指数与指数幂的运算(一)

1、全国名校高一数学优质学案、专题汇编(附详解)指数与指数幂的运算(一)【学习目标】1.理解n次方根、n次根式的概念2能正确运用根式运算知识点一 n次方根、n次根式 思考性质化简、求值3体会分类讨论思想、符号化思想的作用.答案若x2= 3,这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示? 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作 ±3.梳理(1)a的n次方根的定义般地，如果£ = a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n N*.(2) a的n次方根的表示n的奇偶a的n次方根的表示a的取值范性符号围n为奇数a Rn为偶数±a0，+）(3) 根式式子Va叫做根式，

2、这里n叫做根指数,a叫做被开方数.知识点二根式的性质 （1）0 = Q（n N*，且 n>1）;（2）（需）n = a（n N*，且 n>1）;全国名校高一数学优质学案、专题汇编(附详解)(3) 百=a(n为大于1的奇数);Lfa, a>0,(4) 问=|a|= c (n为大于1的偶数).| a, a<0,1. 当a> 0时，灯a表示一个数.(V 2 .实数a的n次方根有且只有一个.( 3.当n为偶数，a>0时，Va>0.( V.(X )类型一根式的意义求使等式P(a 3)(a2 9)= (3-aX/a+3成立的实数a的取值范围.考点n次方根及根式概念

3、题点根式化简中变量的取值范围解 p (a 3)(a2 9 = < (a 3)2(a + 3)要使 |a 3ya+3 = (3 a)ya-3 成立，fa 3< 0,需解得 a 3,3.I a+ 30, 反思与感悟 对于va,当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a>0才 全国名校高一数学优质学案、专题汇编（附详解）有意义；（2）只要帖有意义，va必不为负.跟踪训练1若ya2 2a+ 1 = a 1,求a的取值范围. 考点 n次方根及根式概念 题点 根式化简中变量的取值范围-a 10, - - a1.类型二利用根式的性质化简或求值 例2化简:(1) V(3- n4; 寸(a b)2

4、 (a>b);(3) /a1)2 + 寸(1-a)2 + -a)3.考点根式的化简 题点根据根式的意义进行化简 解 (1)p(3-兀)4= |3冗丰 n 3.(2) p(a-bf = |a b|= a b.(3)由题意知 a 10，即卩 a1.原式=a 1 + |1 a|+ 1 a = a 1+ a 1 + 1 a = a 1.反思与感悟 n为奇数时 幅）=百=a, a为任意实数均可；n为偶数时，a0,Maj才有意义，且Gaj= a；全国名校高一数学优质学案、专题汇编（附详解）考点P八、题点条件根式的化简而a为任意实数羽n均有意义，且= |a|.跟踪训练2求下列各式的值: §(

5、3a 3)4 (aw 1);百 + q（1-a）4.考点根式的化简 题点根据根式的意义进行化简r 1, aw 1, Va3 + 勺(1 a)4= a+11-a| = 12a-1, a>1.类型三有限制条件的根式的化简设3<x<3,求寸X2-2x+ 1 -X2 + 6x + 9的值.根式的化简解原式=yJxf - /(x+f = |x-1|-|x + 3|,-3<x<3,当一3<x<1 时，原式=(X 1) (x + 3)= 2x 2;当 1Wx<3 时，原式=(X- 1) (X+ 3)=- 4.全国名校高一数学优质学案、专题汇编（附详解）全国名校

6、高一数学优质学案、专题汇编(附详解)一 2x 2, 3<x<1, 原式=L 4, 1<x<3.引申探究 例3中，若将“3VXV3”变为“xw3”，则结果又是什么?解 原式=y（X寸（x+ 3=|x 1| |x+ 3|.-xW 3, - - X 1<0, x+ 3 W 0, 二原式=（X 1） + （x+ 3） = 4.反思与感悟当n为偶数时，百先化为|a|,再根据a的正负去绝对值 符号.跟踪训练3已知x 1,2，化简(01)4 +沿4x+ 4)3 =考点P八、根式的化简题点条件根式的化简答案8解析1.已知X5 = 6,则x等于（）A.V6考点B. 逅 C. 56

7、D. ±6题点n次方根及根式概念答案2. m是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）A.m B.m c.m d.vm考点n次方根及根式概念题点n次方根及根式概念答案3. （4/2）运算的结果是（）B2 C. i2 D.不确定考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案4.V8的值是考占P八、根式的化简题点根据根式的意义进行化简n次方根及根式概念答案 卡（>/4ab1）35.化简:_（>f “ 丿_（a>0, b>0）= 丿ZC 八 J /3.； 2（0.1） （a 七）2全国名校高一数学优质学案、专题汇编（附详解）全国名校高一数学优质学案、专题汇编(附详解)3

