(完整版)《双曲线》单元测试题

1、双曲线单元测试题一、选择题：(本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分)1已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ±4x，则该双曲线的离心率是(A)1715A.17B.15C.4D.42若双曲线过点(m，n)( m>n>0) ，且渐近线方程为y ±x，则双曲线的焦点(A)A 在x 轴上B在y 轴上C 在x 轴或 y 轴上D无法判断是否在坐标轴上3 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、 F 2， F 1MF 2 120 °，则双曲线的离心率为(B)663A.3B. 2C. 3D. 34已知双曲线9y2 m2x2 1(m>0)的一个

2、顶点到它的一条渐近线的距离为1，则 m 等于5(D)A 1B 2C 3D 45已知双曲线的两个焦点为F 1( 10， 0)、 F2( 10， 0)， M 是此双曲线上的一点，且满uuuuruuuuruuuur uuuur足 MF1gMF20,| MF1 |g| MF2 |2, 则该双曲线的方程是 ( A)22C. x22D.x22x y2 1 B x2 y 1 y 1 y 1A. 9937736设 F1， F2 是双曲线 x2 y2 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且3|PF1| 4|PF2|，24则 PF1F 2的面积等于 (C)A4 2B8 3C 24D 48225，且7 P 是双

3、曲线x2 y2 1(a>0， b>0) 上的点， F1， F 2 是其焦点，双曲线的离心率是ab4uuuruuuur0，若 F 1 2的 面积是 9，则 a b 的值等于 ( B)PF1PF2·PFA 4B 7C 6D 5228设 F1、 F 2 分别为双曲线x2 y2 1(a>0，b>0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点abP，满足 |PF2| |F1F|，且F到直线 PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近221线方程为 (C)A 3x±4y 0B 3x±5y0C 4x±3y 0D 5x±4y 09过双曲线

4、x2 y2 8 的左焦点F 1 有一条弦 PQ 在左支上，若 |PQ| 7， F 2 是双曲线的右焦点，则 PF 2Q 的周长是 (C )A 28B148 2C148 2D8 210我们把离心率为 e 5 1的双曲线 x222 y2 1(a>0， b>0)称为黄金双曲线给出以下2ab几个说法：双曲线x22y2 1 是 黄金双曲线；5 1若 b2 ac，则该双曲线是黄金双曲线；若 F 1B1A2 90°，则该双曲线是黄金双曲线；若 MON 90°，则该双曲线是黄金双曲线其中正确的是(D)A B CD 二、填空题： (本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分，把

5、正确答案填在题后的横线上)11如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别为e ， e ， e ， e ，其大小关系为 _1234e1<e2<e4<e3_ x2 y212已知双曲线 1的左顶点为A 1，右焦点为F2，P 为双曲3uuuruuuur线右支上一点，则PA1·PF 2 的最小值为 _ 2_x2y2F1、F13 已知点 P 是双曲线 2b2 1 上除顶点外的任意一点，2a分别为左、右焦点，c 为半焦距， PF 1F 2 的内切圆与F1F2切于点 M，则2|F M | |F· M | _ b _.122214 已知双曲线x2 y2 1(a>0 ， b&g

6、t;0) 的左、右焦点分别为F1 ( c,0) 、absin PF 1F 2aF 2(c,0)若双曲线上存在点P，使 sin PF 2F 1 c，则该双曲线的离心率的取值范围是 _(1，2 1)_15以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e1， e2，则当它们的实、虚轴都在变化时，2e12e2的最小值是 _4_三、解答题： (本大题共4 小题，共45 分)16.(本题满分 10分 )已知双曲线的中心在原点，焦点F 1， F2 在坐标轴上，离心率为2 ，且过点 (4，10)点 M (3， m)在双曲线上uuuuruuuur(1

7、) 求双曲线方程； (2) 求证： MF 1 ·MF 2 0； (3)求 F 1MF 2 面积解： (1) e2，可设双曲线方程为x2 y2 .过点(4，10)， 16 10 ，即 6.双曲线方程为x2 y2 6.(2) 证明： 法一 ：由(1) 可知，双曲线中 a b 6， c 2 3， F 1( 2 3， 0)， F 2(2 3， 0)， kMFmm，1， kMF 23 233 2312m2 m2kMF ·kMF 9 123 .点 (3， m)在双曲线上，9 m2 6， m2 3，故 kMF 1·kMF 2 1， MF 1 MF 2.uuuuruuuur MF

