南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题及答案

1、南昌大学第三届高等数学竞赛（理工类）试题序号： 姓名：学院：专业： 学号： 考试日期：2006年9月24日题号一一三四五六七八九十十二总分累分人 签名题分15156677877787100得分注：本卷共七页，十二道大题，考试时间为8:3011:30.一、填空题（每空3分，共15分）得分评阅人1、lim n'n3 3n =. n2、心形线r 21 cos 所围成的面积是.1 ln 1 x ,4、螺旋线x°dx =2cost, y 2sint, z t在2,0,0处的切线与z轴的夹角为 n25、级数 11 enx的收敛区间是选择题（每题3分，共15分）1、设f x在x a的某个邻

2、域内有定义，则f x在x a处可导的一个充分条件是（ f a h f a h 七七(A) lim存在.h 02hf a f a h2十七(C) lim2存在.h 0h22x yx22、设二元函数f x,y x2y2 ,0,x2f afah十十(8) lim5存在.h 0 h322f a h f a h -(D) lim2存在.h 02h2y2 0,则下面叙述中正确的是()y2 0，得分评阅人(A) f x,y在点0,0处的极限不存在.(B) f x,y在点0,0处的极限存在但不连续.(C) f x, y在点0,0处连续但不可微.(D) f x, y在点0,0处可微.3、方程y 5y 6y x2

3、e2x的一个特解可设为()(A) yax2bx e2x.(B)yax2bxce2x.22x2.2x(C) yaxc xe .(D)yaxbxcxe .4、 设z x2 f -yr , f有连续的导数，则xz 2yz()xx y22(A) 2z.(B) 2x2z.(C) z.(D) x2z.5、级数 1 n sin/的敛散性为（）n 1n（D）绝对收敛.（A）无法判断，与有关.（B）发散.（C）条件收敛.得分评阅人三、（本题满分6分）b b a设 b a 0,计算 1x_x_dx 0 In x得分 评阅人四、（本题满分6分）设f x在0,1上二阶可导，且f0 0,f1 1, f 0 f 10.证

4、明在0,1内至少存在一点使|f | 4.得分评阅人设f x在 ,2 一一A 3,到 B 1,2 3五、（本题满分7分）内有连续导函数，求的直线段.1 y2 f xy “ x 2 . dx y f xy 1 dy ,L是从点得分 评阅人设f x在 , f x y f x f，包有六、（本题满分7分）内有定义，且f 00, f 0存在，对于任意x,yy ,求 f x .得分评阅人七、（本题满分8分）111判别级数 1 ini的敛散性，并求lim2nn 1 n nn inn得分 评阅人八、（本题满分7分）有连接两点A0,1、B 1,0的一条凸曲线，它位于弦 AB的上方，Px,y为曲线上任意一 点，已

5、知曲线与弦AP之间的面积为x3,求曲线方程.得分评阅人九、（本题满分7分）设a 0,b 0,c 0, 为长方体 x,y,z :0 x a,0 y b,0 z c 的外侧，f x , g y , h z 为连续函数，计算 o f xdydz g y dxdz h z dxdy.得分评阅人（本题满分7分）求极限lim n2_221：2；3221212nnn得分评阅人1 '、（本题满分8分）.n 1 2n求级数_x_的和函数,并指明定义域.n i n 2n 1得分 评阅人十二、（本题满分7分）求圆锥z Jx2 y2被圆柱x2 y2x所截部分的面积.南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题答案填空

6、题1、 3.2、63、ln2.84、1. 2arccos=或 arcsin或 arctan2.5.55、1,1、B选择题2、C3、D4、A5、Cdyb ydx xab 1=ady0xydx,y 10dy_ b xa1 y-dy 1=ln 1四、=ln 1In 1 a0与x 1处分别将展成一阶泰勒公式2fx2,2ff20,1 .上两式将1 ，、一 ， 一2代入再相减，得8.因为其中max f0,1 .从而21 y f xy4.x 2 .y f xy 1 yf xyxyfxy所以曲线积分与路径无关.设C1,i，则ACCB134-1 -f322x了dxdy六、令=3+f x lim -0知对任意x,

7、2x3dxy dy0.于是df xf xIn f xf ce将f 01代入得c 1 ,故f x e七、由limx 0x In 1 x1 ,日一行 lim2 nln 1 1 n于是n 1ln n收敛,从而limnIn n存在,limnInnln nln 由limn1ln nlimn1 12ln n八、设所求曲线方程为由题意得f 10且x dx两边求导并整理得6x2， x解一阶非线性微分方程得6x26x25x九、先计算13 h zdxdy.分为六张平面:x 0取后侧；2 ： x a取前侧;:y b取右侧；5 ：z 0取下侧;c取上侧.4在xoy平面上的投影区域是一线段，故h z dxdy12z d

8、xdyh z dxdy3h z dxdy = 04又 h zdxdy5h000dxdy abh 0a bh z dxdy6dxdyababh c .故有h 0 ab.同理可得f x dydzf xdydzabf十、令12""2 nIn IIn12一2 nIng y dxdzdxdz hab +ac.z dxdyf 0 bc +aclimnIn I10ln1dxln2从而lim In42e 2一、令S x22一2 n32一222-2 nIn即原式=2en 1 n 2n 11 2n,则2 n -2 n2 n一2 n1nlnn i 1.2 i2 nn 1 2n 2x21 x2，从0到x积分得xS x 20dtFT2arctanx, x1.