数列的概念与简单表示法

1、第六章数 列6.1 数列的概念与简单表示法考点梳理1.数列的概念(1) 定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第_ 1 项(通 常也叫做_ )，排在第 n 位的数称为这个数列的第_n 项所以，数列的一般形式可以写成_ ，其中 an是数列的第 n 项，叫做数列的通项常把一般形式的数列简记作(2) 通项公式：如果数列 an的_ 与序号_ 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(3) 从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N N*(或它的有限子集1 , 2,3,，

2、n)的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列 _数列的递推公式：如果已知数列的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项_ 与它的前一项 _(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.(5)数列的表示方法有 _、_ 、_ 、_ .2 数列的分类(1) 数列按项数是有限还是无限来分，分为 _ 、_ .(2) 按项的增减规律分为 _、_ 、_ 和_ .递增数列？an+1_an；递减数列？an+1_an；常数列？an+1_an.递增数列与递减数列统称为_3 数列前 n 项和 Sn与 an的关系.(n = 1) _,已知 Sn,贝 V

3、an=* / c、_ (n2) _.自查自纠：1 (1)项首项 a1,a2,a3，an,(2)第 n 项 n (3)函数值(4)anan-1(5)通项公式法(解析式法)列表法图象法递推公式法2 (1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列 v= 单调数列3 S1Sn Sn-1典型例题讲练类型一数列的通项公式例题 1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式:一 1，7, 13, 19,;246810(2)3 15 35 63 99(4)5, 55, 555, 5 555,解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总

4、比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an=(1)n(6 n 5).(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1X3, 3X5, 5X7, 7x9, 9x11 ,，每一项都是两个相邻奇数的乘积故数列的一个通项公式为an=_2n_(2n 1)( 2n+ 1).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即1 4 9 16 25n21 4, 2, 2,25，故数列的一个通项公式为an=555将原数列改写为 9x9, 9x99, 9X999,，易知数列 9, 99, 999,的通项为 10nvJvJvJ51，故数列的一个通项公式为an= 5(10

5、n 1).变式 1 写出下列数列的一个通项公式:1111(1)1 ,2， 3,4， . .(2)3, 5,9, 17,33 ,-;21,1017263,7， 9， (4)1, 2,2, 4, 3 , 8 ,4, 16,1解: (1)an= ( 1)n；;(2) an= 2n+ 1;5(3)由于一 1 = 5，故分母为 3, 5,乙26,，即n2+ 1 符号看作各项依次乘观察数列an可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，/.an=n + 1(n 为奇数)，22(n 为偶数).n,11)+n2+ 12n+ 19, 11,，即2n+ 1，分子为 2, 5, 10, 17,1, 1, 1, 1,，

6、即( 1)n+1，故 an=(3类型二由前 n 项和公式求通项公式例题 2 (1)若数列a*的前 n 项和 Sn= n2 10n，则此数列的通项公式为a*=若数列an的前 n 项和 Sn=2n+ 1,则此数列的通项公式为an=_解： 当 n= 1 时，ai= Si= 1 10 = 9;当 n 2 时，2 2an= Sn Sn1=n 10n (n 1) 10(n 1) = 2n 11.当 n = 1 时，2X1 11 = 9= a1. /an= 2n 11.故填 2n2n 11.11.当 n = 1 时，a1= S1= 21+ 1 = 3;当 n 2 时，an= Sn- Sn1= (2“ + 1

7、) - (2“-勺 + 1)n n 1 n 1=2 2= 2.3 (n= 1), 综上有an= 2n-1(n 2)3 3 ( n n = 1 1)变式 2 已知下列数列an的前 n 项和 Sn,分别求它们的通项公式an.(1) Sn= 2n2 3n; (2)Sn= 3n+ b.解：(1)a= S1= 2 3 = 1，当 n2 时，an= Sn Sn1= (2n 3n) 2(n 1) 3(n 1) =4n 5,a1也适合此等式，an= 4n 5.(2) a1= S1= 3 + b,当n2时，an= SnSn1=(3n+ b) (3n1+ b)= 2 3n1.当 b = 1 时，a1适合此等式.当

