx = d1 x2（）（7）sec2 x dx=d（）（8）secxtgx dx =d（例 1

6、 求 sin( x )dx均为常数）解：sin(，x )dx练习：(1)(2x-3)10dx(2)(ax b)mdx被积函数含有f （ax b）的积分,积分格式:1 f (u)du af (ax +b)dx =丄仃(ax +b)d(ax +b)a *二 F(u)+CF(ax b) +C例2求xex dx解：xex dx =练习:x .尹x1 x2被积函数含有xn4f（xn）的积分，积分格式:Jxn °f (xn)dx =丄 J f (xn)d (xn)1f f (u)dunn= F(u)+CF(xn)+C练习：x被积函数含有exf(ex)的积分，积分格式：Jex f (ex)dx =

7、 J f (ex)d (ex)/ f (u)du= F(u)+CF(ex)+C例4求儿解:dx2 i x(x 1)练习：sin 、x ,2 x dx被积函数含有¥f(Jx)的积分，积分格式:x= F(u)+CF( x)+Cdxxln ” x(*2 f (u)du解:dxxln、xJ f ( w'x)dx =2 J f (Vx)d W x)被积函数含有-f (Inx)的积分，积分格式:x.f (u)duJ1 f (In x)dx =f (In x)d (In x) x= F(u)+CF(ln x)+C例6 求sinx(* )' x x解：丄 s in 1dxx x被积函

8、数含有 丄f （丄）的积分，积分格式:x x1 1 1 1f ()dx =Jf d(-)-f f (u)duxxx x= F(u)+C1F ()+Cx例1-例6小结：以上是比较常见的可用凑微分法求不定积分 的几例，同时也说明书如果被积函数中某一因子恰好是其余因子某一 部分的导数，则可考虑凑微分法（*式根据时间关系可讲可不讲）如果被积函数是三角函数，则凑微分的方法较灵活例 7 求 sin3 xcosxdx解：sin3 xcosxdx练习： tgxdx例 8 求 sin3xdx解：sin3 xdx例 9 求 sin5xcos3xdx解： sin 5xcos3xdx例 10 求 secxdx解：.secxdx例11求.dxsin x解：丄dx' sin x例7-例11小节：三角函数的不定积分必须灵活运用三角公式进行恒等变形转化为熟知的积分再求结果。例 12 求 sin xcosxdx解I:sin xcosxdx解n： sin xcosxdx解H： .sin xcosxdx这个例题说明一个不定积分解法不同，所得的答案形式也可能不同，但作为原函数全体的不定积分却是相同的，因为丄sin2x , -lcos2x ,2 2cos2x都是的原函数，它们之间只相差一个常数。4五、本节内容小结：本节主要内容：1、一些基本