精品资料（2021-2022年收藏的）水波读书笔记崔继峰1

1、水波理论读书笔记水波理论读书笔记Reading Notes about Water Wave Theory任课教师：张洪生教授学生：崔继峰学号：01101090312011-12-22水波理论读书笔记水波理论读书笔记一导引有文章应该写导引，导引者应该说明为什么要写文章，写文章有什么意义。硕士期间，曾零星式自学过由复旦大学陶明德教授编写的水波引论 ，觉得不简单（细节处理较灵活） 。博士这学期，选了由张洪生教授主讲的水波动力学的理论和应用，所用教材为梅强中先生编写的水波动力学 ，虽张教授推导公式清楚，但因学时所限，且听众具有不同学科背景，听起来总觉得晦涩难懂（只停留在浅显概念和公式推导层面上） ，

2、学好水波理论的难点在于需根据所考虑的物理背景，灵活近似建立数学模型，然后以高等数学（多元微分链式法则） 、微分方程（二阶 ODE 求解为主） 、复变函数（解析函数与调和函数、留数定理、共形映射） 、泛函分析（变分原理，极值定理） 、傅里叶级数与积分变换、场论（高斯公式，格林公式，斯托克斯公式）知识为主的数学多分支交叉应用求解。这对数学素养的要求是很高的。由于学科背景所限，只能粗浅摘抄总结。这篇读书笔记，以如下为纲领：表象认识水波；水波方程及其特性；求解 Stokes 与造波方程；列出重要的数学工具。 在写读书笔记时，主要参考了梅强中和陶明德先生的教材，图片均来自维基百科网，表示感谢。二水波表象

3、Fig.1 Surface waves in waterFig.2 Sine, square, triangle and sawtooth waveforms.Fig.3 Illustration of the envelope (the slowly varying red curve) of an amplitude-modulated wave. The fast varying blue curve is the carrier wave, which is beg modulated.Fig.4 Gravity waves on the surface of deep water.F

4、ig.5 A wave with the Group velocity and Phase velocity going in different directions.在空间的某点上某一物理量在平衡状态受到扰动后，该扰动以确定的速度向四周传播的这种现象称为波波。因为用肉眼就能考察水的波动，所以水波是人们最为熟悉的一种波，从而很早就作为研究的对象。波动的问题面很广，涉及力学、物理、生物、地质、天文、气象和海洋等很多领域。在不同的学科领域，波动表征形式可以多种多样，但波作为物质运动的一种形式，它所遵循的物理定律应是相同的，它的数学表达形式，即所满足的微分方程也是统一的。三、水波的基本方程在考虑水

5、波问题时，假设流体是无粘、不可压缩的，因为是在有势力场，所以流动是无旋的。这时，基本方程为：20,( , )( , , )h x yzx y t底面上的边界条件：0,( , )hhzh x yxxyyz界面条件：0,( , , )zx y ttxxyyz21()( ),( , , )2Pgc tzx y tt这里，问题满足的方程是线性的，而界面形状满足的方程是非线性的，因此，整个水波问题是非线性的。四、基本关系色散关系：考虑一满足线性化自由表面条件的简谐重力行进波在深为的水域中传播h的情形。2tanhgkkh由上述可见，对已给定的频率，行波一定有由上式确定的恰当的波数。因为，实际上是深度与波长

6、比，所以长波和浅水波指的是的2khh1kh 情形，短波和深水波指的是的情形，对固定的，较短的波有较高的频1kh h率。在潜水波中，由于，频率固定时。深度较小的情形有较短的波kgh;长。因相速度无量纲形式为；C1/2tanh()ckhkhgh对长波和短波的极限形式有：（长波，浅水）,1cghkh（短波，深水）,1cg kkh群速度：波的群速度，或简称群速，是指波幅度外形上的变化(称为波的“调制”或“波包”)，其在空间中所传递的速度。想象一下我们将一块石头投入一个平静的池塘中激起一个波浪，随即变成一个中心平静呈环形扩展的波环。这个正在扩展的波环为一组由不同传播速度的独立子波组成。波长较长的子波传播

