正弦定理的导学案

1、必修 51.1.1 正弦定理教学设计、教材分析：本节课的内容是普通高中课程标准教科书人教版 数学（必修五） 第一章解 三角形的第一节第 1 课时内容正弦定理，此节是初中“解直角三角形” 内容的直接延拓。也是三角函数一般知识在三角形中的具体运用，也是为后续 内容余弦定理，应用举例，解斜三角形提供知识上的助力（支撑），也是解决 物理、工业生产和日常生活三角问题的计算的一个重要工具，因此有广泛的应 用价值。而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题，不可 忽视。二、学情分析：我所任教的班级是我县一所农村普通中学高一 （2）班的学生， 是全县生源最 差的班级，中考等级为B、C、D，有零星的

2、A尾等级，从上学期市统测来看， 也不理想，全班只有 2 人及格，大部分成绩不及格。大多数学生不仅基础薄弱， 而且行为习惯也差， 差到连语文就不学， 何况数学呢 ?学习缺乏主动性， 有难度。 作为高一学生，同学们已经学习了解直角三角形，任意角的三角函数及三角恒 等变换，向量等知识，在正常的情况下，老师稍加点拨、引导，此节的内容正 弦定理的证明还是能懂的，但是针对我们班级的学生，可能就有难度、有问 题。我估计正弦定理的证明及推导。如果让他们自已探究是有障碍的，难以完 成教学任务（目标）。听懂就算不错了。因此是讲还是探究目前还拿不定。、教法学法：教法 :采用分组教学，任务到组，任务到个人，让每位学生

3、都动起来，交流起 来，有事可做。紧张起来，不在那里闲呆着。主要模式为自主探究加讲练结合， 结合例题教学，变式教学，情境教学进行全方位，立体式的教学授课。由于本班基础差，教学内容注重低起点、小步子、低难度、低容量。反复讲 练常规题，尽量做好常规题，落实常规题、基础题。落实到位，多关注学生， 让课堂落实、有效。（打造适合农村中学的一堂课） 。学法：指导学生掌握 “观察猜想证明应用” 。特殊到一般的思维 方法，分类讨论的数学思想方法。 ，一题多解（方法多、解法优，在考试中才占 优势，做一道题解题方法不要在一棵树上吊死）采取多种方法解题在高考中才 能游刃有余，还有通过例题讲解及变式练习来达到学生记住正

4、弦定理，来突出 深化重点，突破难点，如何突？转化法（由特殊到一般转化） 、鼓励和引导法， 激励。 突出重点的方法是：发挥团队的力量分组讨论法来突出正弦定理的推导；讲 练结合，精选例题、练习和问题归纳法突出正弦定理的应用。四、五、课型：定理教学课： 教学目标：（可操作可行）1、2、3、4、识记正弦定理。（准确率达 80% ）。 探索并证明正弦定理。 （弄懂率达 20%） 正弦定理的简单应用。 （运用例题强化定理） 。 数学思想方法。六、教学重点：定理的证明及简单运用。七、定理的证明：八、教学课时：2课时第一课时：探索并证明正弦定理以及简单运用。（已知两角一边）第二课时：应用正弦定理解三角形。（求

5、角的多解）附导学案:姓名： 班级： 第学习小组：组长签名： _学习目标：1、熟记并写出正弦定理的内容（准确率达100%）。2、体验探索和证明正弦定理的过程。3、掌握正弦定理的变形及简单应用。4、知道特殊到一般的数学思想方法。学习重点：学习难点：学习过程：情境课题:1.1正弦定理（1）的导学案正弦定理的探索和证明及其简单应用。正弦定理的推导与证明：一、问题情境：1. 宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想知 道，那遥不可及的月亮离我们有多远？情境2. 某同学在讲治大雄村搞实践活动丈量土地时，有一农户家的菜地呈三角形，三 高无法测量，三边可测，问面积何求？二、合作探究：

6、问题1:在初中，我们已经学习了锐角三角函数和直角三角函数这一章，请回忆 Rt ABC的边角关系。问题 2:在 Rt ABC中，sin A ,sin B ,sin C 它们之间有联系吗？能否把这个直角三角形中的所有边和角用一个统一的式 子表示出来。问题3：在Rt ABC中以上式子是成立的，但是对于一般的三角形，以上关系是否成立？ 问题4：如果把直角三角形改写称锐角三角形，其他条件不变，你说这结论还成立吗?请推导一下。问题5:把锐角三角形改为钝角三角形，其他条件不变，结论还成立吗？请推导一下。问题6：综上，你能否得到更一般的结论？你能用比较精炼的语言把它概括一下。问题7：这个定理还有没有其他的表现

