圆锥曲线弦长问题专练

1、全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）圆锥曲线弦长问题专练（优质试题高考全国卷I ）已知F为抛物线C: y2= 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线I 1, 12,直线l 1与C交于A、B两点，直线12与C交于D、E两点，则|AB| + |DE|的最小值B. 14D. 10A. 16C. 12 命题意图 本题主要考查抛物线的定义、焦点弦及基本不 等式的应用（或函数最值）.考查逻辑推理和运算求解能力.解题思路一般利用弦长公式计算，有时也会引入中间变量利用函数的有界性或取值范围求解.、解法探究 思路1 焦点弦 法一：设I 1的倾斜角a , a （0 ° , 90° ），贝y

2、 I 2的倾斜角为 90° +44由焦点弦公式得AB = siP7, |DE| = sin2 (90°+ a) 4.所以|AB+IDE=4+4=.鸟.cos aSin a COS a Sin 2 a所以当 sin 迄 a= 1，即卩 a = 45° 时，(| AB + | DE) min= 16.法二：由题意知，显然直线 11, 12的斜率都存在.5设11的斜率为k, 则I 2的斜率为一k.由焦点弦公式得I AB = ¥X 4,所以 |AB + IDE = 4z 池 X 4= (1 + k2) X4.、k'1 + k2, 2、 + 1 + kk

3、丿b+ k + 2J当且仅当 k2= 1,即卩 k=±1 时，(I AB + IDE) min= 16.>4I2寸卜 k2 + 8= 16.思路2 弦长公式与抛物线定义法三：显然ii, |2的斜率都存在，设11的斜率为k,贝y 12的斜率为k,k因为抛物线y2 = 4x的焦点F(1 , 0), 设11的方程为y= k(x 1)，代入y2= 4x得 k2x2 (2 k2 + 4)x + k2= 0, = 16( k2 +1) >0.设 A(X1, y , B(X2, y ,矿 i、j2k +41所以 X1+ X2=门,X1X2= 1.kI AB =7 (X1 + X2)2

4、4X1X2 (1 + k2)冰+ 亿 J ( 1 + k2)= 4( 1+ k2)k 用- 1代换得IDE = 4rf 1*L卜k+1-=4( k2+ 1).所以 IAB + IDE =r 1卫、k4 (ky) + 4( k2+1).(下同法二)k2=VlI k2V L7同理 IDE = 4(1 + k2).4 ( 1 + k2)所以 I AB + IDE =k2+ 4(1 + k2).(下同法二).法四：由法三与抛物线定义知，k2IAB = X1 + X2+ 2=智 + 2= 4（ k2+ 1）答案：A、内涵探究问题1已知F为抛物线y2 = 4x的焦点，过F且互相垂直1 1的弦AB与DE则I

5、 AB + PDE解析：不妨设直线 AB的倾斜角为a , a （0 ° , 90° ），则由焦点弦公式得4SB = sin442COS a41 DE = sin 2 (90°+ a )-2 2Sin a cos a 1 + =4+44'全国名校高考数学复习优质学案汇编(附详解)_ 1 1 1 所以芮+ fD手_ 4.1答案：4问题2已知F为抛物线y2= 4x的焦点，AB为过F的弦. 有下列结论1 1I FA + I FB为疋值; | AEB min = 4； I FA | FE| min= 4；以AB为直径的圆与y轴相切;OA- M定值.(0为坐标原点)则

6、正确的结论序号有解析：因为F(1 , 0)，设弦AB所在的直线方程为 X_ my+ 1. 代入抛物线 y2_4X得y2- 4my-4_ 0.2 _ 16( m + 1) > 0.设 A(x1, y1), B(x2, y2)，贝U y1+ y2_ 4m y1y2_- 4. 所以 X1+x2_my1+y2)+ 2_4m+2.2-_ 1.y2XlX2_ 7yi_ (- 4)4 _16对于，1 1I FA + I FB X1+ 1 ' X2+ 1X1 + X2+ 2X1 + X2+ 2_ _ 1X1X2 + X1+ X2+ 1X1+ X2+ 27全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）

