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文档简介
1、1.1.1 正弦定理教学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法:让学生从已有的几何知识出发 ,共同探究在任意三角形中, 边与其对角的关系, 引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应 用的实践操作。情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点
2、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程1 .课题导入角与边的等如图1. 1-1 ,固定 ABC的边CB及 B,使边AC绕着顶点C转动。思考:C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系?显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?2 .讲授新课探索研究在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,式关系。如图,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,/ a _有一sincsin B ,又 sin C则一a- sin Asin Bc csin C从而在直角三角形AB
3、C 中,sin A sin B sin C思考1:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:(由学生讨论、分析)如图1. 1-3, (1)当 ABC是锐角三角形时,设边 数的定义,AB上的高是CD根据任意角三角函有 CD=asin Bbsin A,贝U a sin Asin B,同理可得从而-asin C bsin A sin B sin C(2)当 ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。思考2:还有其方法吗?(由学生课后自己推导)由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题。(证法二)u uur:过点A作单位向量j AC,由向量的加法可得u
4、ur uur uuAB AC CBir 则juir irAB jin uur(AC CBu uurj ABuuuj ACiruurCBr uurj | AB cos090 Ar uurjCB0cos 90 CI. csinA asinC ,即r同理,过点C作ja csin A sinCuurBC ,可得bsin BcsinC从而asin Asin Bsin C从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即以sin Bsin C理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数 k 使a ksin A, b
5、 ksin B , c ksinC;(2)sin A sin B sin C等价于sin A sin B sin Csin B sin A sin C思考:正弦定理的基本作用是什么?已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如bsin Aa;sin B已知角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如a .sin A -sin B 。 b一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1.在 ABC 中,已知 A 32.00, B 81.80, a 42.9 cm,解三角形。解:根据三角形内角和定理,C 1800(A B) 1800(32.00 81.80
6、) 66.20 ;根据正弦定理,asinB b -sin A根据正弦定理,asin C c sin A42.9sin81.80sin32.0042.9sin66.20sin32.0080.1(cm);74.1(cm).评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习:在 ABC中,已知下列条件解三角形。(1) A 45 , C 30 , c 10cm,(2) A 60 , B 45 , c 20cm例2.在ABC中,已知a 20cm, b 28cm, A 40,解三角形(角度精确到1,边长精 确到1cm)。解:根据正弦定理,sinBbsinA 28sin400200.8999.因为00 v B
7、 v 1800 ,所以B1160当 B 640时C 1800 (A B) 1800 (40 0 640)760asinCsin A20sin760sin40030(cm).B 1160时C 1800 (A B) 1800 (400 1160)asinCsin A20sin240sin40013(cm).应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。课堂练习第4页练习第2题。思考题:在 ABC中,a-三.课时小结(由学生归纳总结)bsin Bcsin Ck(ko),这个k与 ABC有什么关系?(1)定理的表示形式:sin A sin Bcsin Csin A sin B sin C
8、或 a ksin A, b ksinB, c ksin C(k 0)(2)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边,求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。四.课后作业:P10面1、2题。1.2解三角形应用举例第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣 ,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学 符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点:根据题意建立数学模型,画
9、出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形?2、设置情境请学生回答完后再提问: 前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离, 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。于是上
10、面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。3、新课讲授(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的 条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解(2)例1、如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,BAC=51 ,ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)提问1: ABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当?提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。分