7、形式?问题&这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角形中的哪些问题?问题还有其他方法可以证明吗？（面积法）问题10:在 ABC中，分别以a,b,c为底边，求出相应边的高，并求出ABC的面积b结论：对任意 ABC都有卫C =问题11:你能利用三角形的面积公式，做适当的变形，探寻出各角与其对边的关系吗?三、讲解例题，巩固定理:例： 在 ABC中，已知 a J3 , B 45 , A 60，求 b.变式1、在 ABC中，已知a J3 , C 75 , A 60，求b .变式 2、在 ABC中，已知 aJ3 , B 45 , sin A，求 b。23变式3、在ABC中，已

8、知a, b血，sin A =，求sin B思考：在 ABC中，已知b 2a , B A 60 ,求A。易错易混淆题:1、已知 ABC中，若 A： B： C= 1 : 2 : 3，贝U a:b:c =2. 已知 ABC中，sinA:sin B : sinC 1:2:73，则 a: b:c =3、若 sin A :sin B : sinC 1:2:3 的 ABC是否存在？能求 a、b、c 吗?四、自主小结，总结方法。五、自我反思、各小组收集问题、集中答疑。六、布置作业:ABC 中，B 135 ,C15,a 5,则此三角形的最大边长为2. 在3. 在ABC中，已知a ,ABC中，已知a 3,45 ,

9、 B 75 ，则"c60 , B 30，则 b4.已知 a b 12，B 45 ,60则a5.在 ABC 中，AB J3,A 45 , C 75 ,则 BC =6有关正弦定理的叙述正弦定理只适用于锐角三角形：正弦定理不适用于直角三角 在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值：在ABC中，sin A: sin B : sin C a : b : c其中正确的序号是过关检测题:（本卷每题2分，总分10分）姓名班级分数1、请写出正弦定理的表达式:2、在 ABC中，a= 3, b = 5, sin AA.1D 5 cf1B. 5 C 弋 D3、在A.C.ABC中，一定成立的等式

10、是asinA bsi nB B.asin B bsinA D.(acosAacosB)。bcosBbcosA4、在 ABC中,a= 2,b= 3,则.B=(）。sin322不确定込D.5、在 ABC中,已知 a=8, B=6C0，C=75 则b=( :A、4丿2B 、4丿3 C 、4屁D32、 ）。教学反思：我感到在课堂上，问题串的设计非常重要，设计合理,符合学生认知规律，学生的思维都会被激发出来，课堂氛围自然会很活跃，整个 课堂也会形云流水一般顺畅，上过课之后会有一种很透彻的感觉， 很幸福，我想 这就是做老师的一种幸福。当然，这对我们提出了很高的要求，一方面要十分了 解学生，另一方面精心设计

11、教案。一堂课，用哪些教学方法，何时用，课堂节奏 如何把握，问题何时提出，怎样提出，都需要我们用心琢磨。课堂是动态的，因 而它更具有挑战性和多变性，作为老师，我们需要不断提高自身素质，增强课堂 调控能力，使每一堂课都很精彩，使学生更留恋我们的课堂。在教学中，设计上 尽量做好铺垫，使学生克服对数学的恐惧心理， 激发他们的思维，给他们更多的 机会表达自己的想法，让他们有争论的机会，树立他们学好数学的信心提高他们 的兴趣，使学生认识到自己是学习过程中的主人。 使学生明白只有自己亲自参与 新知识的发现、独立解决问题、善于思辩、习惯于归纳整理，才能真正锻炼自己 的思维、开发自己的智力、发展自己的能力。否则

12、，仅仅知晓一个个问题的现成 答案，自己的思维没有得到任何的锻炼,教学设计与反思模板注:填写表格时，请您删除蓝色部分课题：必修51.1.1 正弦定理教学设计科目：数学教学对象：高一课时：2单位:提供者：李克祥、教学内容分析正弦定理”是普通高中课程标准数学教科书数学（必修5 ）（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角 形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因 此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？ 还有别的证法吗？这些都

13、是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理 教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体 会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养 学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。2、过程与方法：让学生从已有的知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理

14、等方法，体验数学发现和创造的历程。3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现 共同探究、教学相长的教学情境。三、学习者特征分析学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理 的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，课程标准强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使 学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正

