正余弦定理练习题(含答案)

1、1.2.3.4.5.6.7.9.正弦定理 在 ABC 中，/ A= 45° / B = 60° a = 2,贝U b 等于（ a/6在 ABC中，A . 4眾B/2C.V3已知 a= 8, B= 60 ° C= 75 ° 贝U b 等于（B . 4©C. 4/6在 ABC中，A . 45。或 135在 ABC 中，a : b :A . 1 : 5 : 6A、B、C的对边分别为 a、b、c, A = 60 ° a B.c= 1）D. 2/6）f 32Dp=43, b = 42，则角 B 为（）解析：选A.由正弦定理知 在 ABC中，在

2、ABC中,135 ° C . 45 °D .以上答案都不对:5 : 6，贝U sinA : sinB : sinC 等于（）B. 6 : 5 : 1C. 6 : 1 : 5sinA : sinB : sinC= a : b : c= 1 : 5 : 6.D .不确定a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 A= 105 ° B = 45 ° b = /2,贝 c=（）C. 2d-4A .等腰三角形 已知 ABC中，A鱼A. 2 ABC的内角aa/6cOsA=-，则 ABC 是（）cos B aB .等边三角形C .直角三角形AB=/3, A

3、C= 1,/ B = 30° 则 ABC 的面积为（B亚B. 4D .等腰三角形或直角三角形）C.A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 c=72, b = yf6, B= 120 ° 贝U a 等于（）2C.V3D.V2B、C所对的边分别为a= 43, b = 4, A = 30° 贝U sinB =3在 ABC中，角A、10.在 ABC中，已知a、b、c,若 a= 1, c=a3, C=n，贝A =11 .在 ABC 中，已知/ A = 30° / B = 120 ° b = 12,贝U a+ c=12 .在 ABC 中，a = 2bco

4、sC ,则 ABC 的形状为 .a+ b + c13.在 ABC 中, A = 60 ° a = 6 逅，b = 12, S“BC= 18<3,则 sinA+sinB+sinC =a-2b+ c,c=14. 已知 ABC 中，/ A :/ B :/ C= 1 : 2 : 3, a = 1,则=sin A-2si n B+ sin C115. 在 ABC 中，已知 a= 3迈，cosC = 3, $ abc = 4羽，贝U b=.16. 在 ABC中，b = Wa, C = 30 c = 2，则此三角形有17. 如图所示，货轮在海上以 40 km/h的速度沿着方位角 向线的水平转

5、角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在 航行半小时后船到达 C点，观测灯塔A的方位角是65°组解.（指从正北方向顺时针转到目标方B点观测灯塔A的方位角为110° 则货轮到达 C点时，与灯塔 A的距离是多少?18 .在 ABC中，a、b、c分别为角 A、B、C的对边，若C C 1Aa = 2/3, sinCcosC = -, sin Bsin C= cos；，求 A、B 及 b、c.19. （2009年高考四川卷）在 ABC中，A、B为锐角，角=3，sin B二弯“）求 A+ B 的值；（2）若 a - b=/2 -1,A、B、C所对应的边分别为 a、b、c,

6、且cos 2A求a, b, c的值.20.A ABC 中，ab = 603, sin B= sin C, ABC 的面积为 15如，求边 b 的长.源网1.在 ABC中,2.3.A . 6在 ABC中，aJ3在 ABC中，A . 60 °4.5.6.7.余弦定理1如果 BC= 6, AB = 4, cosB = 3，那么 AC 等于（）B. 2心C. 3/6a = 2, b=73 1, C= 30 ° 则 c 等于（B/2C/5a2= b2+c2+ ©be，则/ A 等于（B. 45°C. 120D . 4/6在 ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分