8、 b 1 时，a1不适合此等式.当 b= 1 时，an= 2 3n1;(3+ b, n = 1,当 b 工一 1 时，an= 12 3n, n2.类型三由递推公式求通项公式例题 3 写出下面各数列an的通项公式.(1)a1=2,an+1=an+n+1；(2)a1= 1，前 n 项和 Sn=n+ 2(3)ai=1,an+i= 3an+ 2.解：由题意得，当 n2 时，an an-1= n, an= a1+ (a2 a”+(a3 a2)+ + (an an1)(n- 1)( 2 + n)n (n+ 1)=2+ (2 + 3+ - + n) = 2+1x (i+1)又 a1= 2 =+ 1,适合上式

9、，n (n + 1)因此 an=2+ 1.(2)由题设知，ai= 1.n + 2 n+1当 n2 时，an= Sn Sn1= 3 an 3 an1.ann+1an1n 1a45 a34 a?a33， a22， a1以上 n- 1 个式子的等号两端分别相乘,n (n+ 1)2an+1+ 1an+1= 3an+ 2,得 an+1+ 1 = 3(an+ 1)，即=3,a2+ 1a3+ 1a4+ 1an+1+ 1na1= 1, = 3 ,1 +1即 an+1= 2x3n 1(n 1),an= 2x3n1 1(n2),又 a1= 1 也适合上式，故数列an的一个通项公式为 an= 2X3n1 1.解法二

10、：(迭代法)an+1=3an+2,2将这些等式两边分别相乘得an+1+ 1n3n.a1+ 1+ 1.an=n+1an1n 1又 a1= 1,n (n+ 1)(3)解法(累乘法)an+1+ 13.an+13即 an+1+ 1 = 3(an+ 1) = 3 (an1+ 1) =33(an2+ 1)= = 3n(a1+ 1)= 2x3n( n1),3, =3, =3,a1+ 1a2+ 1a3+ 1 1,n + 111整理得一厂 10，解得 n2时，anan1=)=Rn，n 2 时，an= (an an1)+(an1an2)+ +(a2 a1)+ a1=旷 2 n 土F +g3)当 n = 1时，适a

11、n+1na21=2, 沪2,ananon1=2 ,an1将这 n 1 个等式叠乘，n(n1)得芋 21+2+(n1)=2,.an= 2n(n1)2n(n1)当 n = 1 时，适合.故 an= 22(3)由题意知 an+1+ 1 = 2(an+ 1)，数列 an+ 1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， an+1 = 2n,.an= 2n 1.类型四数列通项的性质例题 4 已知数列an，且 an= (n+ 1)11 是积幕形式的式子且an0，所以可用作商法比较an与 an1解：因为 an= (n + 1)的大小.解：令建1(n 2),an1(n+ 1)即(n N N ).求数列an的最大项

12、.10整理得 石，解得 n 9.n + 211方法规律总结1. 已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1) 如果符号正负相间，则符号可用(1)n或(1)n+1来调节.(2) 分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决.(3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.S1(n=1),2.an=注意 an= Sn Sn-1的条件是 n2，还须验证 印是否符合|SnSn-1(n2),an( n2)，是则合并，否则写成分段形式.3. 已知递推关系求通项掌握先由 a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”

13、“累乘法”等.(1)已知 a1且 an a.1= f(n),可以用“累加法”得：an= a1+ f(2) + f(3) + + f(n 1) + f(n).已知 a1且玉=f(n),可以用“累乘法”得：an-1an=a1f(2) f(3)f(n1)f(n).注：以上两式均要求f(n)易求和或积.4. 数列的简单性质(1)单调性：若 an+1 an,则an为递增数列；若 an+1 1,an+1(n+ 1)即(n + 2)(n11 / 1,从第1项到第9项递增,从第 10 项起递减.1。10故 a9= a10=不最大.变式 4 数列an的通项A. 3 .10an=2n cc， 则数歹 U n106

