浅谈行列式的计算方法

1、高等代数研究期末（论文） 题 目: 学 院: 班 级: 姓 名: 学 号: 指导教师: 完成时间: 行列式的计算方法-浅谈行列式的计算方法 摘要：行列式是高等代数课程里基本而重要的计算内容之一，在数学和现实生活中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文阐述行列式的定义及基本性质，介绍了利用行列式的性质计算、化三角法、代数余子式法、加边法（升阶法）、范德蒙得行列式法等5种基本计算方法和数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算、拆项法、因式分解法等5种特殊计算方法。这些行列式的计算方法可以提高我们对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入。关键词：行列式 计算方法 化三角法 展开 行列

2、式的定义和性质是行列式进行计算的前提条件，所以本文将先阐述行列式的定义和相关性质。1、 行列式的定义与性质1、 排列与逆序（1） 排列：由个自然数1,2,3，组成的无重复有序实数组，称为一个级排列。（2） 反序：在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。例如，排列132有一个反序；321有三个反序。在一个排列里出现反序总数叫做这个排列的反序数。反序数为奇数的排列称之为奇排列，反序数为偶数的排列成为偶排列。2、 定义阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 的代数和，这里是的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时，带有正号，当是奇排

3、列时，带有负号.这一定义可以写成 这里表示对所有级排列求和。3、 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等。即性质2 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。推论1 如果一个行列式有两行（或两列）完全相同，那么这个行列式等于零。性质3 把一个行列式的某行（列）的所有元素同乘以某一个数，等于以数乘这个行列式。推论2 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论3 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。推论4 如果一个行列式有两行（列）的对应元素称比例，那么这个行列式等于零。性质4 设行列式的第的所有元素可以表成两项的和：那么等于

4、两个行列式与的和，其中的第行的元素是，的第行的元素是，而与的其他各行都和的一样。即性质5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。2、 行列式的计算方法 行列式的形式不一样，其计算的方法也不一样，在这里将行列式的计算方法分两大类进行论述。它们分别是1、行列式的基本计算方法；2、行列式计算的特殊方法。行列式基本计算法包括：性质法、化三角法、代数余子式法、升阶法、范德蒙的行列式法。行列式计算的特殊方法包括：数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算法、拆项法、因式分解法。1、 行列式的基本计算方法（1） 利用行列式的性质计算：例1 计算行列式解:（2） 化三角

5、形法： 该方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例2计算解：将2至行所以元素均加至第一行得，故将第一行的倍加到第行（2,3，）得（3） 代数余子式法在一个级行列式中,把元素所在的行与列划去后，剩下的个元素按照原来的次序组成的一个阶行列式,称为元的余子式，带上符号称为的代数余子式,记作（1）定理1: 行列式等于其第 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即（2）将中

6、第行依次与前行对调，调换次后位于第一行;将中第列依次与前列对调，调换次后位于第一列;经次对调后，就位于第一行、第一列，即.(3) 一般地同理有:.例3 计算四阶行列式 解： 按第一行展开，有对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得（4) 升阶法（加边法）升阶法加边法（加边法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外。例4 求下列行列式的所有根：解：由加边法，在原行列式上加一行，加一列，则变为再按最后一个行列式的第一列展开得：的根为，

7、（5） 范德蒙行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质，如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。例5 计算解:从第1行开始，依次用上一行的倍加到下一行，进行逐行相加可得：2、 行列式计算的特殊方法（1） 数学归纳法当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。例6 计算阶行列式解：由于，因而猜想 现在用第二数学归纳法来证明。当时结论成立。归纳

8、假设结论对都成立，再证时，对按最后一行展开得 即证结论对也成立，从而得证式。(2) 递推法如果阶行列式通过降阶的方法将原行列式表成若干与原行列式结构相同的低阶行列式，,的线性表达式，即递推关系式，则可用递推法求解。例7计算行列式.解：将第一列展开，得.由递推，得： （3) 利用矩阵特征值计算1）特征值的定义设 是阶方阵，如果存在数和非零维列向量，使得 成立，则称是的一个特征值。非零维列向量称为矩阵的属于（对应于）特征值的特征向量，简称的特征向量。 求矩阵特征值的方法：，等价于求，使得其中是单位阵，0为零矩阵，求得的值即为值。定理2:如果阶矩阵的全部特征值为，则。 定理3:设为方阵的特征值，为的

9、多项式，则为的特征值。例8已知三阶矩阵特征值为-1,1,2.设求：解 由定理2得： 因为由定理3得的特征值为： 所以 的特征多项式为令，得故 （4） 拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算。例9计算行列式 .解： .（5） 因式分解法如果行列式是某个变数的多项式，可对行列式施行某些变换，求出的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为，则，再比较与的某一项的系数，求出值。例10计算行列式. 解：,所以，.同理均为的因式，又因为与各不相同，但的展开式中最高次项的系数为1，故.计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值.学习中多练习，多总结，才能更好地掌