圆锥曲线离心率专题

1、圆锥曲线离心率专题练习1.F1, F2是椭圆的两个焦点,假设椭圆上存在点A- 七1)P,使得C.PF1± PF2,那么椭圆离心率的取值范围是0,里5D"#, mE - 2, - 1时,该曲线离心率e的范围是C.D一L4.双曲线A .( 8, 0)C. ( - 12, 0)D. ( 60, - 12)5 .设F1, F2为椭圆的两个焦点,假设椭圆上存在点 A .1)B.P满足Z F1PF2=120 °,那么椭圆的离心率的取值范围是 C.D.6.椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,0蝉其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率C.D .e的取值范围7.椭圆x2+my

2、2=1的离心率e 77 >1,贝U实数m的取值范围是(4 - +8)JC.*)u(£ , +8)8.有公共焦点的椭圆与双曲线的中央为原点,焦点在 x轴上,左、右焦点分别为 交点为P, PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为 值范围是A . / 八 I、1 2、弓,1U 1 , IF1, F2且它们在第一象限的1, 2,那么该椭圆的离心率的取D ¥,2？2.二次曲线4 nA .11)B.(,DC.【4,亚D.(0,亚222323.椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,ZOPA=90.,那么该椭圆的离心率 e的范围是1的离心率e&

3、#163; 1, 2,贝U k的取值范围是9.椭圆 土+a>b>0的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2, 4b2,贝U该椭圆的离心率 e的取值范围C.10.如图,等腰梯形 ABCD中,AB / CD且AB=2 , AD=1 , DC=2x x 0, 1.以A, B为焦点,且过点 D的A的椭圆的离心率为 e2,那么ei+e2的取值范围为双曲线的离心率为 ei；以C, D为焦点,且过点C.+ OO)2_211.双曲线-a彳1 3>L b>0的焦距为2c,离心率为e,假设点-1, 0与点1, 0到直线鱼-鱼°a b的距离之和为S,且S弋C,贝U离心率e的取值范围是

4、A |净妇B.血也C愕折d 上.2212 .F1, F2是椭圆七+%1 日的两个焦点,假设存在点 / bP为椭圆上一点,使得 / F1PF2=60 °,那么椭圆离心率e的取值范围是13. 方程x3+2ax2+3bx+c=0 a, b, c£R的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,贝;a？ + b '的取值范围是a .、号,+8C .(面,+8)D .面 +8)14JTTT且< a <,那么双曲线的离D.I幻2也16.双曲线的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,/ F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5: 1,那么2214. 椭圆 土+

5、J二1上到点A 0, b距离最远的点是 B 0, - b,那么椭圆的离心率的取值范围为3 UA(0,塑B 胃mC (普 D跨,1)15. 双曲线的中央在原点,焦点x轴上,它的一条渐近线与 x轴的夹角为心率的取值范围是双曲线离心率的取值范围是A .1,)B.C.D (, 2A L 航B.框尊 C. 1 , 217.椭圆+？=1 a>b>0上一点A关于原点的对称点为B, F为其右焦点,假设AF ± BF,设Z ABF=a ,且a?卓"18.椭圆2产 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1 (- c, 0), F2 (c, 0),假设椭圆上存在点 P使或

6、 n/FFiR-min/FFiF？A . (0,也 - 1)B.,贝U该椭圆的离心率的取值范围为C - (0,重)22219.直线l: y=kx+2 k为常数过椭圆 %彳1 a>b>0的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得 a2的弦长为L,假设贝U椭圆离心率e的取值范围是A 车 B 0 假设1C ,警 D.,芈5555222c,直线l过点a, 0和0, b,且点1, 0到直线l的20.双曲线 土-旧1 »>!, b>0的焦距为距离与点-1, 0到直线l的距离之和S>2C那么双曲线的离心率 e的取值范围是A |1,g|B . ° 西C.

7、Wl,321 .点A是抛物线Ci : y2=2px p> 0与双曲线22C2：工-二 1 (a> 0, a bb>0的一条渐近线的交点,假设点 A到抛物线C1的准线的距离为p,那么双曲线 C2的离心率等于A .海B .扼C .必D.牌F1, F2是椭圆的两个焦点,假设|MF1 MHF2 l=2b2,那么椭圆离2222.在椭圆乱Ah AO上有一点M, ,1/心率的范围是A o,争 B 净 123.椭圆专+y2=1上存在一点P,使得它对两个焦点F1, F2的张角/ F1PF2,",那么该椭圆的离心率的取值范围iuB.,1)24.22椭圆-4=1 a> b>0