7、速度较快并消失在整组波的前缘。波长较短传播较慢的波随着整组波内缘的推进而消失。群速度通过下列方程定义：gdcdk400600800100012001400-1.5-1-0.500.511.5x 10-4群速度常被认为是能量或信息顺着波动传播的速度。多数情况下这是正确的，也因此群速度可被视为波形所带有的信号速度。然而，如果波行经过吸收性介质(absorptive medium)，这种情况就不一定成立。举例而言，可以设计实验将雷射光脉冲送过特殊准备的物质，使得其群速度大大地超过真空中光速。然而信号速度总是低于或等于光速，因此超光速通信是不可能。此外也可以将群速度减少到零，将脉冲停住，或者是得到负值

8、的群速度，因为脉冲是以相反方向行进。函数将设为的函数，被称为色散关系。如果正比于，则群速( )kkk度恰等于相速度；否则，波包在行进中将会逐渐扭曲。这样的“群速度色散”在光纤中信号的传递，以及短脉冲雷射的设计两个课题上是个重要的效应。群速度迥异于相速度的概念是首先由哈密顿于 1839 年提出，这方面完整的处理则出现在瑞利勋爵(Lord Rayleigh)的 1877 年的著作声理论(Theory of Sound)中。能量通量：24kpgaEE即每波长的的波所具有的能量中的一半是动能，一半是势能，这称为能量均分。22kpgaEEE因此，单位长度的波具有的能量为2012EEga能量传递速度02(

9、1)2sin2avEFckhUEh kh其中，为平均能量通量。22(1)4sin2avga ckhFh kh六、Stokes 波的求解G. Stokes（1880）研究了具有有限波陡的波，称为 Stokes 波，它是非线性重力波的一种近似，成为许多非线性波研究的一个出发点，Stokes 波在工程中亦常用。线性理论只对“无限小波陡”情形有效，当波幅增大时，波形就会有较大的改变，而且波速也随之增大，用线性理论无法解释此现象。若在传播过程中波的速度恒定，且波形保持不变，则此种波称为永形波。例如线性理论中的正弦行进波也是永形波。我们这里讨论非线性波中的一种永形波。讨论二维情形，假定存在永形波，则可在以

10、 为速度右移的平移坐标系中c来讨论（其中 为该永形波的速度） 。此时，该永形波解与 无关。下面假定ct较小。ka因对无限水深情形有0lim00yyP由于满足前两式（事实上它可用分离变量法由前两式求得） ，故可sinkyekx构造组合(sin)kyc xekx易见也满足前两式，所叠加上去的是在原来的波上叠加一个速度为 的定cxc常流。设其中的和都是小量。k由于势函数满足柯西黎曼条件，故对应的流函数为(cos)kyc yekx因=constant 表示一根流线，不妨取假定为自由表面流线，则在自0由表面上有coskyyekx注意此处是的函数，故不能说上式是简谐波；另外，还要证明它是否“有yx资格”成

11、为自由表面。由上式可推导得出222334113coscos2cos3()228ykaakxkakxk akxO k a要它成为自由表面，必须使之满足自由表面条件，由欧拉积分以及，在V 自由表面上需要222 2222 22 222 22 210/con(1 2cos)211(const)(cos)221const2kykykykykyPstgyck ekxkeckcekxk cegykc ygyk ce因较小，可将用泰勒公式展开，上式成为ky2kye22 22222 223 22232110con()(12(2)221const()2const()stkcg yk ckykykc yg yk c

12、k cyckkg y故得232()0ckkg即23222222211(1)(1)gckkgkkgkkgk ak上式最后一步用到：。2398ak a可见，只要 满足上式，则波面就可满足自由表面条件，就是问题的解。cy这就说明了水波问题可能存在形式如表达式的永形波。y归纳上面的结果，得到三阶 Stokes 波 2223113coscos2cos3228kaakxkakxk akx222(1)gck ak 222 21const(1 2cos)2kykyPpgyckaekxk a e其中。xxct此处的 Stokes 波是深水流场弱非线性重力波的近似，它要求较小（因推ka导过程中已假定和皆为小量，因

