必修五解三角形练习题

1、一选择题（共10小题）1在ABC中，sinA=sinB是ABC为等腰三角形的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2在ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A（2，+） B（0，2） C（2，2） D（，2）3在锐角ABC中，若C=2B，则的范围（）A BC（0，2） D4在ABC中，下列等式恒成立的是（）AcsinA=asinB BbcosA=acosB CasinA=bsinB DasinB=bsinA5已知在ABC中，若cosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A锐角三角形或钝角三角形

2、 B以a或b为斜边的直角三角形C以c为斜边的直角三角形 D等边三角形6在ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则ABC的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则B为（）A B C D8在ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（）A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形9ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=1，则角B等于（）A B C D或10在ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（

3、）Ax2 Bx2 C D二填空题（共1小题）11（文）在ABC中，A=60°，b=1，ABC的面积为，则的值为 三解答题（共7小题）12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积的最大值13在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，ABC的面积为2（）求cosA的值；（）若a=2，求b+c的值14在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=（1）求角B的大小；（2）ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围15在ABC中，（2ac）c

4、osB=bcosC（1）求角B的大小；（2）求2cos2A+cos（AC）的取值范围16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边长，且（2cb）cosA=acosB（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ABC面积S的最大值17ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a2b2=bc，AD为角A的平分线，且ACD与ABD面积之比为1：2（1）求角A的大小；（2）若 AD=，求ABC的面积18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0（1）求角B的大小（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积（3）求y=sin2A+sin2C的取值范围

5、必修五 22222练习题参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1在ABC中，sinA=sinB是ABC为等腰三角形的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先根据sinA=sinB时，则有A=B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知sinA=sinB是ABC为等腰三角形的充分条件；同时ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，则sinA和sinB不一定相等，故可推断出sinA=sinB是ABC为等腰三角形的不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当ABC为等腰三

6、角形时，不一定是A=B，若是A=C60时，则sinAsinB，故sinA=sinB是ABC为等腰三角形的不必要条件故选A【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断解题的时候注意条件的先后顺序2在ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A（2，+）B（0，2）C（2，2）D（，2）【分析】先利用正弦定理表示出x，进而根据B=45°可知A+C的值，进而可推断出若有两解，则A有两个值，先看A45°时推断出A的补角大于135°，与三角形内角和矛盾，进而可知A的范围，同时若A为直角，也符合，进而根据A的范

7、围确定sinA的范围，进而利用x的表达式，求得x的范围，【解答】解：由正弦定理可知，求得x=2sinAA+C=180°45°=135°有两解，即A有两个值这两个值互补若A45°则由正弦定理得A只有一解，舍去45°A135°又若A=90°，这样补角也是90度，一解，A不为90°所以sinA1x=2sinA2x2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题考查了学生推理能力和分类讨论的思想的运用3在锐角ABC中，若C=2B，则的范围（）ABC（0，2）D【分析】由正弦定理得，再根据ABC是锐角三角形，求出B

8、，cosB的取值范围即可【解答】解：由正弦定理得，ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角，即有 ，0CB=3B解得，又余弦函数在此范围内是减函数故cosB故选A【点评】本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质易错点是B角的范围确定不准确4在ABC中，下列等式恒成立的是（）AcsinA=asinBBbcosA=acosBCasinA=bsinBDasinB=bsinA【分析】直接利用正弦定理判断选项即可【解答】解：由正弦定理可知：csinA=asinB，即sinCsinA=sinBsinB，不恒成立bcosA=acosB，即sinBcosA=sinAcosB，不恒成立asinA=bsi

9、nB，即sinAsinA=sinBsinB，不恒成立asinB=bsinA，即sinAsinB=sinBsinA，恒成立故选：D【点评】本题考查正弦定理的应用，基本知识的考查5已知在ABC中，若cosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A锐角三角形或钝角三角形B以a或b为斜边的直角三角形C以c为斜边的直角三角形D等边三角形【分析】利用正弦定理，和差化积公式 可得cos（AB）=cosC，A=B+C，或B=A+C，再由三角形内角和公式可得A=，或B=，即可得答案【解答】解：在ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则：sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，s

10、in2A+sin2B=sin2C，2sin（A+B）cos（AB）=2sinCcosC，cos（AB）=cosC，AB=C，或BA=C，即：A=B+C，或B=A+C再根据 A+B+C=，可得：A=，或 B=，故ABC的形状是直角三角形故选：B【点评】本题考查正弦定理，和差化积公式，三角形内角和公式，得到cos（AB）=cosC 是解题的关键，属于基本知识的考查6在ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】根据三角函数的诱导公式进行化简即可【解答】解：cosAsinB+cos（B+C）sinC

11、=0，cosAsinBcosAsinC=0，即cosA（sinBsinC）=0，则cosA=0或sinBsinC=0，即A=或B=C，则ABC的形状等腰或直角三角形，故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，解题的关键是正确三角函数的诱导公式进行化简，属于基础题7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则B为（）ABCD【分析】通过正弦定理及=求出tanB的值，进而求出B的值【解答】解：由正弦定理得：，而=，两式相乘得tanB=，由于0B，从而B=故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用属基础题8在ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（）A等边三

