直线与圆大题训练

1、1 已知点A ( a ,3 ),圆C的圆心为(1,2 ),半径为2 .(I )求圆C的方程；(II )设a=3,求过点A且与圆C相切的直线方程；(III )设a=4,直线l过点A且被圆C截得的弦长为2灵，求直线l的方程;(IV)设a=2,直线li过点A,求li被圆C截得的线段的最短长度，并求此时li的方程. 2 22. 已知圆 C: x 1 y 24，直线 l : y kx 1 2k。(l) 求证：直线l与圆C恒有两个交点；(n)求出直线l被圆C截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的 k的值；ULUV ULUV(m)设直线l与圆C的两个交点为M N,且CM CN 2 (点C为圆C的圆心)， 求

2、直线l的方程。3.已知圆C经过两点A (3, 3), B (4, 2),且圆心C在直线x y 5 0上。(1) 求圆C的方程；(n)直线l过点D (2, 4)，且与圆C相切，求直线l的方程。若Q (1, 0),求切线QA QB的方程; 求四边形QAM面积的最小值； 若|AB|=也，求直线MC的方程。34. 已知圆M x2+ (y-2 ) 2=1, Q是x轴上的动点，QA QB分别切圆M于A, B两点。 (1)(3)(2)5.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x VSy 2 0均与圆C相切.(1) 求圆C的标准方程；MPN为锐角，求实设点P 0,1，若直线y x m与圆C相交于M N两

3、点， 数m的取值范围.参考答案1. (I ) x(II ) 3x4y21-1），(III ) yy 2 24 ； (II )k -x，当直线的斜率不存在时也满足题意；（）由直线被圆截得的弦长为275,故而圆心到直线的距离为d J2 (1)见解析；(2) 2近，k 1 (3) y 1【解析】试题分析：（1）直线l : y kx 1 2k可化为y 1 k X 2，证明直线过圆2 2C: x 1 y 24的内部定点，即可证明结论； 弦的中点与圆心连线与弦垂 直时弦长最小，利用勾股定理可得结果；（3）设CM"与CN的夹角为，由CUUV Cn2，可得cos 1，从而 120，可得点C到直线I的

4、距离为1，利2用点到直线距离公式求出列方程求得 k 0，从而可得直线I的方程.试题解析：（1）直线l : y kx 1 2k可化为y 1 k x 2，因此直线过定点 A （2,府 1,利用点到直线的距离解出k的值即可 得直线方程；（IV）首先判断点在圆内，当l1与AC垂直时，直线截圆所得线段最短， 可得直线11的方程，再求出点到直线的距离即可求出弦长试题解析：（I ）圆C的方程为x 1 2 y 2 24 ;（II ）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为y 3 k X 3，即kx y 3k 3 0则圆心到直线的距离为dk 2 3k 32，解得kI，即切线方程为3x 4y 21 0，当斜率不存在

5、时，直线方程为x 3，满足题意，故过点A且与圆C相切的直线方程为3x 4y 210或X 3 ；（III ）设直线方程为y 3k X 4，即 kxy 4k 3 0，由于直线被圆截得的弦长为2漿，故而弦心距为d|k 2 4k 3J1 k2耳空1,解得k 0V1 k2或k -，即直线l的方程为4y -x或y 3；4当li与AC垂直时，直线截圆所得线22(IV) 2 13 24，二点 A在圆内,段最短， kAC 1，二直线l1的斜率为1,故直线l1的方程为x y 5 0，圆心到直线li的距离为J=5 近，故弦长为2店亦 242 .4的内部显然该点A在圆C : x 1 所以圆C的方程为x 3(2) 当直

6、线I的斜率存在时，设斜率为k ,则直线方程为y4 k X 2，即kx y 2k 40因为直线I与圆相切,直线I的方程为3x 4y 22 0当直线I的斜率不存在时，直线I方程为x 2 此时直线I与圆心的距离为1 (等于半径) y 2 2 所以直线I与圆C恒有两个交点。圆心C (1, -2 ),半径r 2, AC721所以弦长此时kAC屮1 22 11。所以k(3)设CM'与CNT的夹角为uuuv uuu,因为CM CNuuuv CMuuivCN cos 4cos 21所以cos 丄，从而2120，所以点C到直线I的距离为1k 2 1 2k1，所以所以直线I的方程是y223. (1) x