13、而也是小量） 。易见 Stokes 波中，常数项ka后面较高阶的项与前一项的比为。有限水深情形的 Stokes 波的推导过程()O ka较繁，其结果见后面。再来讨论压力，可写成P 2222 2cos1(1)2kykyPconstpgyc kaekxck a c即 Stokes 波存在的水域中的压力可分为常压+水静压力+周期性水动压力+非周期性水动压力，其最后一项是负压。图图 6-16-1 三阶三阶 StokesStokes 波波图图 6-26-2 正弦波（下）与三阶正弦波（下）与三阶 STOKESSTOKES 波（上）波（上） 七造波机问题一问题的公式化图图 7-17-1 试验水池与造波机示意

14、图试验水池与造波机示意图设水池如上图安排，其左端处装有某种方式运动的造波推板，常见的0 x 是摇板或推板等。已知造波板的运动方程为 （7.1）( , , )xf y z t问题中的速度势满足拉普拉斯方程 （7.2）0定解条件为 （在各物质表面上成立） （7.3）nnV （7.4）0 ( , , )Pyx z t在水池底面，故0nV （7.5）0()nyh 动力学边界条件（7.4）即为 （7.6）210, ,2tgyx z t在自由表面 （7.7）( , , )0sFyx y t它是物质表面，故 （7.8）0sDFDt因此 （7.9）()()0s tsFF 即 （7.10）( , , )ytxx

15、zzyx z t 在造波板上，由（7.1） （7.11）( , , )0pFxf x y t它也是物质表面，故，由此/0PDFDt ()()0P tPFF 即 （7.12）( , , )xyyzztfffxf y z t于是，该问题成为（7.13）200()10( , , )2( , , )( , , )ytytxxzzxyyzztyhgyx z tyx z tfffxf y z tother conditions 可由（7.13） 、 （7.14）中消去，使新方程成为关于的方程。从中解出，则可得其它待求的物理量，例如：将代入（7.13）的第三式可得，等等。要使（7.13）在实际上便于求解，其

16、中一种办法是线性化。二造波机问题的线性化用正则摄动法，引入小参数，设 （7.14）212( , , )xf y z tff相应地设 （7.15）212 （7.16）212 代入（7.13） ，归并具有相同的的阶数的那些项，可得关于的方程组。12, 其中上取值的那些量可按一阶摄动方法处理。若满足于y（7.17）1作为近似解，则可参照参数摄动发步骤得到（7.18）00()0(0)(0)yttyxtyhgyfxother conditions 三造波机线性化问题的求解以二维流场造波机为例。假定造波板运动方程已知为 （7.19）( , )xf y t由于一般的函数可被分解成关于 的各次谐振动的叠加，故

17、不妨只讨论( , )f y tt（7.20）( , )( )sinxf y tF yt情形。易见， （7.18）的第一至第四式比（7.1） ，只多了一个条件，故满足（7.18）中第一至三式的解是（7.30） ，而相应的稳定状态解是（7.31） ，即是1t （7.21）0001( , , )sin()ch()()cos() sin()iikk xxiiiix y tAk xkyhC eDek yht自然边界条件要求:时, 有界，因此,注意到 x 其中各由（7.21）求出，而则由0,0 (1,2,),iikCi(0)ik i 0k（7.11）得出，即 （7.22）2200tg(1,2,3)thii

18、gkk higkk h于是 （7.23）0001sin()ch()(cos() sin()iik xiiiAk xkyhC ek yht利用三角恒等式，它又可改写成 （7.24）00000100001cossin)ch()cos() coscossin)ch()cos() siniik xiiiik xiiiCk xDk xkyhDek yhtCk xDk xkyhDek yht代入（7.18）的第四式得到： （7.25）00010001ch()()cos() cosch()()cos() sin( )cosiiiiiiiik Dkyhk Dk yhtk Dkyhk Dk yhtF yt对比两

19、边，有 00,0 (1,2)iDDi且 （7.26）0001ch()()cos( )iiiik Dkyhk DkF y应用（7.35）得 （7.27）000202( ( ),ch()ch()( ( ),cos ()cos ()iiiik DF ykyhkyhk DF yk yhk yh由此得出和。 （7.24）中尚未定出的，要由（7.18）的“其0D(1,2,)iD i 0CoC它条件”来确定。若该条件是开放边界（在正方向无限，或有完善的吸波装x置） ，则该条件为所谓辐射条件：由造波机产生的波能向正方向传播。波能传播速度与群速度相等，与波的传播方向相同。波能只能朝正方向传播意味着在x处只存在右