7、别为 a、b、nA.-6在 ABC中，A . anB.3a、b、c分别是A、B. b心5 nC.6或石B、C的对边，则C. c150 °若（a2+ c2 b2）tanB = /3ac，则/ B 的值为（）J. 2 nD.3或亍 acosB + bcosA 等于（）D .以上均不对C,如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A .锐角三角形B .直角三角形 C .钝角三角形D .由增加的长度决定已知锐角三角形 ABC中，|AB|= 4, |AC|= 1 , ABC的面积为3,则AB AC的值为（）A . 2B. 2C. 4在 ABC 中，b =73, c=

8、3, B = 30° 贝U a 为（ A. V3B . 2迈已知 ABC的三个内角满足 2B = A+C,且AB = 1,10. A ABC 中，sinA : sinB : sinC= （3 1）:（诵+ 1）9.C.羽或23D. 4）D . 2BC = 4,则边BC上的中线AD的长为_ 畅，求最大角的度数.若a = 4, b = 5, S= 53,则边c的值为11. 已知a、b、c是 ABC的三边，S是 ABC的面积，12. 在 ABC 中，sin A : sin B : sin C= 2 : 3 : 4,贝U cos A : cos B : cos C=.113. 在 ABC 中

9、，a = 3>/2, cos C= 3, $ abc =4/3b=.14 .已知 ABC的三边长分别为 AB = 7, BC = 5, AC = 6，则AB BC的值为.a2+ b2 c215. 已知 ABC的三边长分别是 a、b、c,且面积S=4，则角C=.16. （2011年广州调研）三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为.17. 在 ABC 中，BC= a, AC = b, a, b 是方程 x2 2羽x + 2 = 0 的两根，且 2cos（A + B）= 1,求 AB 的长.18.已知 ABC的周长为72 + 1，且sin A+ sin B = J2si

10、n C.（1）求边AB的长；（2）若 ABC的面积为gsin C, 求角C的度数.19.在 ABC 中，BC=/5, AC = 3, sin C= 2sin A.（1）求 AB 的值；（2）求 sin（2A的值.20.在 ABC 中，已知（a+ b + c）（a + b c） = 3ab，且 2cos Asin B= sinC,确定 ABC 的形状.1.在 ABC 中，/ A= 45 ° ° / B = 60 ° ° a = 2,贝U b 等于（ A.承B/2Ca/3解析：选A.应用正弦定理得：=县,求得b=Si nA Si nBsinAC= 75 &#

11、176; °则b等于（C.坏,asinB b=解析：选C.A= 45 °由正弦定理得B. 135° C. a bB-2C. 2解析：选 A.C = 180°- 105°- 45°= 30°D.4,b c /曰y/2 >sin 30SinB si nCSin45正弦定理2. 在 ABC 中，已知 a= 8, B= 60 ° °A . 4眾B . 4百sinA =皿3. 在 ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c, A = 60 ° ° a = 朋，b = 4/2，则角B为

12、（）A . 45 °或 13545 °D .以上答案都不对解析：选 C.由正弦定理 代=七得：sinB = bsBA=¥，又 a>b, B<60° , B= 45°.si nA si nBa 24. 在 ABC 中，a : b : c= 1 : 5 : 6，贝U sinA : sinB : sinC 等于（）A . 1 : 5 : 6B. 6 : 5 : 1C. 6 : 1 : 5D.不确定解析：选 A.由正弦定理知 sinA : sinB : sinC= a : b : c= 1 : 5 : 6.5. 在 ABC中，a, b, c

13、分别是角A, B, C所对的边，若 A= 105 ° ° B = 45 ° ° b =迈，贝U c=（）6在 ABC 中，若 C0S-A= b，则 ABC 是（ cos B a直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形A .等腰三角形B .等边三角形C .解析：选D.=先,先=先，a Sin A cos B sin A sinAcosA= sinBcosB, sin2A = sin2B 即 2A= 2B 或 2A + 2B = n 即 A = B,或 A+ B=才7.已知 ABC 中，AB=/3, AC= 1,/ B = 30。，则 ABC 的面积为（）当