8、上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距, a2 b30, 1那么椭圆的离心率的取值范围是(0,二2JC.冬22225.椭圆Cl 土,%1的左右焦点分别为 F1, F2,假设椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得 F1F2Pb2为等腰三角形,那么椭圆 C的离心率的取值范围是1 2D.26.设A1、A2为椭圆一+ 1 律>bA0的左右顶点,假设在椭圆上存在异于 / /A1、A2的点P,使得两二0,其中O为坐标原点,那么椭圆的离心率e的取值范围是)A .(0,3B (0.也C G,12222 W27.点F1、F2分别是双曲线 土 -土 =1的左、右焦点,过 F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、

9、B两点, a2 b假设A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形,那么该双曲线的离心率e的取值范围是A 1, 1 +扼B . 1,妨C.也-1, 1+也D . 1 , 228.如图,A (- 2,0), B (2, 0),等腰梯形 ABCD 满足 |AB|= - 2|CD|,E为AC上一点,且AE = A EC .又29.椭圆a> b >0上一点A关于原点的对称点为B , F为其右焦点,假设 AF ± BF,设Z ABF= a,以A、B为焦点的双曲线过 C、D、E三点.假设j,那么双曲线离心率 e的取值范围为A 瞻,面B .1,瞻C 面,+" |D.瞻,)

10、且a e E!,那么该椭圆离心率 e的取值范围为A.而-1,亨B.净1 C谬,写2230.P为椭圆 土+=1 (a> b> 0)上一点,a2 b2有且只有4个,那么椭圆离心率的取值范围是A.0,B .,1)F1, F2是椭圆的左、右焦点,假设使C. 1,也 PF1F2为直角三角形的点 PD .迎,+勺参考答案与试题解析1.F1, F2是椭圆的两个焦点,假设椭圆上存在点P,使得PFiL PF2,那么椭圆离心率的取值范围是解：如下列图,卜面证实椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中央距离最短的点.设椭圆上任意一点22一,和丫口Px0, y0,那么飞+"二 1 ,a可得=旦底+ /为

11、2,当且仅当X0=0时取等号.2 0a椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中央距离最短的点.假设椭圆上存在点 P,使得PFi X PF2,贝U c为,.,. c2先2=a2-c2,2.二次曲线该曲线离心率e的范围是A梓尊 B疑解：mq - 2, - 1,该曲线为双曲线,a=2, b2= - m, c= 1 I离心率e=n32. m 可-2, - 1, - yj4rc可, 6,应选C3. 椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,/ OPA=90.,那么该椭圆的离心率 e的范围是 A少 B #1 C写弯0舟22解：可设椭圆的标准方程为：史-+ _一 a>b>0.a b设P (x,

12、 y), Z OPA=90 °, .点P在以OA为直径的圆上.该圆为:联立:(L尹勺2二92- ai+ y 二.222 V2 a b2,化为2化为(b2a2) x2+a3xx2 - ax+y2=0.-a2b2=0,y=20v x v a,.二在,c化为 c2> b2=a2 - c2,-p,又 1 > e> 0.c 2解得 炽a2.该椭圆的离心率e的范围是 岑 1应选：C.2？4. 双曲线兰二1的离心率e£ (1, 2),那么k的取值范围是()4 kD. ( 60, - 12)A . ( 8, 0)B .( 3, 0)C.( 12, 0)22解:.双曲线二+

13、土二的离心率e£ 1, 2,4 k22双曲线标准方程为： 兰二；=1 k v 0,4- k1v e2v 4, 1 v _ v 4, - 12< kv 0,4故答案选C5. 设F1, F2为椭圆的两个焦点,假设椭理:存在点 P满足Z F1PF2=120.,那么椭圆的离心率的取值范围建A 淳1 B .净1 C 0华 D.,车解：F1(- c,0),F2(c,0),c>0,设 P(x1,y1),那么 |PF1|=a+ex1, |PF2|=a - ex1.在 PFiF2中,由余弦定理得 cos120°=二2巳七)2+ t - e k ! )_ 4c22 (a+ei )

14、(a - ex j )2 - % 解得X12=% 一仙xi2C (0,a2,va2,即 4c2- 3a2洵.且 e2< 1,瞻故椭圆离心率的取范围是e", 1； 应选A.6.椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率3,蝉B.0,穹- 1C.e的取值范围s 1解：不防设椭圆方程:(a>b>0),再不妨设：B 0, b,三角形重心G (c, 0),延长BG至D,使|GD|=BG|设 Dx,y,那么而二X, y- b'标二S - b,由际淄5,得:kJ(c, - b)二土y-b),解得:c|a)2 (-歹七 I j <