20、行波。今由（7.24） ，时，x x （7.28）000000000000000 (cossin)ch()coscosch()sinch()coscoscossinsincosCk xDk xkyhtCk xkyhtkyh Ck xtCk xtDk xt等式右方 中每一项都可用三角函数恒等式化为右行波与左行波之和（7.29）00000000002 ch()cos()cos()()sin()()sin()kyhCk xtk xtDCk xtDCk xt欲使之为右行波，须除去上式中的左行波成分，即须有和00C ，此即由辐射条件推知和。00()0DC00C 00CD 最后得出 0001000sinc

21、h()cos() cosch()sincosik xiiiDk xkyhDek yhtDkyhtk x（7.30）即 （7.31）0001ch()sin()cos()cosik xiiiDkyhk xtDek yht可见，该解由两部分构成：第一部分是右行远传波，第二部分是局部波（注意因子） ，其中和由（7.27）定出，从而解被唯一确定。由此例ik xe0DiD可看到，上述的无穷远辐射条件的作用是确保解的唯一性。再由（7.31）和线性化的（7.13）中第三式，得到波面高程 （7.32）0000i=11( , )chcos()cossinityk xiix tgk hDk xtgk hDetg 还

22、可由伯努利方程算出压力及造波板的造波功率。P上面讨论的辐射条件基于水池的远端不产生反射这一前提，实际上，造波水池池端消波不可能完善，故总存在来自远端的反射波，水池中就有左、右行波。如果池的远端消波装置的反射率为，则反射波回到造波板时又会产生再次反射，假定在该处为完全反射（反射率为 ） ，则这个再反射波传到远端时又1再次反射；但此时约为量阶的。如若此时略去反射效应影响，则在水池中除2了正常需要的右传波外，还存在左、右传的反射波。由（7.18）可见，在和处，各是两个边界面的交会点，这就要(0,0)(0,)h求边界条件之间的适配，对就要有一定的要求，否则在这两点就可能出现( )F y奇性，这里对此不

23、作讨论。八重要数学工具ODE:例1 求微分方程yyxsec的通解. 解 先求其相应的齐次方程的通解.yy0 因特征方程，有特征根.于是齐次方程的通解为210 12 ii, xcxcxysincos21 利用常数变易法求非齐次方程的一个特解y*(x) .令 xxcxxcxysincos21*而c1(x),c2(x)由下列方程组确定 xxxcxxcxxcxxcseccossin0sincos2121解方程组得 1,cossin21xcxxxc积分后得（k1,k2是任意常数） 2211,coslnkxxckxxc（因为只要一个特解，可令k1=k2=0）,所以原方程的通解为 xxxxxcxcxysin

24、coscoslnsincos21例2 求解欧拉方程0dd3dd222yxyxxyx 解 令或t=lnx，原方程变成tex 0dtd2dd22yyty 特征方程是0) 1(1222是二重根.通解为1y=e-t(c1+c2t)所以原方程的通解是 xccxxyln121PDE:圆或球的狄利克莱问题解的泊松积分圆或球的狄利克莱问题解的泊松积分: 当区域为圆或球时，分别采用极坐标(r,)或球坐标(r,)较为方便. u=0的极坐标形式为022222ururrur u=0的球坐标形式为0sin1sinsin12222uururr狄利克莱问题解的泊松积分为 1 区域是圆时，u=0, u|r=a=()，解为泊松

25、积分 dcos221,2222rarararu式中()为已知连续函数，()=(+2). 2 区域是球时，u=0, u|r=a=()，解为泊松积分, 200232222ddsincos2,4,rararaaru式中()为已知连续函数，,cossinsincoscoscos拉普拉斯方程拉普拉斯方程: : 球内定常温度分布的狄利克莱问题拉普拉斯方程的狄利克莱问题. 选用球坐标,0sin1sinsin12222fruuuvrurrar 令u(r, ,)=v(r,)().代入方程，分离变量得 ()+k2()=0 (1) (2)0sinsinsin1222vkvrvrr利用对于变量的周期性，u(r,)=u