14、0+ 90an中的最大项是(解：易得=9 或 10 时,1 B . 19 C.9 D.an=，运用基本不等式得，vJJn+ A1 an= 19 最大.故选 C.C.dr2；。，由于ncN*，不难发现当n n+ nA .第 16 项B .第 24 项C.第 26 项D .第 28 项解：观察 ai= 1 = 1 , a2= 2 = 4 , a3=, 7 , a4= 10, a5=，13 ,，所以 an=3n 2令 an= 3n 2= 2 19= 76,得 n= 26.故选 C.C.D.D.3 .数列an满足 an+1+ an= 2n 3,若 a1= 2，贝 V a4=()A. 7 B. 6 C.

15、 5 D. 4解：依题意得(an+2+ an+1) (an+1+ a*)= 2(n + 1) 3 (2n 3)，即 an+2 an= 2,.心8a4= (a8 a6)+ (a6 a4)= 2 + 2 = 4.故选 D.D.4.已知数列 an的前 n 项和 Sn= 2an 1，则满足旦IIIw2 的正整数 n 的集合为(n)A.1,2B.123,4C.1,2,3D.1,2,4解：BIII1解：根据题意，数列an满足 a1= 2, an+1an= an 1，an+1= 1 ,.a2=:, a3= an21, a4= 2,，可知数列的周期为 3,T2017= 3X672 + 1 ,.玄017=內=2

16、.故选 C.C.7._ 已知数列an满足 as -1= a$at(s, t N N ),且 a2= 2,贝 V a$=_ .解：令 s= t = 2，贝 U a4= a2Xa2= 4,令 s= 2,t= 4,贝 V a8= a2X4= a2Xa4= 8.故填 8.8.8.下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是an=_.2数列an的前 n 项积为 n2,那么当 n2 时，a*=()2(n+ 1)2A . 2n 1 B . n2C.2 n解：设数列an的前 n 项积为2nD.2(n 1)Tn,贝 y Tn= n2,当 n2 时,Tnn2an=Tn(n 1)2故选5.在数列an中

17、,a1= 2,A.C.2+ Ign2 + n lg n解法:- a*+1 an= lgan+1= an+ lg 1+十，则 an的值为(B. 2 + (n 1)lg nD. 1 + nig nn+ 1n-an= (an an1)+ (an1 an2) + + (a2 a” + a1=lg + ig + lg1+2 n 1 n21解法二： an+1= an+ lg(n+ 1) Ign,an+1 lg(n + 1)= an Ign,所以数列an Ign是常数列，an lgn= a1 lg1 = 2, an= 2 + Ign.故选 A.A.6.若数列 an 满足 a1= 2, a*+1an= a“一

18、 1，贝 V玄20仃的值为()1A. 1 B.2 C. 2 D. 3+刑止H14 5I2 2 . .9.- 若数列an满足p= 0, n N N*, p 为非零常数，则称数列a*为梦想数列”.已an+1an5知正项数列丁为梦想数列”，且 b1b2b3bg9= 299,则 b$+ b?2的最小值是 _ .bn解：4依题意可得5+ 1= pbn,则数列bn为等比数列.又匕心匕彳?= 2 = b59，则匕50= 2.b8+ b922：Jb8b92= 2b50= 4，当且仅当 b8= b92，即该数列为常数列时取等号.10 .已知数列an的前 n 项和为 Sn.(1)若 Sn= ( 1)n 1 n,求 a5+ a6及 an； 若 Sn= 3n+2n+1，求an.解：(1)a5+ a6= S S4= ( 6) ( 4) = 2,当 n = 1 时，a1= S1= 1 ；当 n 2 时，an= Sn Sn1= ( 1)+n ( 1)*( n 1)=(1)n+1n