8、3O3“8解析 原式=2 'a3 b 3 = 21 + 3x 10-1 = 5.10 a2规律与方法1.根式的概念：如果xn = a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1, 且n N*.n为奇数时，x= a, n为偶数时，x=±a(a>0);负数没有 偶次方根，0的任何次方根都是0.2.掌握两个公式：(1)( Va)n= a; (2)n为奇数，问=a, n为偶数，§0a, a>0,= |a|=<L a, a<0.3.个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数 还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.一、选择题1.已知m1

9、0= 2,贝J m等于()B.-版 C.回 D. ±12考点P八、n次方根及根式概念题点n次方根及根式概念D.0答案解析 m10 = 2, m是2的10次方根.又 10是偶数， 2的10次方根有两个，且互为相反数.- m= 士1龍.故选D.2.化简寸（1 2x）2（2x>1）的结果是（）考点p八、根式的化简题点条件根式的化简(1 2x)2答案C解析/ 2x>1, 1 2x<0, 2x|= (1 2x) = 2x 1.3 .化简号一磊的值是（代2C. 士2考点p八、根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案B解析i)=8 3312525.4. 化简寸(e1 + e)2

10、4等于(A. e e1.1C.e+ eC. 2x 1全国名校高一数学优质学案、专题汇编（附详解）考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案解析e1 + e)2 4=寸2 + 2e 1e + e2 4=7 e- 2-2 + e2 =寸(e-e)21 1=|e e|= ee.5. 若2<a<3,化简寸（2 a）2 +帖 a）4的结果是（）C. 1考占p八、根式的化简题点条件根式的化简答案解析-2<a<3, - - a 2>0, a 3<0,二 P(2- a f +寸(3-a)4 = |2 a| +13 a|6. 5 2/6的平方根是(A.V3 +边ca/2V3

11、)B.也-V2D. V30, V2V3考点 n次方根及根式概念 题点 n次方根及根式概念答案 D解析 珅526 = ± 3-2托 + 2 =羽-/2)2= ±V3-Q2).7.化简寸一 X3的值是（A . X 寸xxyx根式的化简根据根式的意义进行化简C.考点P八、题点答案)B. xJXD. xyjXC要使寸-x?有意义，需一 x0,即x<0.V-x3 = a/(-x = |x/x =-川x.解析8.已知二次函数值为（）f（x）= ax2 + bx+ 0.1的图象如图所示，贝J 咖b）4的A. a+ bB. - (a-C. abD . b-a考点p八、根式的化简题点条

12、件根式的化简答案D解析由图知 f(- 1)= a-b + 0.1<0,J- ab<0.= |a- b|= - (a- b) = b- a.二、填空题9 .若 x<0,则 |x| 寸X2 + 凶=考点根式的化简题点条件根式的化简答案、x解析x<0, 原式=x ( X)+x=x+x+ 1= 1.10.考点根式的化简题点二重根式的化简答案解析方法(迈-1 )2 最-1 (V2+ 1)2=V2 +1（迈-仃(/2+1X边1)方法二3 223+ N2罕肠厂=3 2V2(3 + 2 寸2X3 2/2)11.把 aa移到根号内等于考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案a/a解析

13、要使寸a有意义，需a<0.|a|a|2 -1/ 27、_2J12.计算:W丿亏 + 0-002P 10/5 2) 1+ n =答案1679解析原式=(2 2+ 500? + 1< 2丿(/5 2x75+ 2)4=9+1671/51/520+1 =歹三、解答题r nla+ a丿13.设 f(x) = pX2 4，若 0<aW 1, 考点根式的化简 题点条件根式的化简解 f (a+a=f 11la+1丿2 - 4=2 1a+a2 2fa1-)= la 1 ,I a丿 I a 1因为0<aw 1,所以a<a， 1 故 f la+ a尸a a.四、探究与拓展14 .化简(1- a) 詁芦考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案解析方法一 要使函数有意义需a- 1>0.(1- a)a 界 sb.方法二要使函数有意义需a 1>0 , (1 a)V J = (1 (a-1)3-1.a)一 =(a 1)4 a- 1“15.计算:（1）承-遐+範孫; - 8f +-2)4 -习(2-V3)3 ；根式的化简314丿43+ 1) + 22 0157 2 014)°.考点题点根据根式的意