7、3 y 21 (2)直线 I 的方程为 3x 4y 22 0或 x 2【解析】试题分析：(1)两点式求得线段AB的垂直平分线方程，与直线x y 5 0验2，各联立可得圆心坐标，由两点间的距离公式可得圆的半径，从而可得圆的方程； 证斜率不存在时直线x 2符合题意，设出斜率存在时的切线方程y 4 k X根据圆心到直线的距离等于半径求出k,x y 10,/口 X上由x y 5 0得y，从而可得直线I的方程为43x 4y 220.试题解析：(1)因为圆C 与 X轴交于两点A( 3,3),B( 4,2),所以圆心在直线x3,2.即圆心C的坐标为(3, 2)半径rBC M2 O2所以，X 2符合题意。综上

8、所述，直线I的方程为3x 4y 220或x 2。.求圆的方X, y的方程即可以根.本题(1)【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、圆的切线方程，属于中档题 程常见思路与方法有：直接设出动点坐标 x,y ，根据题意列出关于 可；根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；待定系数法, 据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可 是利用方法解答的.4. (1) 3x 4y 3 0 和 x 1 ； (2)/3 ; (3) 2x 屈 25 0或 2x 屈 25 0 【解析】试题分析：(1)讨论直线的斜率是否存在，根据圆心到直线的距离等于半 径求出直线的斜率；(2) 根据面积公式

9、可知 MQ最小时，面积最小，从而得出结论；(3) 根据切线的性质列方程取出 MQ的值，从而得出Q点坐标，进而求出直线 MQ勺 方程.试题解析：(1) 设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1, 则圆心M到切线的距离为1,所以l2m 11，所以m= 4或0,Vm213所以QA QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1oMQ I MA|273。(2) 因为MALAQ所以 S 四边形 MAC=|MA| |QA|=|QA|= d 所以四边形QAM面积的最小值为码。(3) 设 AB与 MQ交于 P,贝U MPLAB, MBLBQ所以|MP|=n 座 -0 332在 Rt MBC中, |MB| =|MP|

10、MQ|，即 1 = -|MQ|，所以 |MQ|=3,所以 x2+ (y-2 ) 2=9o3设 Q (x，0)，则 x2+22=9,所以 x=± 苗，所以 Q (±75，0)， 所以 MQ的方程为 2x+75y+275=0 或 2x- 75y-2 75=0。5. (1) x 2 2 y24 ; (2)227?,1 爲(1 亦,22丘2 2【解析】试题分析：本题考查圆的标准方程的求法以及用向量解决直线和圆位置关系中的角度的问题。(1) 设出圆的标准方程，根据题意得关于参数的方程组，求得参数可得圆的方程。(2) 利用代数法求解，将 MPN为锐角转化为 醐PNi 0求解。试题解析:

11、（1）设圆c的标准方程为：Ab+卜-疔"兀"0）,3 > 0 b = Q11 R rI说一伍+ 2|_厂故由题意得I，解得a = 2h = 0r- 2圆C的标准方程为:（工一疔+八4y X m由x 22 y2消去y整理得42:2 + 2（删一2）疋 + 删° = 0 直线y X m与圆C相交于M N两点, .4 = 4（阳-2）2 -8朋'>0 解得-2 2/ <f?t <2 + 2/ ,码+乃=2-覘兀1花=疋则2 毗=山仍-1）¥JV=E-1）.X m 1 x2m 1依题意得 PM PN x1x2 y1 1 y2 12x1x2 m 1 X| x2m 12 2m m 12 m m 1整理得m2 m 10，-l-nA -UJ5脑 <m > 解得2 或 2 又-2 2j2 <<2-2-j2t-2-逅士込U（士主T4迈故实数m的取值范围是22.点睛：BC2），（1）对于 BAC为锐角的问题（或点A在以BC为直径的圆外，或AB2 + AC 都可转化为AB AC 0，然后坐标化，转化为代数运算处理。（2）对于直线和圆