14、, AB>AC ,A並A. 2解析：选 D.-AB =-AC,求出 sinC = sinC sinB/C 有两解，即/ C= 60°或 120°1再由& abc= 2AB ACsinA可求面积.& ABC的内角A、B、C的对边分别为A乐C弋/ A= 90°或 30°.c.当或V3a、b、c.若 c=/2, b = 76, B= 120 °° 则 a 等于（）B. 2D.V2解析：选D.由正弦定理得 吗匚=*,Sin120 si nC1sinC =又 C 为锐角，则 C= 30°, A = 30°

15、;, ABC为等腰三角形，a= c=72.9. 在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c ,若 a= 1, c=V3 , C=；,贝U A =解析：由正弦定理得：一岂=土 ,si nA si nCrriM - A a sinC 1所以 sinA =-.c 2nn又 av c,. AV C= 3，.A=-答案：n10.在 ABC 中，已知 a=字，b = 4 , A = 30° ,则 sinB = 解析：由正弦定理得孟=爲?sinB =沁 a=复=亚=43= 2 .3答案：爭11 .在 ABC 中,已知/ A = 30 ° , / B = 120 °,

16、b = 12 ,贝U a+ c= 解析：C = 180° 120° 30° = 30° , a= c , 由L得 a= 12 冶in30由sinA = sinB得，a=- a + c= 答案：8312 .在 ABC 中，a = 2bcosC ,则 ABC 的形状为 _ 解析：由正弦定理，得a= 2RsinA , b = 2R sinB ,代入式子a= 2bcosC ,得 2RsinA= 2 2R sinB cosC , 所以 sinA = 2sinB osC , 即 SinB osC+ cosB sinC= 2sinB osC , 化简，整理，得sin(

17、B C)= 0. 0°v Bv 180° 0°v Cv 180° 180°V B Cv 180° , B C = 0° B = C.答案：等腰三角形sin 120 ° =坏，a+ b + c13.在 ABC 中，A = 60° a = 6 * * *也,b = 12, S“BC= sV3,则sinA+sinB+sinC =,c=解析：由正弦定理得a + b+ c14.已知 ABC 中，/ A :/ B :/a 2b+ c解析：由/ A： / B :/ C= 1 : 2R=1 = 2si nA sin30

18、°又 a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,a2b+ cC= 1 : 2： 3，a = 1,则 sin A 2sin B+ sin C =2 : 3 得，/ A= 30° / B= 60° / C= 90° ,c= 2Rsi n C,2Rsin A 2si nB + sin C _=2R= 2.sin A 2s in B+ sin C sin A 2si n B + sin C答案：2解析：依题意，sinC= 2-32, $ abc = gabsinC= /s,解得b= 2(3.答案：2书组解.16. 在 ABC中，b = 4(3, C = 30

19、 ° ° c = 2，则此三角形有 解析： bsinC = 4护弓=2护且c= 2, c<bsi nC，二此三角形无解.答案：017. 如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔 A的方位角为110°航行半小时后船到达 C点，A的距离是多少?观测灯塔A的方位角是65°则货轮到达C点时，与灯塔A解：在 ABC 中，BC = 40x1 = 20 ,/ ABC = 140° 110°= 30°, / ACB

20、= (180。 140°) + 65°= 105° 所以/ A = 180° (30。+ 105°)= 45°由正弦定理得BC sin / ABCAC=snA20sin30 °=盂45" = 10®km).即货轮到达C点时，与灯塔 A的距离是10寸2 km.a = 2 电，旳 C-C1 2A18 .在 ABC中，a、b、c分别为角 A、B、C的对边，若,sincos； = 4, sin Bsin C= cos-；，求 A、B 及 b、c.解：由 sinCcos； = 4，得 sinC=；, 又C C (0