15、1ab即把b2=a2 - C2代入上式整理得:厂_ b而D 项s -项是椭圆的内接三角形一边 AC的中点,所以,D点必在椭圆内部,2又由于椭圆离心率 e£ 0, 1,所以,该椭圆离心率 e的取值范围是 Q, 垂.3,贝U实数m的取值范围是7.椭圆x2+my2=1的离心率eE R /1ImU,十8hJC.21解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为211=1, b'旦,-旦-1,ID2i' - 1),- 0<Cirr<C 4.实数m的取值范围是(o ,敏)LI q, +co)*1R-J应选C.8.有公共焦点的椭圆与双曲线的中央为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分

16、别为 F1, F2且它们在第一象限的交点为P, PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为 值范围是1, 2,那么该椭圆的离心率的取a>b> 0,其离心率为D.解：设椭圆的方程为e,双曲线的方程为土-% =1m>0, n>0,e n|F1F2|=2c,-有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P, PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,在椭圆中,|PF1|+|PF2|=2a,而 |PF2|=|F1F2|=2c, . .|PF1|=2a- 2c；同理,在该双曲线中,|PF1|=2m+2c；由 可得a=m+2c.251？ 3),516229.椭圆

17、史Ii'即e£10.如图,等腰梯形ABCD 中,AB / CD 且 AB=2 , AD=1 , DC=2x(x (0, 1).以A, B为焦点,且过点的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2, 4b2,那么该椭圆的离心率e的取值范围是()A净争 B净争C净争解：在第一象限内取点( x, y),设 x=acos 0, y=bsin 0, (0v Ov_ZL)2那么椭圆的内接矩形长为 2acos0,宽为2bsin 0,内接矩形面积为 2acos.*2bsin 0=2absin2 0 2ab,由得：3b22abVb2, - 3ba<4b,平方得：9b2Va2W6b2,9 a2-

18、c2 Va2* a2-c2 5a2 淘c2 且 12a2 涓6c2,39双曲线的离心率为 ？；以C, D为焦点,且过点C.+ 8- e1=寸L+火-1,e1e2=1A的椭圆的离心率为 e2,那么e1+e2的取值范围为()解：BD= J之 +和 2 - 2垃 x ABwNDAE+业, a1=旦二1但e+e2?唯莅中不能取=,22V1+4k 一 1一 LVl+4x 一 1面女-1+2令 t=Jl+41 -10,宾T,那么 e1+e2基t+普,t £ 0,宾-1, e1+e2 呢,+8 e1+e2的取值范围为寸& + 8.应选B .2_211.双曲线-2a的距离之和为S,且A.S&

19、gt;|cB. S,V7,那么离心率e的取值范围是C.D - I ,解：直线l的方程为 虫-里二1,即bx - ay- ab=0.a b由点到直线的距离公式,且 a> 1,得到点1, 0到直线l的距离d1出77同理得到点-1, 0到直线l的距离.d2b 出',s=di+d2：2ab由 S._于是得4e4 - 25e2+25司.,即解不等式,得由于e> 1> 0,所以e的取值范围是 e应选A.2212 .F1, F2是椭圆二+%1 ab>0的两个焦点,假设存在点b2P为椭圆上一点,使得 / F1PF2=60 °,那么椭圆离心率e的取值范围是A .<

20、1)B.0<B<2解：如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,当且仅当P点位于短轴端点P0处时,张角Z F1PF2到达最大值.由此可得：.存在点P为椭圆上一点,使得 / F1PF2=60 °,. . P0F1 F2 中,匕 F1P0F2 劣0,可得 Rt P0OF2 中,匕 OP0F2 洛0°,C.d y2"P对两个焦点的张角 / F1PF2渐渐增大,所以 P0oW5OF2,即 b曳 Vlic,其中 c=l甘2 _ b 2.,椭圆离心率e,且a>c>03匕=1 3>L b>0的焦距为2c,离心率为e,假设点-1,

21、 0与点1, 0到直线a b应选C-213.方程x3+2ax2+3bx+c=0 (a, b, c£R)的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,贝确*讣的取值范围是(A .面,+3)B.穿=x3+2ax2+3bx+c,由抛物线的离心率为1,可知 f (1) =1+2a+3b+c=0 ,故 c= - 1 - 2a-3b,(x - 1) x2 + (2a+1) x+ (2a+3b+1)的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率,(2a+1) x+ (2a+3b+1),有两个分别属于(0, 1), (1, +°°)的零点,C.解：设f (x)所以f (x

