习题7 电磁感应与电磁场

1、习题77-1 一半径r10 cm的圆形回路放在B0.8 T的均匀磁场中，回路平面与B垂直.当回路半径以恒定速率dr=80cm/s收缩时，求回路中感应电动势的大小. dt解: 回路磁通 m=BS=Br2感应电动势大小=dmddr=(Br2)=B2r=0.40 V dtdtdt7-2 如题7-2图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b，环心O与导线相距a.设半圆环以速度v平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压UMUN.题7-2解: 作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时dm=0 MeNM

2、=0即 MeN=MN又 MN=vBcosda-ba+b l=0Iva-bln<0 2a+b所以MeN沿NeM方向，大小为 0Iva+bln 2a-bM点电势高于N点电势，即UM-UN=0Iva+bln2a-b题7-3dI流方向相反、大小相等，且电流以 dt(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量；(2)线圈中的感应电动势.解: 以向外磁通为正则 b+ad+a-ln b2rd2r2bdd0ld+ab+adI=ln-ln(2) =-dt2dbdt(1) m=b+a0Ildr-d+a0Idr=0Illn题7-47-4 如题7-4图所示，长直导线通以电流I5 A，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈

3、长b0.06 m，宽a0.04 m，线圈以速度v0.03 m/s垂直于直线平移远离.求：d0.05 m时线圈中感应电动势的大小和方向. 解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势DA产生电动势1=(vB)dl=vBb=vbDA 0I 2dBC产生电动势2=回路中总感应电动势 CB (vB)dl=-vb0I2(a+d)=1+2=0Ibv11(-)=1.610-8 V 2dd+a方向沿顺时针7-5 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B中，B的方向与回路的法线成60°角(如题7-5图所示)，B的大小为Bkt(k为正常数).设t0

4、时杆位于cd处，求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向.题7-5图1122解: m=BdS=Blvtcos60=ktlv=klvt 22 =-dm=-klvt dt即沿abcd方向顺时针方向题7-6图7-6 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B的方向如题7-6图所示.取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t0). 解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时 d<0,>0； dt题7-6图(a)在磁场中时出场时7-7 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速转动.aO=轴，如题7-7所示.试求：(1) ab两端的电势差；(2

5、) a，b两端哪一点电势高？题7-6图(b) d=0,=0； dtd>0，<0，故I-t曲线如题7-6图(b)所示. dtl，磁感应强度B平行于转3题7-7图解: (1)在Ob上取rr+dr一小段则 Ob=2l0 rBdr=2B2l 91Bl2 18同理 Oa=l0rBdr= ab=aO+Ob=(-121+)Bl2=Bl2 1896(2) ab>0 即Ua-Ub<0b点电势高题7-8图7-8 一无限长直导线和一正方形的线圈如题7-8图所示放置(导线与线圈接触处绝缘).求：线圈与导线间的互感系数.解： 设长直电流为I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为12=2a3a30Ia

6、2rdr=0Ia2ln2 M=12I=0a2ln27-9 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路.设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l的一段自感为L=0ld-aIn. a题7-9图解： 如题7-9图所示，取dS=ldr则 =d-aa(0I2r+0I2(d-r)ldr=0Il2d-aaIld-a11d(-)dr=0(ln-ln) rr-d2ad-a=0Illnd-a a L=I=0llnd-a a7-10 两线圈顺串联后总自感为1.0 H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4 H.试求：它们之间的互感.解： 顺串时 L=L1

7、+L2+2M反串联时L'=L1+L2-2M L-L'=4MM=4题7-11图7-11 一矩形截面的螺绕环如题7-11图所示，共有N匝.试求：(1)此螺绕环的自感系数；(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少？解：如题7-11图示(1)通过横截面的磁通为 = b0NI2rahdr=0NIh2bln a磁链 =N=0N2Ih2bln a L=I=0N2h2bln a(2) Wm= Wm=12LI 20N2I2h4bln a7-12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I.求：导线内部单位长度上所储存的磁能.解：在r<R时 B=0Ir2R20I2r2B2 w

8、m= =2082R4取 dV=2rdr(导线长l=1)则 W=R0wm2rdr=R0I2r3dr4R40=0I2167-13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1R2)，中间充满介电常数为的处的位移电流密度.解：圆柱形电容器电容 C=dU=k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为rdt2l R2lnR1q=CU=2lU R2lnR1D=q2lUU= S2rln2rln2R1R1 j=D=tkRrln2R17-14 试证：平行板电容器的位移电流可写成Id=CdU.式中C为电容器的电容，U是电容dt器两极板的电势差.如果不是平板电容器，以上关系还适用吗？解： q=CUD=0=CU S D=DS=CU不是平板电容器时 D=0仍成立 ID=CID=dDdU=CdtdtdU还适用 dt7-15 半径为R0.10 m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中.今对电容器匀速充电，使两极板间电场的变化率为dE=1.01013V/(m·s).求两极板间的位移电流，并计算电容器内dtDE=0 tt离两圆板中心联线r(rR)处的磁感应强度Br以及rR