12、角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosCsinCcosB=0，即sin（BC）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C所以三角形是等腰三角形故选：C【点评】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力9ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=1，则角B等于（）ABCD或【分析】由正弦定理可得，可得，结合ba可得，从而可求B【解答】解：由正弦定理可得，=ba故选

13、B【点评】本题主要考查例正弦定理在解三角形中的应用，注意不要漏掉了大边对大角的考虑，不然会错写完B=10在ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）Ax2Bx2CD【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°A135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围【解答】

14、解：=2a=2sinAA+C=180°45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A45°，则C90°，这样A+B180°，不成立45°A135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以sinA1a=2sinA所以2a2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力二填空题（共1小题）11（文）在ABC中，A=60°，b=1，ABC的面积为，则的值为2【分析】先利用面积公式，求出边a=2，再利用正弦定理求解比值【解答】解：由题意，c=2a2=b2+c22bccos

15、A=3a=故答案为2【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解三解答题（共7小题）12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积的最大值【分析】（1）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简已知的式子，再由内角的范围求出角C；（2）由余弦定理和条件列出方程化简，利用基本不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式可求出ABC面积的最大值【解答】解：（1）cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB，=，则cos2A

16、cos2B=（sin2Asin2B），即sin2Bcos2B=sin2Acos2A，sin（）=sin（）ab，且A、B（0，），AB，则，解得A+B=，C=AB=； （2）由（1）知，C=，且c=，由余弦定理得，c2=a2+b22abcosC，则3=a2+b2ab，即a2+b2=ab+32ab，解得ab3，ABC的面积S=ab，故ABC的面积的最大值是【点评】本题考查了余弦定理，二倍角公式、两角和差的正弦公式，以及三角形的面积公式，基本不等式求最值问题，注意三角形内角的范围，属于中档题13在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，ABC的面积为2（）求cosA的值

17、；（）若a=2，求b+c的值【分析】（I）利用三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出（II）利用余弦定理及其（I）的结论即可得出【解答】解：（）ABC的面积为2，=2，bcsinA=4bccosA=3，3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，联立，解得cos2A=cosA0，A为锐角，从而cosA=（）由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA，a=2，由（1）知cosA=，=20，又由（）得bc=5，（b+c）22bc=20（b+c）2=36b+c0，b+c=6【点评】本题考查了三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属

18、于中档题14在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=（1）求角B的大小；（2）ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围【分析】（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）利用正弦定理化简a+b+c，将B度数及表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：=，整理得：sinBcosC=2sinAcosBsinCcosB，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosB=，则B=；（2

19、）ABC外接圆半径R=，由正弦定理得：a+b+c=2RsinA+2RsinB+2RsinC=sinA+sinB+sinC=+sinA+sin（A）=+sin（A+），A+，sin（A+）1，则三角形周长范围为（，【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键15在ABC中，（2ac）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）求2cos2A+cos（AC）的取值范围【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦即可由（2ac）cosB=bcosC求得cosB=，从而可求ABC中角B的大小；（2）利用二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换可

20、将2cos2A+cos（AC）转化为1+sin（2A+），再由0A与正弦函数的单调性即可求2cos2A+cos（AC）的取值范围【解答】解：（1）在ABC中，（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理=得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sin（A）=sinA，sinA0，cosB=，B（0，），B=；（2）B=，故A+C=，C=A，2cos2A+cos（AC）=1+cos2A+cos（2A）=1+cos2Acos2A+sin2A=1+cos2A+sin2A=1+sin（2A+），0A，2A+，1sin（2A+）1，01+sin（

21、2A+）2即2cos2A+cos（AC）的取值范围是（0，2【点评】本题考查正弦定理的应用，突出考查二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换，求得2cos2A+cos（AC）=1+sin（2A+）是关键，也是难点，考查转化与运算能力，属于难题16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边长，且（2cb）cosA=acosB（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ABC面积S的最大值【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数（2）利用正弦定理，结合辅助角公式，表示出面积，即可求ABC面积S的最大值【解

22、答】解：（1）利用正弦定理可得（2sinCsinB）cosA=sinAcosB，则2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，所以，故（5分）（2）由得，所以=，ABC面积S的最大值为12分【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键17ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a2b2=bc，AD为角A的平分线，且ACD与ABD面积之比为1：2（1）求角A的大小；（2）若 AD=，求ABC的面积【分析】（1）由a2b2=bc得，由正弦及余弦定理化简整理可得A=2B，由AD为角A的平分线，且SACD：SABD=1：2，解得，由正弦定理可得cosB，即可求得B，A的值（2）由已知可求BD，CD，AC，根据三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由a2b2=bc得，由正弦及余弦定理得：，（2分）可