15、弦定理提供一种亲和 力与认同感。四、教学策略选择与设计培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如 何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构 的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中， 运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建 构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体， 教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。五、教学重点及难点重点：正弦定理的发现

16、和推导难点：正弦定理的推导六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具 体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）教师活动学生活动设计意图一、情境导入:我会利用多媒体放映一幢建筑物（图1），并提出如下问题:（1）如何用量角器量出测量建筑物的高度 h?（2）如果建筑物前有小湖等障碍物，又该如何测量其高度在学生进行思考、讨论后,根据同学的思路，我会引导学生分别建立如图1和图2的数学模型，利用初中的解直角三角形知识求解。01最后引入这节课的问题:学生思考，讨论。设计意图：兴趣 是最好的老师。如果 一节课有良好的开 头，那就意味着成功

17、的一半。因此，我通 过从学生日常生活 中的实际问题引入， 激发学生思维，激发 学生的求知欲，引导 学生转化为解直角 三角形的问题，在解 决问题后，对特殊问 题一般化，得出一个 猜测性的结论猜想，培养学生从特 殊到一般思想意识， 培养学生创造性思 维能力。把全班分组八个组（平时上课时候，已经分好组，各组差异不大），教室左边四个组探究锐角三角形，另四个组探究钝角三角形， 引导学生讨论探究： 式对于锐角、钝角三角形是否成立？如成立，怎么证明？学生活动：分组讨论探究，我走动观察，收集信息，对有困难的学生进行启发，对证明有进展的进行全班表扬，鼓励其继续努力。教师讲授：首先，我利用的多媒体动画，显示:a不

18、管三角形的边、角如何变化，比值：二一，,sin A sin B的值都会相等。sin C正弦定理的证明方法有：作高法、面积法、外接圆法以及向量法等，我将根据学生探究的实际情况利用多媒体显示这四种方法的一种或两种，其中向量法证明钝角三角形的正弦定理书写过程如下:如下图，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C1。因为，向量AC与BC在y轴上的射影均为即c1O=bsi nA,OC1|=艮CsinB=asinB，所以bsi nA= asinB同理,所以sin Aasin Aa bsin BCsin Ccsin A sin B sin C若A为锐角或直角，也可以得到

19、同样的结论。于是，我们得到了这样的定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相“再创造”，体现了数学新课标所倡导的积极主动，勇于探索的学习方式的课程理念。2 、正弦定理的证明即是重点，这里,我采用多媒体技术b来突出重点，直观且效率高，与数学新课标注重信息技术与数学课程的整合的理念相符。3、对我的教学行为分析。新课程不仅要求教师的理念要更新，而且要求教师的角色也作相应的变化，在这里，我的角色是学生学习的促进者、帮助者和引导者。例1某地出土一块类似三角形E刀状的古代佩玉，其中一角已经破损。现测得如下数据： BC=2.67cm ,等。即 a b c sin A sin B sin C四、定理的应

20、用举例CE=3.57cm，BD=4.38cm , B= 45 , C=120。为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.001cm)。设计此环节目的有三，其一是进一步深于一点A，在ABC 中,A=180(B+C)= 15BCsin AACsin B5化学生对定理本的理解，突出重（正弦定理的用）；其二，从例1的同理,BCsin B7.02sin A(cm)AB 8.60 (cm)请两个同学到黑板上 进行解答并进行简单讲解小结中，学生可以体会方程的思想来思考、解决问题；其三,解 如图5,将BD,CE分别相交培养学生养成及时已知两角及任一边，利用正弦定理可求另两边进行归纳的意识，提小结1 （用方

21、程的思想来解释）高其总结能力。A . asinA=bsinBB. acosA=bcosBC. asinB=bsinAD. acosB=bcosA及一个角（有唯一解）。例2在 ABC中，一定成立的等式是（小结2如果等式两边是边（或者角的正弦）的齐次 式，那么就可以利用正弦定理，将边（或正弦）的齐 次式换成对应正弦（或边）的齐次式。七、教学评价设计过关检测题：（本卷每题2分，总分10分）姓名班级分数1请写出正弦定理的表达式:2、在 ABC中，a= 3, b = 5, sin AA.5 B - 5 C .零 D3、在A.C.ABC中，一定成立的等式是asinA bsi nB B.asi nB bsi nA D.(acosAacosB)。bcosBbcosA4、在 ABC中,c, sina= 2，b= 3,则a sin B2C.52b-3D.不确定5、在 AB