随机信号分析(常建平李海林版)课后习题答案

1、由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析第三章习题答案、随机过程 x(t)=a+cos(t+b) ，其中 a 是均值为 2，方差为 1 的高斯变量， b 是（ 0，2 ）上均匀分布的随机变量，且 a 和 b 独立。求（1）证明 x(t) 是平稳过程。（2）x(t) 是各态历经过程吗？给出理由。（3）画出该随机过程的一个样本函数。（ 1）e x (t)e aecos tb2a与b相互独立xrt , tea21 cos51 cos22（2）ex 2 t5 12xt 是平稳过程x (t)lim1t2ttxt dtat3-1

2、 已知 平稳过程x (t)的功率谱密度为gx ()32(216)，求：该过程的平均功率？ 取值在 ( 4,4) 范围内的平均功率？ 解(1)： pex 2t12gxd方法一 ( 时域法 )r( )f1g (124x)4 f4224 e 4p1r(0)4方法二( 频域法)p1124g (x)d1232422d12d1444arc tanx'11x2(2)取值范围为 -4,4内的平均 功率124p3224 422d23-7 如图 3.10 所示，系统的输入x (t) 为平稳过程，系统的输出为y( t)x (t)x ( tt ) 。证明：输出y(t ) 的功率谱密度为gy ()2gx ()(

3、1cos解:已知平稳过程的表达式利用定义求ry ( )ey(t)y(t)gy ()f ry ( )ry ( )ey (t )y(te x (t ) 2rx ( )x (trx (t ) x (tt)rx ()t)x (tt系统输入输出 平稳gx ()rx ( )gy ()ry ( )利用傅立叶变换的延时特性g (y)2g (x)gx(tj tg ()e jt2gx ()2gx () ee 2xejj t2gx ()(1cost)t )3-9 已知平稳过程分别为x (t )和y(t) 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度令新的随机过程gx ()16216gy ()2216z (t)v

4、(t )x (t )x (t )y(t)y(t )证明x (t ) 和y (t ) 联合平稳；求 z(t)的功率谱密度gz () ？求 x (t ) 和y(t) 的互谱密度 gxy () ？求 x (t ) 和z(t)的互相关函数rxz ( ) ？求v (t)解:和z(t)的互相关函数rvz ( )(1) x (t )、 y (t)都平稳r ( )f 1g2e 4e 2 x (t)r ()0e x (t )0xxx4ry ( )2eey (t )0x (t )与y (t)独立rxy (t, t)e x (t)ey(t)0x (t)与y(t)联合 平稳(2) z (t)x (t )y(t)rz

5、( )e z(t) z(t)e x (t)y (t )x (t)y(t)rx ( )rxy ( )0ryx ( )rxy ( )ry ( )rz ( )gz ()rx ( )gx ()ry ( )gy ()2162161(3) rxy ( )0gxy ()0(4) rxz ( )e x (t) z (t)ex (t)x (t)y(t)r ( )r( )r ( )f 1 g()2e4| |xxyxx(5) rvz ( )ev (t )z (t)e x (t)y (t )x (t)y (t)rx ( )ry ( )( )4e4| |3-11 已知可微 平稳 过程x (t )的自相关函数为rx (

6、)2exp2 ，其导数为y(t)x (t)。求互谱密度gxy ()和功率谱密度gy () ？ .平稳 过程维纳辛钦定理gxff 1rx ( ) .2-17 已知平稳过程x (t) 的均方可导，y(t)x (t ) 。证明x (t), y (t ) 的互相关函数和y (t ) 的自相关函数分别为rxy ( )drx ( )ry ( )d 2rx ( )2dd.傅立叶变换的 微分性质解 : g ()f r( )22f 2 e2e4xx22t高斯脉冲ee2222p279表第28个expt222exp2利用傅立叶变换的微分 特性2rxy ( )rx ( )gxy ()jgx ()2je422r ( )

7、r ( )g ()( j) g()2e42yxyx3-17 已知平稳过程x (t ) 的物理功率谱密度为fx ()4 ，求 x (t)的功率谱密度gx ()和自相关函数rx ( )？画出fx (), gx(), rx ( )的图形。判断过程x (t ) 是白噪声还是色噪声？给出理由物理功率谱密度 定义式fx ()2gx () ug ()1 f ()2,2xxrx ( )2 ( )e x ( t)rx ()0， x (t)是白噪声。白噪声的定义若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴(,) 上均匀分布，满足(3-1)其中 n0 为正实常数，gn ()1n20则称此过程为白噪声过程，简称白

8、噪声。随机信号分析第四章习题答案4-4 设有限时间积分器的单位冲激响应2h(t)=u(t) u(t 0.5)它的输入是功率谱密度为10vhz 的白噪声，试 求系统输出的总平均功率、交流平均功率 和输入输出互相关函数白噪声h try思路 :pe y 2 (t )1gd2yydy(t )ey 2 (t)m2e y 2r0rxyyyrxh解：输入输出互相关函数rxy ( )rx ( )h( )10 ( )h( )10h( )10u ( )u (0.5)ryx ( )rxy()10u ()u (0.5)时域法x (t )是白噪声， mx0，g x ()10rx ( )10( )mymxh( )d0，0