7、即pFA+侖为定值1,正确.对于，| ABB = X1 + X2+ 2= 4m+ 4>4.所以|ABmin= 4,正确.对于，| FA | FB = (X1 + 1)( X2+ 1)=X1X2 + X1+X2+1=4m+44,正确.对于，AB的中点M的横坐标为+产=2m+1,161所以M到y轴的距离为d= 2m+1,又2| AEB = 2用+ 2> d.故以|AB为直径的圆与y轴相交.故错误.（事实上，以AB为直径的圆与准线相切）.对于，OA* ®B= X1X2 + yiy2= 1 + ( 4) = 3.即OA- 曲定值一3,即正确.所以正确的序号有.答案：问题3已知F为

8、抛物线y2 = 4x的焦点，过F且互相垂直 的弦AB与 DE则四边形ADBET积的最小值为（B. 32D. 64A. 16C. 481解析：选B.由问题1知， S 四边形 ADBE= 2| AB | DE1 44322 sin 一6m*5+ 1)l4 Ja cos2a = sin 22 a当sin 22 a = 1,即卩a = 45°时，S四边形adb的最小值为32.、外延探究问题4过椭圆2 2唏+卷=1的右焦点F且互相垂直的两弦（1）求证毎+分别为AB与DEI AB ' |DE为定值，并求|AB + IDE的最小值; 求四边形ADB面积S的最小值，并求此时直线 AB的方程.

9、X2 y2解：由4 + 3 = 1知R1，0）.设直线AB的方程为x= my+ 1.2 2代入；+ 鲁=1 得(4 + 3m2)y2 + 6my- 9= 0,2 = 144( m2 + 1) > 0.设 A(xi, yi) , B(x2, y ,2,6m 9则y1+y2=4+，y1y2=4+m.所以 | AB =(X1 X2)+ ( y1 y2)=_(y1 y2)2=>/ (1+ 1) (y1 + y2)2 4y1y212( 1+m)12 (m+ 1)4吊+ 324+ 3m2 24m+ 37 (m+ 1)712 (1 + m) + 12 ( m+ 1) 12 ( m+ 1) 12-

10、117所以fA亍+ rDF = 12(定值)f 11 IJAT + 丽卩 AB + 1 DE)2 +牆+益> 2+ 2寸牆= 4.即 1(1 AB + |DE) >4.所以 IAB + IDE > Y，当且仅当I AB = IDE = 24时，|AB + IDE取得最小值y.因为ABI DE所以 s= Jab | DE1 12 (1 + m)12 (m+ 1)24+ 3m4m+ 3=72 -m+2m2+ 112m + 25m + 12=72 -( 1、m2+ + 2I口丿/12 m+m+f 1、 m2+二 + 2> 4.Im丿25所以 S=72 121+1 =厘？12

11、+ -所以当t = 4时，Smin=器.49288即当m=±l时，S取得最小值49.此时，直线AB的方程为x=± y+ 1.即 y= X 1 或 y= x+ 1.问题5如图所示.已知点E（m 0）为抛物线y2=4X内的 个定点，过E作斜率分别为k1, k2的两条直线，分别交抛物线于点A B、C D且M N分别是AB CD的中点.若mr 1, kik2=- 1,求三角形EM®积的最小值;若ki+ k2= 1,求证：直线MN过定点.解：（1）当m= 1时，E为抛物线y2= 4x的焦点, 因为 k1k2= 1,所以 ABI CD4y1+ y2= Q得 kiy 4y 4ki= 0,设直线 AB的方程为 y= k1(x 1), A(X1, yO , B(X2, y2), jy= k1 (X 1)由2,y = 4x,yiy2= 4,因为AB中点X1 + X2 y1 + y所以+1,2】漏，同理，点 N2k1 + 1, 2k1）.所 以 S EMN12 IEM|ENk1+右+ 2k1+ 計 7 (2k1) 2+( 2k1)2 = 22(2+2 = 4,1当且仅当k2=k2,即k1=±1时， EMN勺面积取最小值 4. 证明：设直线 AB方程为y= ki(x m , A(xi, yi) , B(x2, y2