傅里叶变换、数字滤波器设计、标准表插值算法汇总

1、傅里叶变换20-be周期函数fT（t）可表示为:a0fT（t）=+2 （an cos n麒 + bn Sinnott）2其中:2a。=- JfT（t）dtT TP2an = J fT（t）cosn联dtT T2周期函数fT（t）的周期为T。频率f =*，角频率n为正整数。周期函数fT（t）的直流分量d号* TfT（t）dt。frf为各次谐波的T"2频率。周期函数fT（t）可化为：（三角函数公式：cos（A +B）=cosAcosB -sin Asin B）-befT（t） =5： Ancos（noot +®n） + dn =1其中:arc會）即周期函数fT（t）可表示为不同

2、频率成分的正弦函数的和。其中频率f为基波的频率。根据欧拉公式e-cos日+isine，有:deJe日COS0 =2sing2i所以周期函数仲可表示为:an ibn 12 TfT (t)=a0址Jtt +e时Joi吃(ane ；e Pe；,)nA22i=西+:f (口V时2 nrn 22T2f fT (t) cosnecitdt -i J fT(t)sinncotdtTT"221=J fT(t)(cos neotisi nn 航)dtT T2TT T2an +ibn12=TTT"22J fT (t)cosn豹tdt +i J fT (t)sin neotdtG4T1 2= J

3、 fT (t )(cos neot+i si nn eot)dtT T2T1 2=1 JfT(t)e吨dtT丄2CoCnan ibnC_n =Tan - Ibn 1 JfT（t）en%tT巧n为正整数-befT（t）=Co +2： （Cnd呛 +ce上B）n=1n取整数时,C可以合写为一个式子J fT （t）e即dtT（n = 0, ± 1,±2,.）1=-JfT（t）dt T T所以有-ben为整数n=-:：C非周期函数f(t)，当Tt亦时,f（t）TimfT（t）T"2-be所以f（t）=lim 匚无J fT（t）dt eT斗AT n4 T取©n =

4、n03，=叽"n=乍，当Tt亦时，也© nT0。从而Jrrr-5亦dXLetreJ1 -PC2气送2 兀 n =_oc-he口 (t)e 叫t”F®n)= J：f(t)e9dt1 耘f=ymE F(叽)e叫3哙亡F(3)e叫叫= F®)e%«2兀M因此有FW) = Lf(t)e 七dt(1)1 誌ir*f(t)二二 LF®)e%式中函数f(t)为函数称式(1)中函数F®)为函数f(t)的傅里叶变换,FW)的傅里叶逆变换。函数F®)即为函数f(t)的频谱。图1是函数y1和y2的函数图。其中y1二sin(t)。y2二s

5、in(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。图1谐波分量图图2是偶次谐波的函数图。图2偶次谐波图图3是偶次谐波的频谱图。图3偶次谐波频谱图图4是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图。图4偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图傅里叶分析在电路上的应用函数f（t）的傅里叶变换记为Ff（ty，函数g（t）的傅里叶变换记为F g（t）,即 F（如=Ff（t），g（co）= f g（t）。则有傅里叶变换的线性性质F bf(t) + Pg(t)。F e ) + P GW )傅里叶变换的微分性质傅

6、里叶变换的积分性质1=F俾) iO电路上的一个例子。有一段RLC电路如图5所示1 mH1 uF1 k Ohm-AzW220 W50 Hz/0 Deg图5 RLC电路求电路的电流i(t)，列方程有di(t) 1 tRi(t) + L*+- n(t)dt =u(t)dt C u函数i(t)的傅里叶变换为丨)，函数u(t)的傅里叶变换为U佝)，对方程两边做傅里叶变换，有Rl ()+ i时LI )+ I (©) = U ()i©C求1 )得I(» u®),R + iM+ 'iooC求I)的傅里叶逆变换得1 ti(t)=f l(05)e'dt代入具

7、体的参数值，即可求得电路的电流i(t)。函数的卷积已知函数f(t)，g(t)，则积分-beh(t)= J fg(t-T)dT称为函数f(t)和g(t)的卷积，记为按傅里叶变换的定义，有F f(t)*g(t) = Uf(t)*g(t)e%tULf g(t-T)dTe dtLJwf(T)eWg(t)emTdPtLJ eLg(t -T)eggd(t - T)F ft) F g(t)=F (o ) G(© )即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。数字低通滤波器的设计模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示。用傅里叶变换分析电路，可以证明Uo(s)=Ui(s)十RiC1R2C1A

8、 1R1R2C1C21 1 1+ (1-A)j)s +R2C2RRCQ2其中 s=i© , A=1 + R4。设R3Uo(s)G(SUi(s)1J RIR2 GC2c 2 兀 JRR2CC7Q=竿+ 监+(1_厲严V R1C1 R2C11 R2C2则有Ab 2G(s)=于s2 + 时；Q函数G(s)为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。A为放大系数,为滤波器的截止角频率，Q为滤波器的品质因数。取 R1 =R2 =159.155k0，C1 =C2 =0.014F，R R10，贝J A = 2，fc = 100Hz，c=200叼ad/s , Q =1。函数|G(s)|的频谱图如图7所示。图