26、(r,+2)，可知方程(1)中的k只能取m(m=0,1)，那末()取cosm,sinm.再将方程(2)分离变量，令v=R(r)H(,)，得 (3)RrRrr22dd (4)HHmH222sinddsinddsin1方程(4)的解可用勒让德多项式表示，为了使解有界，只能取n2=n(n+1) (n=0,1,2,)对应的解H()=Pn(m)(cos)，Pn(x)为勒让德多 Pxxddxpxnmmmmn122项式 nnnnnxdxdnxP1!212方程(3)可写成rd RdrrdRdrn nR222210这是欧拉方程，其有界解为R(r)=c1rn.最后将u的特解迭加，利用边界条件和球函数的正交性得 u

27、 rraAmBmPnnmnmnmmnn, ,cossincos 00式中Pn(m)(cos)为一般勒让德函数. 20020020000,ddsinsincos,!212ddsincoscos,!212ddsincos,412mPfmnmnnBmPfmnmnnAPfnAmnnmmnnmnn 如果二次连续可微，则表示的级数一致收敛，它就是狄利f ( , ) u r ( , , ) 克莱问题的解.Fourier变换：变换：在-l , l区间上)(xflxinclxnblxnaannnnnexp)sincos(210 llntltntfladcos)(1), 2 , 1 , 0(n llntltntf

28、lbdsin)(1), 2 , 1(n llntltintflcdexp)(21), 2, 1, 0(n或者 )(xfllnlltltxntflttfl1d)(cos)(1d)(21 nlltltxintfld)(exp)(21当是偶函数或奇函数时，同区间上的情形一样，分别有余弦级)(xf, 数或正弦级数.在区间上 , )(xf10)2(sin)2(cos2nnnxnbxnaa nnxinc)2(exp ttntfand)2(cos)(2), 2 , 1 , 0(n ttntfbnd)2(sin)(2), 2 , 1(n ttintfcnd)2(exp)(2), 2, 1, 0(n或者 f (

29、 x )ttxntfttfnd)(2cos)(2d)(11 nttxnitfd)(2exp)(1Laplace变换：变换：的拉普拉斯变换)(tf (s 是复数，s=)0d)()()(tetftfsLtsi拉普拉斯变换的反演公式 iistsesLisLtfd)(21)()(1)0, 0(t积分沿着任一直线 Res=来取，是的增长指数，同时，积分理解为aa)(tf在主值意义下的.拉普拉斯变换的存在条件 如果满足下面三个条件，那末它的拉普拉斯变)(tf换存在.(i)实变量的复值函数和在上除掉有第一类间断点（在任)(tf)( tf)0( t一有限区间上至多有有限多个）外连续；(ii)当 t0,使得)(

30、tf0a taAetf)()0( t这里数称为的增长指数，是有界函数时，可取=0.a)(tf)(tfa 如果满足上面三个条件，那末 L ( s )是半平面 Res上的解析函数.而反演a公式在 的连续点处成立.)(tf拉普拉斯变换的性质 (a 是常数)()(tfatfa (a,b 是常数)()()()(tgbtfatbgtaf )()()()(tgtftgtf式中 ttuugutfuutguftgtf00d)()(d)()()()(称为函数和 g (t)的褶积（或卷积）.)(tf场论场论:梯度具有性质：grad() gradgrad (、为常数) grad() grad grad gradF()

31、 gradF方向导数lgradcoscoscosl xyz式中 l(cos,cos,cos)为方向 l 的单位矢量,为其方向角.方向导数为在方向 l 上的变化律，它等于梯度在方向 l 上的投影.散度divR=R=div(X , Y , Z)xXyYzZ式中为哈密顿算子.散度具有性质： div(ab) divadivb (、为常数) div(a)div aa grad div(ab)brot aarotb旋度 rotR()i()j()k=R=zYyZxZzXyXxYZYXzyxkji式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot R 有的书刊中记作 curl R.旋度具有性质：rot(ab) rot a

32、rot b (、为常数)rot(a)rot aagradrot(ab)(b)a(a)b(div b)a(div a)b梯度、散度、旋度混合运算 运算 grad 作用到一个标量场产生矢量场grad，运算 div 作用到一个矢量场 R 产生标量场 div R，运算 rot 作用到一个矢量场 R 产生新的矢量场.rot R.这三种运算的混合运算公式如下：div rot Rrot graddiv grad =22x22y22zgrad div R(R) rot rot R(R)div grad(+)= div grad+div grad (、为常数)div grad()=div graddiv gra