21、, n)所以C = T或C =茫6 6由 sin Bsin C = cos2;，得sin Bsin C =刁口 一 cos(B + C),即 2sin Bsin C= 1 cos(B + C),即 2sin Bsin C+ cos(B + C) = 1,变形得cos Bcos C+ sin Bs in C = 1,即 cos(B C)= 1，所以 B= C= 6， B = C=寮舍去),2A = n (B + C) = 3.由正弦定理一七=先=冬，得sin A sin B sin C1b = c=a吧=2736 = 2.sin A ¥2故 A=争 B= n，b = c= 2.A、B、

22、C所对应的边分别为 a、b、c,且cos 2A19. (2009年高考四川卷)在 ABC中，A、B为锐角，角=3，sin B = .(1)求 A+ B 的值；(2)若 a b=>/2 1,求 a, b, c 的值.解：A、B为锐角，sin B =穿, cos B= 1-si n2B = p.又 cos 2A= 1 - 2sin2a= 3, - sinA=四,cos A=马5 ,555 cos（A + B）= cos Acos B- sin Asin B =25迴=电=5 X 105= 2 .又 0<A + B< n - A+ B=n4'（2）由（1）知，C= 

23、5;， sin C=爭. 由正弦定理：一岂=% =七得sin A sin B sin C诵a = V10b = /2c ,即 a= >/2b , c=V5b.' a b= 1, . b = f2 1, b = 1.- a = f2 , c=西.20. A ABC 中，ab = 6/3 , sin B= sin C , ABC 的面积为 15诟,求边 b 的长. 1 1解：由 S= jabsin C 得，15/3 = 25/3 Xin C ,150°.故/ B=/ B = 30° a bC./ A = 120°.而=sin， b=遊1 sin C =

24、2, / C= 30°或 又 sin B = sin C , 当/ C = 30° 时， 又ab= 60 寸3 ,当/C = 150° 时，/ B = 150°舍去）.故边b的长为2715.余弦定理11.在 ABC 中，如果 BC = 6, AB = 4, cosB = 3,那么 AC 等于（）B. 26D. Wo源网A . 6C. 3/6解析：选A.由余弦定理，得 ACJaB2+ BC2- 2AB BCcosB= 寸42 + 62 - 2 X4 X3 x3 = 6.,C= 30 °,则 c 等于（）B.V2D. 2+ b2- 2abcosCo

25、2 .在 ABC 中，a= 2 , b = V3 1, A.也 C.>/5解析：选B.由余弦定理，得c2= a2 =22+ （诵-1）2- 2X2xV3 - 1）cos30 =2 , c=f2.3 在 ABC 中，a2 = b2+c2+ 血be,则/ A 等于（）B. 45°D. 150 °-V3bc近2A . 60 °C. 120b2+ c2-a2解析：选 D.cos/ A=2bc2bc/ 0°</ Av 180° / A = 150°.4 .在 ABC 中，/ A、/ B、/ C 的对边分别为 a、b、c，若(a2 +

26、 c2- b2)tanB = 5ac,则/ B 的值为()nna.6B.3n 、. 5 nn 、. 2 nc 或Pi 或 C.G或 6D%或 3解析：选D.由(a2+ c2-b2)tanB = V3ac,联想到余弦定理，代入得a2 + c2- b2 _ Ja 1Js cosBcosB = 2ac = 2 tanB= 2 sinB. 显然/ B唁 sinB =¥/ B= 3或¥22335 .在 ABC中，a、b、c分别是 A、B、C的对边，则 acosB + bcosA等于()A . aB . bC. cD .以上均不对.才 ”a2+ c2-b2b2+ c2-a2 2c2解析

27、：选 C.a 2c +b 2bc =云=c.6 .如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为 a, b, c且a2 + b2 = c2.设增加的长度为m, 则 c + m>a + m, c+ m>b + m, 又(a + m)2 + (b+ m)2= a2+ b2 + 2(a + b)m + 2m2> c2+ 2cm+ m2= (c+ m)2, 三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形.7.已知锐角三角形 ABC中，|AB|= 4, |AC|= 1,A ab