9、7函数G(s)的频谱图(Q =1)特别的，取R3二,R4=O，则A=1, Q=0.5，函数G(s)的频谱图如图 8所示。图8函数G(s)的频谱图(Q =0.5)取A=1, Q =0.5的参数，当G(s)=丄，求得f = 64.3594Hz。即为函数 42G(s)的半功率点。函数G(s)的零极点图如图9所示。QaO时极点位于左半平面。trad 芒Eu一gee-200*250-600-500400-300Real Part-200-100图9函数G(s)的零极点图(A=1)特别的，当 Ri=R , G =C2 时，Q=。当 A>3 时，Q<0，函数 G(s) 3 A的零极点位于右半平面

10、。取A =3，函数G(s)的零极点图如图10所示。函数G(s)极点位于右半平面。O 曲2- 七Bd A冷匚一6BUJ-600800*600400*2000200400600300Real Part图10函数G（s）的零极点图（A = 3）函数G（s）的相频图如图11所示。图11函数G（s）的相频图将函数G(s)级联，构成多阶低通滤波器，如图12所示的2阶、4阶、 6阶低通滤波器的频谱图。图122阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图(Q =0.5)由Uo(s)=Ui(s)G(s)，根据卷积定理得Uo(t)=Ui(t)T(t)。在频域上 对函数G(s)采样，并对函数G(s)做傅里叶逆变换得g(t) =

11、 F-1G(s)。二 阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数 g(t)的图形如图13所示。对函数Ui(t)和函数g(t)做卷积运算，求得函数uo(t)，即通过数字 滤波器滤波后的结果。函数Ui(t)和函数uo(t)的图形如图15所示。图14是函数Ui(t)的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。函数uo(t)和图6中模拟电路给出的结果是一致的。图13时域上的传递函数g（t）图14滤波器的相位延时图16模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果22图15函数ut)和函数Uo(t)II8JIFlI f PfT1S£ 3£?6 nsT272,駝FIS

12、T2-T1VAI-637.2376 nVV«-637 . 2S76 FiU'收N遍-4.4043-13V7D19.6799 n'VB2勺.£799 FiV-2 . CE53e-l 3/Fee也昶|：中如X position goo座 111Trigfla- Edg b?g|Chanril /hI f MY positiori 3JC AC| Di IBBChannel B I 1 ¥6Tposition |omReduceReverseSave电压表达式:标准表的计算公式v(t) =2 VkSi rk(t +®k)k4电流表达式:电压有效

13、值i(t)=Z iksi n<(t7)k431Vrms =v2 nY N心电流有效值瞬时有功功率p(t) =v(t)C(t)平均有功功率P=-Z pnN心瞬时无功功率q（t）=v（t宀=v51）（注）平均无功功率视在功率功率因数qnN nd：S = Vrms 咒 I rms8宀S （注SZ唱）有功电能tr处Energy =p(t)dt = |im 4送 pnx3 E无功电能S qnxAt > I心tReactiveE nergy = Lq(t)dt =向视在电能tr处ApparentEnergy = Ts(t)dt =迪 snxKt脉冲频率_ 1 度电（P、Q、S）p、 q、 s

14、-表常数离散傅里叶变换（DFT）24%Xk=：S xne Nn=0离散傅里叶变换的逆变换(IDFT)1 N 4i空nkxnr亍时奈奎斯特采样定理f Nyquist >2f标准表的插值算法定频采样的同步问题需要插值算法。对采样到的波形分段插值。一副正弦曲线图1 (4 111呵 JUE1I+ 呼pUBri I«Li libln Zh AZ ZDB-1 1 111-DE-OJ- 3-1 i'-D-I 3_11F -/1-IDB-11r1111 -.11'【JQDCQDDIMQ QccD.nn001 Q1ZilPMOOIBJ Jb+31卷Z1 .*?i«MWi

15、+1 jL+iB1程.ti咕丙-II n呻 h 1L科电r IS上午用线性分段插值后的图形如下。EI1+ 呼“l+3将线性分段插值的图像局部放大，如下图所示。逝耐 J® I jLtainI 瘵*TUJ日wca J|BF”nrk IBBI氐心甘iTH上鼻使用三次样条插值算法，得到的图形如下e>L UiR l.W EhL.I bill. bkJ-r 衍L.诗HA 0 4"浜負fI TUJI 軒Sftifl日naIIl 口 片世:嗣+ I J召将三次样条插值的图像局部放大，如下图所示。LlL 3" 1.W L>L-IiLh隔L.怕诗H4吐A/ "f

16、 7955 73SE0 79S5OWD79&I0 *Z.SQPP35Br3 7311K1D由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状,所以对于组成 S的n个三次多项式：5OTJ 耐 J J 计 ii叩砂H日aa|MFnnfk Ibb I | 丁 "卫上千三次样条插值 对于n+1个给定点的数据集 Xi，我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三 次样条。如果r So的W XjiX、tJ表示对函数f进行插值的样条函数，则样条函数S(X满足以下条件。插值特性：S(Xi)= f(Xi)样条相互连接：Si-i( Xi) = Si(xi), i=1,., n-1两次连续可导：S'i-1 (xi) = S'i(xi)以及 S'i-i(xi) = S"i(Xi), i=1,.,n-1。来说，这就意味着需要 4n个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了 n + 1个条件，内部数据点给出n + 1 - 2 = n -