22、)=故 g (x) =x2+故有 g (0) >0, g (1) v 0,即 2a+3b+1 > 0 且 4a+3b+3 v 0,那么a, b满足的可行域如下列图,由于2a+3b+l=04&+3B+3二0,贝U P ( 1,二)且(0, 0)至lj P (- 1,1)的距离为d=,(-1)d)2 V103V33的距离,而云的取值范围是(匝,3撰廿2表示(a, b)到(0, 0)+ OO)B (0, - b),那么椭圆的离心率的取值范围为(U解：设点P (x,B 皆,1)y)是椭圆上的任意一点,C.(o, #D .:1)那么 土4土二 1,化为普二,(1-=)-|PA2=x2

23、+ (y - b) 2(1-'+%=f (y), c.椭圆上的点P到点A (0, b)距离最远的点是 B (0, - b), 由二次函数的单调性可知：f (y)在(-b, b)单调递减,又 e> 0.,即 2c%2,离心率的取值范围是(0, #.应选：C.15.双曲线的中央在原点,焦点x轴上,它的一条渐近线与 x轴的夹角为jrjt|a,且a ,那么双曲线的离43心率的取值范围是(A .(1,血)B.2)D.解：.双曲线的焦点在x轴上,故其渐近线方程为y=±x3贝U tan a=;b兀1 v tan avM"金即3求得血v匹<2 a2 X2 ya1 _ b

24、216.双曲线的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,/ F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5: 1,那么再由双曲线的定义可得再由双曲线的离心率大于1可得,1 v eW,2A .(1,-B.(1,苴)C.2,D .(,2222双曲线离心率的取值范围是(解：根据内角平分线的性质可得5PF2 - PF2=2a, PF2=3,由于2 X2 +y2 ab217.椭圆(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为 B, F为其右焦点,假设AF ± BF,设Z ABF=a ,且,那么该椭圆离心率的取值范围为(4A .1B.C.D.18.椭圆2户1 (a>b>0)的左、右焦点分

25、别为F1 (- c, 0), F2 (c,0),假设椭圆上存在点 P使a_cZ二:sirL2FF1F2,那么该椭圆的离心率的取值范围为(B.C.5(0,解： B和A关于原点对称. B也在椭圆上设左焦点为F '根据椭圆定义：|AF|+|AF '|=2a又. |BF|=|AF . |AF|+|BF|=2aO是RtA ABF的斜边中点,|AB|=2c又 |AF|=2csin a |BF|=2ccos a 代入 2csin a+2ccos o=2aa sinCl+cosCl即e=sinCl +cos Cl兀. a可讶4.IK解：在 PF1F2中,由正弦定理得:PF？FFisinZPF1

26、F2-sinZFIr1F2那么由得： -'FF2 FFaPF1 =cPF2即：设点P(X0, y0)由焦点半径公式,得：PF1=a+ex0, PF2=a - ex0 那么 a(a+ex0) =c (a ex0)解得:x0=e c+aj由椭圆的几何性质知：x0> - a那么a (已 - 1)e (e+1)a (e - 1)e (e+1)> -a,+整理得 e2+2e- 1 >0,解得：ev - f2- 1 或 e/2 - 1,又 e£ 0, 1, 故椭圆的离心率：决匝T , 1, 应选D.2219.直线l: y=kx+2 k为常数过椭圆 +-=1 a>b

27、>0的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,假设贝U椭圆离心率e的取值范围是A ofA B e 华C.,华D.,华5555解：圆x2+y2=4的圆心到直线 l: y=kx+2的距离为 d= fTiA？L,.直线l: y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为-由垂径定理,得对普即2 >4妪,解之得 d2善解之得 k2>!k£+l 54-直线l经过椭圆的上顶点 B和左焦点F,b=2 且c=J/ 一 b 史-色即 a2=4+因此,椭圆的离心率应选：B2220.双曲线土-旧1 a>L b>0的焦距为2c,直线l过点a, 0和0, b,且点1,

28、 0到直线l的距离与点-1, 0到直线l的距离之和£>c那么双曲线的离心率 e的取值范围是A L 饵B .垂C 届 +8D.解：直线l的方程为应+旦=1,即bx+ay - ab=0. a b瀛e2,即 4e4 25e2+25 司.解不等式,得直国2司e> 1> 0,由于所以e的取值范围是普< 巳据应选D.21.点 A 是抛物线 C1： y2=2px (p> 0)与双曲线C2：22:-=1 (a> 0, b> 0)的一条渐近线的交点,假设点 a bC2的离心率等于()C.匚抛物线C1的准线的距离为 p,那么双曲线A .海B.扼解：取双曲线的其中