28、c的面积为3,则Ab Ac的值为()A . 2B .C . 4D .解析：选 ASabc = V3= 2|AB| |AC|sinA1 =2 X1 ><sinA,43为锐角三角形,sinA=d，又 abc21- cosA= 2, AB AC= 4X1 >1= 2.C= 3, B= 30，则a为()B. 2/3D. 2由余弦定理得b2= a2+ C2-2accosB,即卩3= a2+ 9- 3羽a,a=73或 2yJ3.&在 abc 中，b=/3,A. 73C.也或2书 解析：选在 abc中， - a2- 3?/3a + 6= 0,解得9.已知 abc的三个内角满足 2B

29、 = A + C,且AB= 1, BC = 4,则边BC上的中线 AD的长为 解析：2B = A + C, A+B+ C= n, B = f.3在 ABD中，AD = QaB2+ BD2 2AB BDcosB =寸 1 + 4 2X1X2x2=萌.答案：10. A ABC 中，sinA : sinB： sinC = (3 1) : (V3 + 1)：浙0，求最大角的度数. 解： si nA： si nB : si nC =乐-1):(逅 + 1)：航， a : b : c=(羽-1) :(73+ 1)：伍.设 a =(也-1)k, b= (V3+ 1)k, c=Vi0k(k>0),- c

30、边最长，即角C最大.由余弦定理，得12，又 C (0 ° 180°,.C= 120°11. 已知a、b、c是 ABC的三边，S是 ABC的面积，若a= 4, b= 5, S= 53，则边c的值为解析：S= 2absinC, sinCu3, C= 60°或 120° cosC= ±2，又 c2= a2+ b2 2abcosC, c2= 21 或 61,. c=/21 或61.答案：回或阿12. 在 ABC 中，sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,贝U cos A : cos B : cos C =. 解析

31、：由正弦定理 a : b : c= sin A : sin B : sin C= 2 : 3 : 4,设 a = 2k(k>0),贝U b= 3k, c= 4k,a2 + c2 b2 2k2 + 4k2 3k2cos B =a2+ b2 c2cosC = 2ab_ 11 = 16,同理可得:2ac2 x2kMkcos A= 7, cos C= 1,84cos B : cos C = 14 : 11 : ( 4). cos A :答案：14 : 11 : ( 4)113.在 ABC 中，a = 3/2, cos C = 3, &abc= 4眉，贝U b= 解析： cos C= 1

32、sin C = 232.331 又 $ abc= absinC= 4/3, 即1 b 3/ 晋=473,- b = 2羽.答案：2百14.已知 ABC的三边长分别为 AB = 7, BC= 5,AB2 + BC2- AC22AB BC解析：在 ABC中，cosB =49+ 25 36=2X7 >5=19=35, aB bC= |aB| |Bc| - con=75 - a?)=19.答案：19a、b、c,且面积2 ,22a + b c ab2ab 2AC = 6,则AbBC的值为15 .已知 ABC的三边长分别是2 ,2 2G丄L 1a 十 b 一 c解析：absi nC = S=41 。

33、2 , i_22a + b cS=:，则角C =4=2abcosC, sinC= cosC , tanC= 1 , C = 45 . 答案：45°16. (2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为解析：设三边长为 k 1, k, k + 1(k>2 k N),2AC BCAC + BC2 2AC BC AB21 2，sin C= 2sin A.解：（1）在 ABC中，由正弦定理AB = BCsin C sin A|k2AC BC所以C= 60°19. 在 ABC 中，BC=V5, AC = 3, 求AB的值； 求 sin(2Aj 的值.+ k 12 k+ 12v 0 则<? 2v k< 4,k+ k 1> k+1 k= 3,故三边长分别为2,3,