9、ry ( )rx ( )h( )h()10h( )h()10h() h()d02ry ( 0)1000.5h()h( 0)d10u ()0u (0.5) d101 d0100.55面积法平均功 率：ey (t )ry (0)py52m5y交流平均功率： dy(t )ey 2( t)2频域法j矩形脉冲 a utut的频谱等于a sa22e(信号与线性系统书p131371式）h ()1 e21j4sa4gy ()gx () h ()212e142j10sa452sa24py12gyd121205 sa224d5sa22d1mymxh00 h直流分量为 0交流平均功率 ： dy(t )ey 2 (t

10、)m2yey 2 (t )py54-5 已知系统的单位冲激响应h(t )(1t)u (t)u (t1) ，其输入平稳信号的自相关函数为 rx ( )2 ( )9 ，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率 直流分量的平mymxh t方解:输入平稳mr32r00xxx输出的 直流分量输出的 直流功率mymxh tm29y4133h t =3 1-d02f变换 频域的微分特性 -jtftd fj dtfth(t )(1jt)u (t )d fj du (t1)(1t)a t=a tta thaja'矩形脉冲utut1的频谱jasae22j'jja'sae

11、21 sa'e 2sae 2j22222gygx2hg xhh21sa'sa290r2224yh0 a 0ja'0 1jj1lim sa022023mymxh0直流功率 9244-7 已知如图 4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为 n 0 的白噪声，求：sin( ax)2220系统的传递函数h () ？输出z (t ) 的均方值？其中2dxa x0 sa( ax)dxa2y()x ()h1()zy ()h 2()zx ()h 1()h 2 ()可以分别求h 1()、 h 2()h ()fh th t冲激响应，输入为冲激函数(1)： y(t)x (t )x

12、 (tt )输入为冲激函数，冲激响应h1 ttttj th1 ()1eh2 (t )t()du (t )1h 2()()jh ()h 1()h 2 ()1(1e j t )(1ej t )()jj (1e j t )()(2) 求输出 z t的均方值即rz (0)，所以有gz ()rz ( )j tj t2h ()(1e)(1e)22 (1cost)jj2sin 2tsin 2t2222g () g()2h ()n 02h ()nsintzx0221sin2tr ( )f 1 g()nejdzz202r (0)1sin 2nte j 0 dz2n 022002d0sin 2tn2tn 0 t2

13、24-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为24gy ()求此稳定系统的单位冲激响应41029h(t) ？gx解：()h2h2gy ()g ()gx ()124ysj带入241029s242s2shshs hss410s29s3s3s1s1系统稳定，则零头、极点都 在左半平面hs2ss3s1h2jj3j111h tf 1hf 122j3j11 e t2e 3t ut4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为23gx ()28设计一稳定的线性系统 h () ，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解： g21g()h1yxhs 213s3sgx (s)22s22shs22s3s

14、即h22j3j用复频率代替s=j2因式分解 hsh (s)h (s)选择依据：系统是稳定的物理可实现系统，所有极点都在左半平面4-14 功率谱密度为n02 的白噪声作用于h (0)2 的低通网络上，等效噪声带宽为xhmhz 。若在 1电阻上的输出平均功率为 0.1w 。求n 0 的值？书 p162fe 单位为h， 故本题2f 2xh106e2zeep1gd1g2y2解：对于低通情况1y2x2h ()dp1yen0h () 222maxen0h () max0.1xh 2106n4110 7n0024xh或者调用公式2h ()d02py)e2h (maxn 02h ()max图 4.24 习题

15、4-184-18 如图 4.24 所示的线性系统，系统输入w(t)是零均值，物理谱密度为 1 的白噪声，且 h(t )e tu(t ) 。判断证明x (t ) 和y (t) 分别服从什么分布？给出理由。y (t) 是严平稳过程。求w(t) 和x (t) 的互相关函数，y( t) 的功率谱密度？写出 y (t) 的一维概率密度表达式？判断同一时刻， x (t) 和y( t) 是否独立？给出理由。解： w(t) 是白噪声 （白噪声带宽无限 ，由定义），线性系统h( t )e t u (t ) ，系统传递函数h ()1，1j是个低通线性系统（带宽有限）由 4.5 节结论 2 若系统输入信号的等效噪声

16、带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布 可知， x (t) 为高斯过程。由 4.5 节结论 1 可知， y (t ) 为高斯过程。x (t) 和y (t) 服从高斯分布证明 y(t) 是严平稳过程证： w (t)是白噪声（宽平稳过程） ，通过线性系统的输出y (t ) 也是宽平稳过程（ 4.2.2结论 1）。对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。求w(t) 和x (t) 的互相关函数，y(t ) 的功率谱密度r( )r ( )h( )1( )etu (t)1eu ( )wxw22h(t )e t u (t )h ()11jg()2h ()g()1傅立叶反变换r ( )1 exp()2xwx2(1)4ry ( )e y( t)y(t)ex (t)x (tt )x (t)x ( tt)2rx ( )rx (t )rx (t )12exp()exp( 4t )exp(t )可得 g ()142e j t2 ej ty4 121212142e j te j t11cost4121212习题 3-7 的结论gy ()2gx()1cos t求 y(t ) 一维概率密度表达式y t 是高斯过程输入零均值，输出零均值，则易得2ry (0)1 1exp( t )2fyy;ty21e 2 22思考 1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量t ，根据 y (t