33、d gradgradgrad div Rrot rot RR式中为哈密顿算子，为拉普拉斯算子. 附：附：孤立波与孤立子孤立波与孤立子王振东现代自然科学正发生着深刻的变化，非线性科学贯穿着数理科学、生命科学、空间科学和地球科学，成为当代科学研究重要的前沿领域。孤立波与孤立子正是推动非线性科学发展的重要概念之一，而此概念最初的提出，正好又来源于流体力学的研究。孤立子起源于孤立波，它已在非线性光学、磁通量子器件、生物学、等离子体及光纤孤立子通讯等一系列高科技领域有了令人瞩目的应用，所以了解孤立波与孤立子的研究历史，对于学习与研究力学史和科学史，均是很有必要的。孤立波的发现历史拉塞尔（John Sco

34、tt Russell 1808-1882，曾有译为罗素，现根据北京大学周光坰先生所译，译为拉塞尔）是苏格兰一位优秀的造船工程师，对船体的设计有独到的见解，作过重要的贡献。1834 年 8 月为研究船舶在运动中所受到的阻力，他在英国爱丁堡格拉斯哥运河中，牵引船舶进行全尺寸的实验与观测。最初，牵引船舶的动力是两匹马，以后改用滑轮和配重系统。在实验中，他观察到一种他称作孤立行进波的现象。当时他骑着马追踪观察一个孤立的水波，在浅水窄河道中的持续前进，这个水波长久地保持着自己的形状和波速。这一奇妙现象的发现，就是孤立波和现今关于孤立子研究的起始。拉塞尔后来在做学术报告和发表文章时，是这样描述他的发现的：

35、“我把注意力集中在船舶给予流体的运动上，立刻就观察到一个非同寻常而又非常绚丽的现象，它是如此之重要，以致我将首先详细描述它所表现出来的外貌。当我正在观察一只高速运动的船舶，让它突然停止时，在船舶周围所形成的小波浪中，一个紊乱的扰动现象吸引了我的注意。在船身长度的中部附近，许多水聚集在一起，形成一个廓线很清楚的水堆，最后还出现一尖峰，并以相当高的速度开始向前运动， 到船头后，继续保持它的形状不变，在静止流体的表面上，完全孤立地向前运动，成为一孤立行进波，直到河道的转弯处才开始消失掉。 ”拉塞尔还继续生动地描述了他对这一现象所做出的反应：“我立刻离开了船舶停留的地方，准备用步行去跟上它，但发现它运

36、动得很快，我即刻骑上马，在几分钟之内赶上了它，并发现它以一均匀速度沿静止流体表面作孤独的运动。跟随它一英里多以后，我发现它开始逐渐衰减，并在运河的转角处最后消失。这一现象只要船舶快速行驶时，突然让它停止，就可以重复观察到。它是如此的重要和有趣，以致后来诱使我进行了许多有关水波课题的实验。 ”为了进一步验证这一现象的存在并了解其性质，拉塞尔在 1837 年 8 月又在一长 20 英尺、宽 1 英尺的水槽中，进行了一系列受人工控制的实验，获得了与现场实验相同的结果。同时根据这些实验结果，他提出了孤立波传播速度的计算公式，孤立波传播速度与重力加速度，静止水的初始深度，和孤立波的高度有关。关于孤立波的

37、争论与问题的解决纵观力学和物理学的发展史不难看到，每当开始引入一种新思想或新概念的时候，往往会受到怀疑和非难，并常会引起激烈的争论，孤立波的命运也是如此。当时科学界的权威们对拉塞尔的这些结果，一开始时就表示了怀疑和反对。甚至连当时对波动研究颇有造诣的英国天文学家艾里（George Biddell Airy ，1801-1892）爵士，与英国流体力学家斯托克斯（George Gabriel Stokes ，1819-1903）爵士也对此提出质疑，怀疑在静止水面上能存在不变形的行波。他们的怀疑的问题主要有：一个完整的波动为什么会全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；波在传播的过程中，