11、析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边AB的对角,AC为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定理算出 AB边。解:根据正弦定理,得 sinAB_ACBACsin ABCAB = ACsin ACB =sin ABC55sin ACB =sin ABC55sin75sin(180 5175 )55sin75 65.7(m) sin54答:A、B两点间的距离为65.7变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30 ,灯塔B在观察站C南偏东60 ,则A、B之间的距离为多少
12、?老师指导学生画图,建立数学模型。解略: 氏a km例2、如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量 A、B两点间距离的方法。分析:这是例1的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形,所以需要确定 C D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边的方法,分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。图 1. 2-2解:测量者可以在河岸边选定两点C D,测得CD=a并且在G D两点分别测得BCA=,ACD= , CDB= , BDA =,在 ADC BDC中,应用正弦定理得AC =asin( )=asin()sin180
13、 ()sin()BC =asin=asinsin180 ()sin()计算出AC和BC后,再在 ABC中,应用余弦定理计算出 AB两点间的距离AB =AC 2 BC 22 AC BC cos分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练:若在河岸选取相距 40米的C、D两点,测得 BCA=60 , ACD=30 , CDB=45 ,BDA =60略解:将题中各已知量代入例2推出的公式,得 AB=20J6评注:可见,在研究三角形时, 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些 过程较繁复,如何找到最优的方法, 最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择
14、最佳的计算方式。4、学生阅读课本4页,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。5、课堂练习:课本第 14页练习第1、2题6、归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模型(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 四、课后作业1、课本第22页第1、2、3题2、思考题:某人在 M汽车站的北偏西 20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公
15、路的走向是 M站的北偏东40 。开始时,汽车到 A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了 10千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?北八B 处。在 ABC 中,AC=31, BC=2Q35、. 3cosC - cos120 sinC = 62解:由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达AB=21,由余弦定理得 _ 2_ 22c AC BC AB 23cosC=2AC BC 31贝U sin 2 c =1- cos 2 c = 432 ,31212 3sinC =,所以 sin MAC = sin (120 -C) = sin120在 MAC由正弦定理得ACsin MA
16、C3135.3 “MC =35sin AMC,3622从而有 MB= MC-BC=15 答:汽车还需要行驶 15千米才能到达 M汽车站。作业:习案作业三第二课时1.2解三角形应用举例一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法,养成良好的研究、探索习惯。3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点、难点重点:结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件三、教学过程I .课题导入提问:现实生活中,人们是怎样测量底部
17、不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的 飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题n.讲授新课范例讲解例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度AB的方法。图 L2-4分析:求AB长的关键是先求 AE在 ACE中,如能求出 C点到建筑物顶部 A的距离CA再 测出由C点观察A的仰角,就可以计算出 AE的长。解:选择一条水平基线 HG使H G B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是,CD = a ,测角仪器的高是 h,那么,在 ACD中,根据正弦定理可得AC = asin sin( )AB=AE +
18、 h=ACsin + h = asin sin + h sin( )例2、如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点 A的俯角 =54 40 ,在塔底C处测得A处的俯角 =50 1。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(W确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗?若在 ABD中求CD则关键需要求出哪条边呢?生:需求出BD边。师:那如何求BD边呢?生:可首先求出解:在 ABC中,BAC=-ABsin(90 )所以AB边,再根据BCA=90 + , BAD =AB = BCsin(90BAD= 求得。ABC =90 -,.根据正弦定理,)_ BCcossin( )sin()BC
19、= sin()在 Rt ABD中,得 BD=ABsinBAD三BCcos sinsin( )将测量数据代入上式,得 BD = 273coS501sin5440 = 273cos501sin5440 -177 ) sin5440 501)sin4 39CD =BD -BC= 177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.思考:有没有别的解法呢?若在 ACD43求CD可先求出AG思考如何求出 AC?例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南 25的方向上,仰角为8 ,求此山的高度CD.思
20、考1: 思考2:边)欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢?(在 BCD中)在 BCD43,已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长?(BC解:在 ABC中,A=15 , C= 25 -15 =10,根据正弦定理,BCABABsinA-= , BC =-s7.4524(km) CD=BC tan DBO BC tan8 sinAsinCsinC1047(m)答:山的高度约为1047米m.课堂练习:课本第17页练习第1、2、3题W .课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化。V
