高中数学数列总复习(所有知识点总结)精编材料word版

1、数列数列一、数列的概念与简单表示法1 .数列的相关概念定义：按照一定顺序排列的一列数叫数列.（例如：1,3,5, 7, 9）.项与项数：数列中每一个数叫做数列的项，排在第一位的叫做第一项（通常叫首项），以此类推，排在第n位的叫做数列的第 n项.表示：数列一般形式可以写成：ai ,a2 ,a3 ,L , an ,L ,简记为aj .2 .数列的分类按照数列中项数有限和无限分为：有穷数列，无穷数列.按照数列的项的变化趋势分类：递增数列（an 1an）；递减数列（an1an）；常数列（an1an）；摆动数列（an 1与an随着n的变化大小关系不确定）.例如：1, 3, 5, 7, 9（无穷递增数列）

2、，10,7,4, 1,-2，-14 （有穷递减数列），2, 2, 2,2,（常数列），1, -1,1,-1, 1（摆动数列）.3 .数列与函数的关系一. _ _ * 、 -数列可以看成以正整数 N （或它的有限子集1,2,L ,n）为定义域的函数an f（n）,当 自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值.4 .数列的表示方法通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.*例如：1,3,5,7, 9可表本为an 2n 1 , n N .注意：不是所有的数列都能写出它的通项公式；对于一个确定的数列，通项公式不一定唯一.直接列出： a

3、1,a2,a3,L , an ,L .图像表示：在平面直角坐标系中，数列可以用一群孤立的点（n,an）表示.递推公式：给出数列的第一项（或前几项），再给出后面的项用前面的项来表示的式子，这种表示数列的方法叫递推公式法.1例如：数列an中，有a1 1 , an 1 ，根据此递推公式，我们就可以依次写出数列an 1中的每一项.5. an与S的关系数列前n 项和记为Sn,则Sna1a2a3L an 1 an ,Sn 1a1a2a3Lan1 ,两式相减，得an Sn Sn 1 ,由于n只能取正整数，当n 1时Sn 1不存在，不能使用上式， 但当n 1时很明显有a1故我们得到通项 an与前n项和Sn的关

4、系：S1 (n 1)an.nSn Sn1 (n 2):、等差数列1 .等差数列的定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示.递推式表示为 an 1 an d或 an an 1 d (n 2).例如：数列an满足an 1 an 2,则数列an是公差为2的等差数列.注：d 0时，为递增数列；d 0时，为递减数列；d 0时，为常数列.2 .等差中项若三个数a, A, b成等差数列，则 A叫作a与b的等差中项.，一，a b此时 a b 2A, A .23 .等差数列的通项公式等差数列an的首项为a1,公差为

5、d,则an a1 (n 1)d .4 .等差数列的性质(1)等差数列an的第m项为am ,则an am (n m) d . 例如：a8 a1 7d a2 6d a3 5d a10 2d L .(2)若 mnp q ,则amanaaq,若 m n2p ,则aman2ap. 例如：a1a9a2 a8a3a7a4a6 2a5 , a1an a2an 1 a3an 2 L.(3)下标成等差数列且公差为 m的项ak, ak m , ak 2m ,L组成公差为md的等差数列.例如：a1 , a3 , a5 ,a7 ,L ,a2n 1 ,L组成公差为2d的等差数列；a5 , a10 , a15, a?。，L

6、 , a5n ,L组成公差为5d的等差数列.(4) an是公差为d的等差数列，则kan b也是等差数列，公差为 kd.(5)an,bn都是等差数列，则an bn,pan qbn也是等差数列.5 .判断一个数列是等差数列的方法(1)定义法：an 1 an d (常数).(2)等差中项法：2an+产an+an+2 或 2an=an-i+an+i . (3)通项公式法：an=kn b (公差为k).(4)前n项和公式法：Sn An2 Bn (不含常数项的二次函数).三、等差数列的前n项和1 .等差数列前n项和公式Sn "a、an) (类似梯形面积公式)Sn nai n(n 1)d (带入a

