直角坐标系解决立体几何问题

1、直角坐标系解决立体几何问题重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。 难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。空间向量的数量积公式(两种形式)、夹角公式和空间向量的数量积 的几何性质。1.向量的数量积公式(包括向量的夹角公式)：若 a与 b 的夹角为 0 (0 <0<n ),且 a=xi,y i,z i, b =x2,y 2,z 2,则 a2 b=| all b|cos 0 或a2 b= x iX2+yiy2+ziZ2若a与b非零向量cos 0 =xiX2 +yiy2 +ziZ2丿 2 丄2,22 丄2,2Vxi +yi +Zi

2、rfX2 + 丫2 +Z22.向量的数量积的几何性质：两个非零向量a与b垂直的充要条件是a2 b=0两个非零向量a与b平行的充要条件是a2 b = ± | a| b| 利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：(1) 根据图形建立合理的空间直角坐标系；(2) 确定关键点的坐标；(3) 求空间向量的夹角；(4) 得出异面直线的所成角。用向量解决角的问题 两条异面直线a、b间夹角在直线a上取两点A、B,在直线b上取两点C D,若直线a与b的夹角为日,则 cos8 耳 cosvAB,CD >| =AB CDAB CD注意，由于两向量的夹角范围为b：180。】，而异面直线所成 角的范

3、 围为(0°<口 <90°),若两向量夹角a为钝角，转化到异面直线夹角时为180°例 1:在长方体 ABCD-ABCD 中，AB=BC=4AA=6,求异面直线DA与AG的所成角;例2.直棱柱ABCD-ABiCD，底面是边长 为 4 的菱形,且/ DAB=60 , AA=6, AC与 BC 交于E, AQ与BiD交于Ei,(1) 求：DAi与AG的所成角；(2) 若F是AE的中点，求：DE与FD的所成角; 直线a与平面a所成的角0 (如图1-1)兀图1 3可转化成用向量a与平面a的法向量的夹角©表示，由向量平移得：若图1 1图1 2T平面a的法

4、向量n是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由'丄a可知，要求得法向量 n，只需在平面a上找出两个不共线向量a、b，最后通过解方程组«a ”n = 0 /曰刊 T 得到n .J Tb ”n = 0例4、在直三棱柱ABC - AiBiCi中，底面是等腰直角 三角形，NACB=90。，侧棱AAi =2，D、E分别是CG 与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是AABD的重 心G,求直线AB与平面ABD所成角正弦值.求二面角a 的大小9T T已知二面角aIP, ni,n2分别是平面a和平面P的一个法向量，设二面T T角a I P的大小为0，规定0W

5、0 < n，则日=v n 1,门2 > （这里若平面a的法 向量是二面角的内部指向平面a内的一点，则平面P的法向量必须是由平面P内 的一点指向二面角的内部，如图 2-1,否则从二面角内部一点出发向两个半平面T T作法向量时，二面角0 =兀- cn 1,门2，如图2-2）2-1（二面角aJp的大小日（如右图），2（A、C納，从图中可知：0等于AB、CD所成的角.）例 5.三棱柱 OAB-OiABi ,平面 OBBQi 丄平面 OAB，乂 OiOB=60。,ZAOB=90。且 OB=OOi =2，OA = 73，求：二面角 Oi-AB-O 的余弦值大小.Bi例6.如图，在底面是直角梯形

6、的四棱锥 SABCD中，AD/BC，/ABC=900,求侧面SCD与面SBA所成的二11SA丄面 ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。22面角的余弦值大小。x用向量解决距离问题两点A, B间距离| AB |由aB可算出;若+ b，则由数量积得AB若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式点P到直线AB的距离过点P作直线AB的垂线PD，垂足为D，则由PD丄AB且点A, B, D共线得PD AB = 0, AD = ZAB，解出 D 点后再求 | PD |。例7、直角坐标系中的三点A（0,1,相）,bQ3,0,0 ）, C（0,2,0）,求点A到直线BC的距离。 异面直线a、b的距离可先设a、

7、b的公垂线段 EF （ E - a、F - b），再由垂直向量性质得P-，?a EF =0，从而得到E、F的坐标，最后算出所求EF .T?b EF =0例8正方体ABCD - Ai B1C1D1的边长为1，求异面直线AiC、BD的距离?点P到平面a的距离h先设平面a的斜线为PA （A亡a ），再求a的法向量，TpAn得到推论“ h等于PA在法向量n上的射影PA 的绝对值”，即h = 后由此算出所求距离.(由平行平面间的距离定义知道，平面a上任意一点A到P 的距离就是a到P的距离，因此，我们也可把a到P的距离转化为A到P的距离, 运用求点与面距离的方法来求。)例 9、正四棱柱 ABCD -ABjGDj，AB =1，AA1 =2，E是CCi的中点，求点Di到平面BDE的距离.1、(陕西