8、 1 ·MF 2 0.uuuuruuuur法二 ： MF 1 ( 3 23， m)， MF 2 (23 3， m)，uuuuruuuur MF 1 ·MF 2 (3 23)× (3 23) m2 3m2， M 点在双曲线上，9 m2 6，即 m2 3 0，uuuuruuuur MF1 ·MF2 0.(3)F 1MF 2 的底 |F1F2| 43，由 (2) 知 m± 3. F 1MF 2 的高 h |m|3， S F1MF 2 6.217 (本题满分 10 分 )已知 曲线y x2 1.C： uuuruuur(1) 由曲线 C 上 任一点 E

9、向 x 轴作垂线，垂足为F，动点 P 满足 FP3EP ，求点 P的轨迹 P 的 轨迹可能是圆吗？请说明理由；(2) 如果直线 l 的斜率为2，且过点 M (0，uuuruuur9 2)，直线 l 交曲线 C 于 A、 B 两点，又 MAgMB，求曲线 C 的方程2uuuruuur解： (1) 设 E (x0， y0)， P(x， y)，则 F (x0,0)， FP3EP, ，x0x, (x x0， y) 3(x x0， y y0) 2 y.y0322 4时，轨迹是圆代入 y0 x02 1 中，得4y x2 1 为 P 点的轨迹方程当99(2) 由题设知直线l 的方程为 y2x 2，设 A (

10、x1， y1)， B(x2， y2)，y2x2,联立方程组y2消去 y 得： ( 2)x2 42x 4 0.x21. 方程组有两解， 2 0 且>0， >2 或 <0 且 2， x1 ·x24， 2uuur uuur3(4 )而 MAgMB x1x2 (y1 2) ·(y2 2) x1x2 2x1· 2x2 3x1x2 2，4 23，解得 14. 曲线 C 的方程是 x2 y 1.22142212为焦点的双曲线x y 1 上的一点，已知18 (本题满分 12 分 )如图， P 是以 F 、 FC： a2b2uuuruuuuruuuruuuurPF

11、PF0,且|PF |2| PF |.(1)求双曲线的离心率e；1 g212(2) 过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P1、P2 两点，若uuur uuur27uuuruuurOP1 gOP2,2 PP1PP2 0. .求双曲线 C 的方程4uuur uuuuruuuruuuur解： (1)由 PF1gPF20, 得 PF1PF2 ，即 F1PF 2为直uuuuruuur角三角形设 | PF2 | r ,| PF1 | 2r ，于是有 (2r )2 r2 4c2 和2r r 2a，也就是 5× (2a)2 4c2，所以 e 5.be2 1 2，可设 P1(x1,(2) a2

12、x1)， P2(x2， 2x2)， P( x， y)，uuur uuur x1x2 4x1x2 27， 所 以x1x29. 由则 OPOP1g244uuuruuurx2x2(x1x)即 x 2x1 x2， y 2(2x1 x2)； 又因为点P2PP1PP2得,0y2(2 x1332x2y)x2y2(2x1 x2)24(2x1 x2)2在双曲线 a2b2 1 上，所以9a29b2 1，又 b2 4a2，代入上式整理得x1x29 222x2y2 a ，由 得 a 2， b 8，故所求双曲线方程为 1.82819 (本题满分13 分 )已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为 23.

13、(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 若直线 l： y kx 2与双曲线 C 左支交于 A、 B 两点，求 k 的取值范围；(3) 在 (2) 的条件下，线段AB 的垂直平分线 l 0 与 y 轴交于 M (0， m)，求 m 的取值范围22解： (1) 设双曲线 C 的方程为 x y 1(a>0， b>0)a2b2由已知得： a 3， c 2，再由 a2 b2 c2， b2 1，双曲线 C 的方程为x23 y2 1.(2) 设 A (xA ， yA)、 B(xB ，yB)，将 y kx 2代入 x2 y2 1， 3得： (1 3k2)x2 62kx 90.1 3k2 0， 36 1 k2 >0 ，由题意知62k解得3xA xB13k2<0，3<k<1. 9xA xB1 3k2>0 ，3当 3 <k<1 时， l 与双曲线左支有两个交点6 2k(3)