7、n通项公式得到) 2d 2d,，、，1,一一Sn n (a1 )n (以n为变重，体现二次函数) 22-2_一一Sn An Bn (简化写法，不含常数项的二次函数)2 .和的有关性质等差数列an,公差为d,前n项和为Sn,那么：(1) S 也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的-n2(2)等差数列bn,前n项和为Tn,则有包 SU , ( S2n 1 蜘1)an ) . bn T2n 1(3)数列& , 82k Sk ,S3k 32k ,L是等差数列，公差为 k2d . (4) 8f表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，则有：当项数为偶数2n时，S偶S奇nd ,昆-aS 禺

8、 an 1Sn当项数为奇数2n 1时，S奇 S禺an, .S偶n 13.和与函数的关系及和的最值d 2d2Sn 2n （ai万）n简写为Sn An Bn （n N ）,可以把（n,&）看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值.Sn最大值最小值最值条件a1 0,d 0a1 0, d 0通项法an 0 且 an 10在n处&取最大值an 0 且 an 10在n处Sn取最小值二次函数法Sn ,Si=a i>0"4:' d < 0仆SnJi 1:d > 0B/O； Jr!对称轴是整彳值，对称轴彳轴最近bn

9、4=-2Ai11:*数，在对称轴取最大;是整数，在距离对称的整数取最大值O对称轴是整 值，对称轴彳 轴最近TS1=a1<0数，彳 ;是整 二的整彳7n军对称轴取最小数，在距离对称数取最小值四、等比数列1 .等比数列的定义那么这个数列就叫作如果一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数,等比数列，这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q表示（q 0）.递推式表示为芈qan9 | 10或-a q (n 2).an 1例如：数列4满足an i 24 ,则数列an是公比为2的等比数列.则此数列一特别注意：等比数列中任何一项都不为 0,公比q 0,若一个数列是常数列,定是等差数列，除

10、了 0,0,0,L这样的常数列之外，其余的也都是等比数列.注：ai 0, q 1时，%是递增的等比数列；ai 0,0 q 1时，an是递减的等比数列；ai 0,0 q 1时，an是递增的等比数列；ai 0, q 1时，4是递减的等比数列；q 1时，an是非零常数列；q 0时，4是摆动数列.2 .等比中项若三个数a, G, b成等比数列，则 G叫作a与b的等比中项.此时 G2 ab , G Tab .例如：2和8的等比中项为 4.注：一个等比数列，从第 2项起，每一项都是它的前后两项的等比中项，即a21 anan 2每一项都是前后距离相同两项的等比中项，即a2 an man m .当三个数成等比

11、数列时，常设这三个数为：a , a , aq ,当四个数成等比数列时，常设这q四个数为斗，a, aq , aq3.q q3 .等比数列的通项公式 n 1等比数列an的首项为a1,公比为q,则an aq .4 .等比数列的性质(1)等比数列an的第m项为am ,则an amqn m. 7-62例如：a8 aqa?q a3q a"L .，一、 It-IIt-4I2A(2)右m n p q ,贝Uamanapaq ,右 mn 2p,贝Uamanap. 2例如：a1a9a2a8a3a7a4a6a5,a1ana2an1a3an2 L .(3)下标成等差数列且公差为m的项ak ,ak m,ak

12、2m,L组成公比为qm的等比数列.例如： , a3 , a5 ,a7 ,L ,a2n 1 ,L组成公比为q2的等比数列；5 ,a5 ,期，歌，a20 ,L ,a5n ,L 组成公比为 q的等比数列.(4) an是公比为q的等比数列，则kan也是等比数列，公比为 q.(5) an,bn都是等比数列，则kan, | % | ,a2, ,anbn,亘也是等比数anbn列.5 .判断一个数列是等比数列的方法 a-“(1)定义法：q q (常数). an2,、2(2)等比中项法：an 1=anan+2或 an=an-ian+1 (3)通项公式法：an=a1qn1 (公比为q).(4)前 n项和公式法：S

13、n Aqn A(A 0,q 0).五、等比数列的前n项和1 .等比数列前n项和公式n3 (q 1)Sn 3(1 qn) A anq1(q 1)1 q 1 q注意：应用求和公式时，要先看q是否等于1,必要时需讨论.2 .和的有关性质等比数列an,公比为q,前n项和为Sn,那么:(1)数列 Sk,S2kSk,S3kS2k ,Lk是等比数列，公比为 q . (2)SmnSmqmSnSn qS .(3)s奇表示奇数项的和， S禺表示偶数项的和，则有:当项数为偶数2n时，q;S当项数为奇数2n 1时,六、求数列通项公式专题1 .公式法等差数列通项公式：an阚(n 1)d, an am (n m)d .等