38、为什么波幅不会衰减；波的运动速度也与他们的研究结果不符。这一争论延续到 19 世纪 70 年代才初步得到解决。1862 年和 1865 年 H.E.巴津（Bazin,H.E.）对孤立波进行了一系列的实验，证明了拉塞尔的工作是正确的。英国科学家瑞利（John William Strut Rayleigh，1842-1919）在经过仔细的研究后指出，斯托克斯所研究的波，水深与波长之比接近于 1，而拉塞尔所发现的孤立波，这一比值接近于 0，他们二人研究的具体对象是有差别的，因此各自得到的波的传播速度也就不同。瑞利在 1876 年发表的著作中，首次使用了孤立波（the solitary wave）这一

39、专门术语。 他说“这就是拉塞尔先生给他描述的那个奇特的波起的名字”（拉塞尔在 1840 年的报告中，称他发现的波为 A large solitary progressive wave） 。拉塞尔与艾里、斯托克斯的争论，最终于 1895 年由数学家 D.J.科尔特弗（Korteweg ,D.J.）和他的学生 G.德.弗里斯（Vires ,G.de）所解决。他们在小振幅与长波的假定下，从流体动力学导出了关于孤立波的方程（后人称它为 KdV方程） 。这一方程的行波解，在波长趋于无限的情况下，正是拉塞尔所发现的孤立波。KdV 方程的提出，从理论上阐明了孤立波的存在，给这场争论划上了句号。从拉塞尔的发现

40、到 KdV 方程的提出，大约经历了 60 年时间，孤立波才为学术界普遍接受。拉塞尔当时已经知道了孤立波的一些重要性质，如：孤立波在传播过程中保持波形和速度不变；两个孤立波碰撞时互相穿透且维持原来的波形和速度；孤立波的波幅愈高，其传播速度愈快，等等。拉塞尔当时发现孤立波的河流，是流经在苏格兰、爱丁堡 Heriot-Watt 大学校园附近的 Union Canal 。为纪念拉塞尔这一重要的科学发现，他当年发现孤立波的地方，已被列为历史名胜受到保护。英国 Heriot-Watt 大学在 1982 年曾举办了纪念拉塞尔逝世 100 周年学术讨论会，来自世界各地拾几个学科的科学家聚集一堂，热烈地交谈和讨

41、论有关孤立波和孤立子的学术问题。60 年寂静和重又活跃虽然 1895 年 KdV 方程从理论上阐明了孤立波的存在，但当时学术界还没有能回答孤立波是否稳定；两个孤立波碰撞后其速度和波形是否改变；以及在流体以外的其他领域，孤立波是否也存在等重大问题。从 19 世纪末到 20 世纪中，关于孤立波的研究工作处在寂静时期，没有明显的进展。尽管在非线性电磁学、固体物理、流体动力学、神经动力学等学科中，相继提出了一些与孤立波有关的问题，但当时有关孤立波的已有的知识，在新问题面前显得很不够用，且这些问题与应用数学之间相互促进的关系，也没有得到足够的重视。人们似乎已忘记了拉塞尔发现孤立波的重要意义。经过了约 6

42、0 年的平静时期之后，1955 年由于费米（Enrico Fermi） 、帕斯塔（John Pasta） 、犹拉姆（Stan Ulam） （以下简称 FPU）发表了“Studies of nonlinear problem”一文，重新燃起了人们对孤立波的兴趣，使对孤立波的研究又活跃了起来。FPU 实验原先是要研究一维非线性动力学系统：一根一维的、连续分布的弦两端固定，将其分成 N 段，每段当成一个单元；并将每个单元简化成具有相同质量的质点，其间相互作用力包括线性和非线性部分。FPU 在 Los Alamos 的 Maniac I 计算机上进行数值计算，出乎人们意料地得知能量集中在最低的振动模式。1965 年，美国普林斯顿大学的应用数学家 Matin D. Kruskal 和贝尔实验室的 Norman J. Zabusky 对 FPU 结果的进两个 KdV 孤立波的碰撞一步研究发现，若用弦的位移表示，它们正好满足 KdV 方程。两个 KdV 孤立波的碰撞上图表示两个 KdV 孤立波的碰撞，可以看