21、.课后作业1、作业:习案作业五1.2解三角形应用举例第三课时、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题2、通过综合训练强化学生的相应能力,让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过 程中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三。3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并激发学生的探索精神。二、教学重点、难点重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程I.课题导入创设情境提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然
22、而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面 的测量问题。n .讲授新课范例讲解例1、如图,一艘海轮从 A出发,沿北偏东75的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从 A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路分析:首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角 ABC即可用余弦定理算出 AC边,再根据正弦定理算出 AC
23、边和AB边的夹角CAB解:在 ABC中, ABC=180 - 75+ 32 =137 ,根据余弦定理,AC= , AB2 BC2 2AB BC cos ABC = . 67,52 54.02 2 67.5 54.0 cos137= 113.15根据正弦定理,BC = AC sin cab = BCsin ABC = 54.0sin137 , sin CAB sin ABCAC113.150.3255,所以 CAB =19.0 ,75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B处测得建筑物 AE的顶端A的仰角为 ,沿BE方向前进3
24、0m,至点C处测得 顶端A的仰角为2 ,再继续前进10J3m至D点,测得顶端A的仰角为4 ,求 的大小和建筑物AE的高。解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中,AC=BC=30 , AD=DC=10103 =30。sin2 sin(1804)8s2 =,得 2=30BADC =180 -4,因为 sin4 =2sin2 cos2二15,在 RtADE 中,AE二ADsin60 =15答:所求角 为15 ,建筑物高度为15m解法二:(设方程来求解)设 DE=x, AE二h在 RtADE中,x 2+h2=(10 3) 2在 Rt ACE中,(10 .3 + x) 2 + h 2 =30 2
25、两式相减,得x=5 . 3 ,h=15在 Rt ACE 中,tan2h = 2, nC N ,则此数列是等差数列,d为公差;若d=0,则该数列为常数列.提问:(1)你能举一些生活中的等差数列的例子吗?(2)如果在a与b中间插入一个数 A,使a, A, b成等差数列数列,那么 A应满足什么条 件?由学生回答:因为 a, A, b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: a bA-a=b-A所以就有 A 2由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时, A叫做a与b的 等差中项。不难发现,在一个等差数列中,从第 2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等
26、差中项。如数列:1, 3, 5, 7, 9, 11, 13中,5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。看耒 a 2 a 4 a1 a,a4 a6 a3 a7从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q则aman a p aq等差数列的通项公式提问:对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?、我们是通过研究数列 an的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式: 猜想得到这个数列的通项公式是an 5n猜想得到这个数列的通项公式是an48 5(n 1
27、)猜想得到这个数列的通项公式是an18 2.5(n 1)猜想得到这个数列的通项公式是an 10072 72(n 1)、那么,如果任意给了一个等差数列的首项引导学生根据等差数列的定义进行归纳:a2 a d,(n-1)个等式 a a3 a2 d,a4 a3 d,a1和公差d,它的通项公式是什么呢?所以a2a1 d,a3 a2 d, a3 a2 d (a1 d) da 2d,a4a3 d, a4 a3 d (a12d) da 3d,思考:那么通项公式到底如何表达呢?得出通项公式:以a1为首项,d为公差的等差数列an的通项公式为:an a1 (n 1)d也就是说,只要我们知道了等差数列的首项 a1和公
28、差d,那么这个等差数列的通项 an就可以表不出来了。选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:(迭加法):an是等差数列,(迭代法):an是等差数列,则有 an an 1 d所以 an an1 d,an 2ddan 1 an 2 d,an 2 2dan 2 an 3 d,an 3d 2d nan 3 3da2 a1 d,两边分别相加得ana1 (n 1)d,a1 (n 1)d所以 ana1(n l)d所以an ai (n 1)d例题分析例1、求等差数列8, 5, 2,的第20项.-401是不是等差数列-5,-9,-13,的项?如果是,是第几项?49解:由 &=8, d=5-
29、8=-3 , n=20,得 a208 (21 1) ( 3)由a1 =-5 , d=-9- (-5) =-4 ,得这个数列的通项公式为an5 4(n 1) 4n 1,由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。例2: (1)在等差数列an中,已知a5 10,a12 31,求首项a1与公差d;53(2)已知数列七为等差数列a3一,a7-,求a15的值.44解:(1)解法一:: a5 10 , a12 31 ,则a1 4d 10a12a1 11d 31 d 3所以,这个等差数列的首项是一2,公差是3.解法
30、二:: a12 a5 7d 31 10 7d d 3,由 10 al (5 1) 3 得 a12所以,这个等差数列的首项是一2,公差是3.例3:梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数 歹U,计算中间各级的宽度.解:设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列,由已知条件,可知: a1 =33, a12=110, n=12a12 a1(12 1)d,即 10=33+11 d 解得:d 7因此,a233 7 40,a3 40 7 47,a454,a561,a668, a775,a8 82,a9 89, a10 96, a11 103,答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm, 47cm, 54cm, 61cm, 68cm, 75cm, 82cm,89cm, 96cm, 103cm.例4:三个数成等差数列,它们的和为18,
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