29、一条渐近线:yx,(2Zpaz畚,2；I bfy2=2px？联立-点A到抛物线C1的准线的距离为 p,P.2pa2+ 2|b2p;双曲线C2的离心率e=应选：C.22.在椭圆22土+71 (乱AhA0)上有一点 M , F1, 温1/F2是椭圆的两个焦点,假设|MF1|-|HF2l=2b2,那么椭圆离心率的范围是(A .(0,争解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a,C.D.巫,1)所以 |此1 F+|MR F+2IMF|MFw 1=4在 MF1F2中,由余弦定理可知-2|I4Fl|JUF2又 IMP】| |mp？ |二2b', 由 可得：4c2=4a2 - 4b2- 2|M

30、F i|？|MF2|cos 0. 所以 |MFi|？|MF2|cos9=0.所以 c先,即 c2为2=a2 c2, 2c2y,所以应选B.23 .椭圆土+y2=l上存在一点P对两个焦点_ , 一兀F1, F2 的张角 / F1 PF2=2,那么该椭圆的离心率的取值范围是A .1).b2=l,可得 c2=a2- 1, c=2T7.椭圆的离心率为e a又.椭圆上一点P,使得角/ F1PF2二,2设点 P 的坐标为(X0, y0),结合 F1 (- c, 0), F2 (c, 0),可得 FF 件(c- X0, - y0),即；=(C- X0, - y0), PF-英=棚'一 <？ +

31、 y=0.P (x0, y0)在椭圆j+y2=1 上,. . y.=1 - z,代入可碍气 - c +1 -2 =0-3.42.j _将 c2=a2- 1 代入,得 乂口？- a2- ,-岑 +2=0,所以 k.j一 a0- 0< k02< a2,即 0 g 2a < a 2 ,解之得 1v a2 厘& 124.如果椭圆围是.椭圆的离心率a> b>0上存在点P,使P到原点的距离等于该椭圆的焦距,那么椭圆的离心率的取值范A . (0, 1)B.C.0, -2J解：设P x, y,P到原点的距离等于该椭圆的焦距,- x2+y2=4c2P在椭圆1 -4c？寸2_

32、x2K 2ab联立_2 2.0 孕 W应选C2225.椭圆C:土的左右焦点分别为 F1, F2,假设椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得 F1F2P 疽b2为等腰三角形,贝U椭圆 C的离心率的取值范围是A .)C.D.Wu解：当点P与短轴的顶点重合时, F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰 F1F2P；当 F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,以F2P作为等腰三角形的底边为例,. F1F2=F1P,.点P在以F1为圆心,半径为焦距 2c的圆上因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰 F1F2P,此时a- cv 2c

33、,解得av 3c,所以离心率 e .3e当e=W时, F1F2P是等边三角形,与 中的三角形重复,故同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在 e3时也存在2个满足条件的等腰 F1F2P这样,总共有6个不同的点P使得 F1F2P为等腰三角形综上所述,离心率的取值范围是:e£ ,一 U22一 26.设A 1> A2为椭圆二,了(占>b>0)的左右顶点,假设在椭圆上存在异于 A1、A2的点P,使得二0,a2 !:工其中.为坐标原点,那么椭圆的离心率 e的取值范围是()A (号 B 0 华 C (* 1) D(学 D解：A1 (- a, 0), A2 (a, 0),设 P (

34、x, y),那么 PO= ( - x, - y), PA = (a- x, - y), FO'PAw二0, (a_ x) ( x) +( y) ( y) =0, y2=ax - x2> 0, - 0<xv a.22V V4 一C O O Qo o代入土+-=1,整理碍(b2- a2) x2+a3x - a2b2=0 在(0, a )上有解, a2 b2a2b2v0, f (a) =0, f2 4 4 2 2 42 2_=a ( a 4a b +4b ) =a (a如图：2c2)人,、z . 999 9令 f (x) = (b2 a2) x2+a3x a2b2=0 , . f (0)= = (a3) 2- 4X (b2- a2) x ( - a2b2)0v -va,即v a, 2c2v 1,2 c 2 a>1又v上v 1,应选 aD.F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,e的取值范围是()D . (1 , 2)假设A、B和双也线的一个顶点构成的三角形史锐角三角形,那么该双曲线电离心率A . (1, 1+ 血)B. (1,扼)C. (V2 - 1, 12):解：根据双曲线的对称性,得 ABE 中,|AE|=|BE|