14、比数列通项公式：an a1qn1 , an amqn m .2 .已知Sn与%的关系求通项八一、Sl(n 1)已知Sn求an公式：an.nSn Sn 1 (n 2)3 .累加法适用形式：an 1 an f(n).变为an 1 % f (n),下标依次递减1写出等式，直至写到a2 a1f(1),最后把n 1个等式相加即可得到结果.4 .累乘法适用形式：an 1 anf(n).变为a f(n),下标依次递减1写出等式，直至写到三 f(1), ana1最后把n 1个等式相乘即可得到结果.5 .构造法(1)形如an 1 qan p ,用待定系数法构造等比数列.即令 an 1 x q(an x),则an

15、 1 qan (q 1)x ,与an 1 qan p对比可知x p-,故数列an 是公比为q的 q 1q 1等比数列.形如an1 qan f (n),用待定系数法构造等比数列，令4 i A(n 1) B qa An B),利用系数相等求出 A和B.(2)形如an 1 pan qpn 1 ,采用两边同除法构造等差数列.两边同除以pn 1得到萼 之q,故数列是公差为q的等差数列.p pp(3)形如an1pan ,采用两边取倒数法构造等差数列.两边取倒数得 qa一p ,qan pan 1 pan即工工 q,故工是公差为q的等差数列.an 1 an p anp(4)含有an, an 1的二次三项式，通

16、过因式分解转化为常见数列求解.(5)形如an 2 pan 1 qan ,用待定系数法转化为 an 2an 1 (p)(an 1 an),化简对比求出，则an1an是公比为p的等比数列，再根据情况求出an.数列(6)形如an i pa：,采用两边取对数法，变形为lgan i r lg an 1g p ,再用待定系数法构造等比数列.(7)换元法：适用于含有根式的递推关系式，把根式整体代换为一个简单数列来表示.6.数学归纳法根据数列前几项的值猜想数列的通项公式，首先带入第一项验证成立， 然后假设第k项成立，最后证明第k1项也成立，便可证明猜想的公式就是数列的通项公式.七、数列求和专题1.公式法等差数

17、列求和公式：S：第3诅3k 22nai (q 1) 等比数列求和公式：Sna1(1 qn) a1 anq -1 q 1 q (q 1)常用求和公式：1 1 2 3 L n n(n 1) 212 2232Ln21n(n1)(2n1)613 2333Ln31n(n1)222 .分组求和法如果一个数列的通项可以写成 cn an bn的形式，而数列an , bn是等差或等比数列或 可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法.3 .错位相减法an是等差数列，bn是等比数列，求数列an bn的前n项和时，采用错位相减法求解， 在等式的两边同乘以bn的公比，然后错位一项与 an bn的同次项对应相减，转化为特

18、殊 数列求和问题.需注意bn共比为参数字母时， 要对公比是否为1做讨论.它是等比数列前 n项和公式的推导方法.10 | 10数列4.裂项相消法将数列每一项拆成两项或若干项,使得相加后有一些项可以相互抵消，从而求得其和.般未被消去的项有前后对称的特点.常见裂项方法:n(n 1) n1 1k(n1n-k)(2n 1)(2n 1) 2(2n 1/)-n(n 1)(n2)1( . n k .n % n k kn)小1 lOga(1 -) nloga(n 1) loga n注：(1)裂项常见公式没有必要死记硬背，例如对n(n 5)裂项，可直接把分式从中间截，一、，1 断，变为1n5 .、一一n n 5 n(n 5)1 11 、一 ( ) 5 n n 55一，与原式比较分母变为 5倍，则把裂项，前面乘以1就变为与原式相等的裂项，即 一1一n 55n(n 5)(2)分母为根式相加形式的裂项，本质就是对分母有理化，即1 . -而而不 (如 k Jn)(Jn k Jn) /向 加.(3)对数形式的裂项