直线与圆的综合应用

1、高考数学习题复习经典高效专题学案(附详解)直线与圆的综合应用1. (2016福建四地六校联考)已知矩形ABCD的对角线 交于点P(2,0)，边AB所在的直线的方程为 X+ y 2 = 0,点(一 1,1)在边AD上所在的直线上.(1) 求矩形ABCD的外接圆的方程；(2) 已知直线 I: (1 2k)x + (1 + k)y 5+ 4k = 0(ke R)，求 证：直线I与矩形ABCD的外接圆相交，并求最短弦长.(1)依题意得AB山D，所以kAD = 1.y 1 = x+ 1,即卩 X y+ 2= 0.|x+ y 2= 0, 由4lx y+ 2= 0,所以AD的方程为I x= 0,得即 A(0

2、,2).Iy= 2.由已知得矩形 ABCD的外接圆是以 P(2,0)为圆心，|AP| =22为半径，其方程为(x 2)2 + y2 = 8.(2)l: (x+ y 5) + k(y 2x+ 4) = 0,x + y 5= 0,y 2x+ 4= 0,I x= 3, 所以M(3,2).I y= 2.即直线I过定点M(3,2)在圆内，因为(3 2)2 + 22 = 5<8，所以点所以直线I与圆相交.7(3-2)2 +(2-0)2 = V5,而圆心P与定点M的距离d = 所以最短弦长=2寸85 = 2/3已知圆P在x轴上截得亦.2. 在平面直角坐标系 xOy中， 的线段长为2/2,在y轴上截得的

3、线段长为求圆心P的轨迹方程;若P点到直线y = X的距离为 ¥，求圆P的方程.11 (1)设P(X, y),圆P的半径长为r, 由题设知 y2 + 2= r2, X2+ 3= r2, 从而 y2 + 2 = X2 + 3, 故P点的轨迹方程为y2 X2 = 1.|Xo yo| y2 设P(Xo, yo)，由已知得飞厂9又点P在双曲线y2 X2 = 1 上,P- 丨 |yo xo|= 1, 从而得yO1.|xo yo = 1, 由彳lyoxO = 1! Xo = 0, 得4yo= j此时，圆P的半径r = V3.I xoyo = 1,由b 21yo Xo = 1也.故圆p的方程为X2

4、+ (y+ 1)2= 3 或 X2+ (y 1)2= 3.I xo= 0,得4此时，圆P的半径r =yo = 1.3. (2O17新课标卷n )设0为坐标原点，动点M在椭圆C: y + y2= 1上，过M作X轴的垂线，垂足为N,点P满足Np = & nM.(1)求点P的轨迹方程；设点Q在直线x= 3上，且OP PQ = 1,证明：过点 P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.(1)设 P(X, y), M(xo, yo),贝y N(Xo,O), NP=(x x。，y), NM = (O, yo).2由 NP= y/2 NM得 x0= x, y0= 2 y.2 2因为M(xo, yo)在C

5、上，所以ff(1) 设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线 =6上，求圆N的标准方程；(2) 设平行于OA的直线I与圆M相交于B, C两点，且 BC = OA，求直线I的方程；设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TA + TP = TQ,求实数t的取值范围.2 + y2 = 1.因此点P的轨迹方程为X2+ y2= 2.证明：由题意知 F(- 1,0).设 Q(- 3, t), P(m, n),则OQ= (-3, t), pF = (- 1-m,- n), OQ pF = 3 + 3mtn, OP = (m, n), PQ = ( 3 m, t n).由 Op PQ =

6、1 得一3m- m2 + tn - n2= 1.又由(1)知 m2+ n2 = 2,故 3+ 3m tn = 0.所以OQ pF = 0,即 OQiPF.又过点P存在唯一直线垂直于 OQ ,所以过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.0X4. (2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已 知以 M为圆心的圆 M : X2+ y2 12x- 14y+ 60= 0及其上一 点 A(2,4).圆M的标准方程为(x 6) (m+ 5) 所以 25 =5+5,解得 m= 5 或 m= 15.故直线I的方程为2x y+ 5= 0或2x y 15= 0.(3) 设 P(X1, yd, Q(X2

7、, y2).因为 A(2,4), T(t,0), TA+ TP= TQ ,+ (y 7)2= 25, 所以圆心M(6,7)，半径为5.由圆心N在直线x= 6上，可设N(6, yo). 因为圆N与x轴相切，与圆M外切， 所以Ovyo<7,圆N的半径为yo, 从而 7 yo = 5 + yo,解得 yo= 1.因此，圆N的标准方程为(x 6)2 + (y 1)2= 1.因为直线I OA,4 0所以直线I的斜率为=2.2 0设直线I的方程为y= 2x+ m,即 2x y+ m= 0,|2X 6 7+ m| m + 5| d =则圆心M到直线I的距离V5=込.因为 BC = OA =寸22 + 42= 2寸5,22 BCo而 MC = d + 2 ,高考数学习题复习经典高效专题学案（附详解）1X2 = Xi + 2 t,所以Iy2 = yi + 4.因为点Q在圆M上，所以(X2 6)2 + (y2 7)2= 25. 将代入，得(Xi t 4)2 + (yi 3)2= 25.于是点P(xi, yi)既在圆M上，又在圆X (t + 4)2 + (y 3)2= 25 上，从而圆(X 6)2+ (