高中数学必修2__第三章《直线与方程》知识点总结与练习

1、第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 知识能否忆起一、直线的倾斜角与斜率1 直线的倾斜角(1)定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为0， )_2 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即 k tan_，倾斜角是90°的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1， y1 )，P2( x2， y2)(x1 x2 )的直线的斜率公式为y2y1y1y2k.x2 x1x1 x2二、直线方程的形式及适

2、用条件名称几何条件点斜式过点 (x0， y0)，斜率为 k斜截式斜率为 k，纵截距为 b两点式过两点 (x1， y1)， (x2， y2)，(x1 x2， y1 y2)截距式在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a， b(a， b 0)一般式方程y y0 k( x x0)y kxby y1 x x1y2 y1x2 x1ax yb 1Ax By C 0(A， B 不全为 0)局限性不含垂直于x 轴的直线不含垂直于x 轴的直线不包括垂直于坐标轴的直线不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 小题能否全取1 (教材习题改编)直线 x3y m 0(mk)的倾斜角为 ()A30°B 60°C1

3、50 °D 120 °解析：选C由 k tan 3， 0， )得 150°.332 (教材习题改编 )已知直线 l 过点 P( 2,5)，且斜率为4，则直线 l 的方程为 ()A 3x 4y 14 0B 3x 4y 14 0C4x 3y 14 0D 4x 3y 14 0解析：选A由 y 5 3(x 2)，得 3x 4y 14 0.43过点 M(2， m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 ()A 1B 4C1或 3D1或4解析：选A由 1 4 m，得 m 2 4 m，m 1.m 24 (2012 长·春模拟 )若点 A(4,3)， B(5

4、， a)，C(6,5)三点共线，则a 的值为 _解析： kAC 5 3a 3 1， kAB a 3.6 45 4由于 A， B，C 三点共线，所以a 3 1，即 a 4.答案： 45若直线 l 过点 ( 1,2)且与直线 2x3y 4 0 垂直，则直线l 的方程为 _解析： 由已知得直线l 的斜率为 k 3.23所以 l 的方程为y 2 2(x 1)，即 3x2y 1 0.答案： 3x 2y 1 01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3用截距式写方程时，应先判断截距是否为0

5、，若不确定，则需要分类讨论直线的倾斜角与斜率典题导入例 1 (1)(2012岳·阳模拟 )经过两点 A(4,2y 1)， B(2， 3)的直线的倾斜角为3，则 y4()A 1B 3C0D 2(2)(2012 苏·州模拟 )直线 xcos 3y 20 的倾斜角的范围是 _3 2y 1 32y4自主解答 (1)tan 4 4 22 y 2，因此 y 2 1.y 3.3333(2)由题知 k3 cos，故 k3，3，结合正切函数的图象，当k 0， 3 时，当 k 35直线倾斜角 0， 63 ，0时，直线倾斜角 6 ，故直线的倾斜角的范围5是0， 6 6 ， .答案 (1)B (2

6、) 0，5，66由题悟法1求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率 k tan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在以题试法1 (2012 哈·尔滨模拟 )函数 y asin，则直线 l： ax byxbcos x 的一条对称轴为 x 4c 0 的倾斜角为 ()A45°B 60°C120 °D 135 °解析：选 D 由函数 y f(x)asin xbcos x 的一条对称轴为x4知，f(0) f2，即 ba，则直线 l 的斜率为 1，故倾斜角为 135

7、6;.2 (2012 金·华模拟 )已知点A(1,3)， B( 2， 1)若直线l ： y k(x 2) 1与线段 AB相交，则 k 的取值范围是 ()1，B (， 2A. 21，D. 2，1C( ， 2 22解析：选 D由题意知直线l 恒过定点P(2,1)，如右图 若 l 与线段AB 相交，则kPA k kPB.1 kPA 2，kPB 2，1 2 k .直线方程典题导入例 2(1)过点 (1,0)且与直线x 2y2 0 平行的直线方程是_ (2)(2012 东·城模拟 )若点 P(1,1)为圆 (x 3)2 y2 9 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为 _自

8、主解答 (1) 设所求直线方程为x 2y m 0，由直线经过点(1, 0) ，得 1 m 0， m 1.则所求直线方程为x 2y1 0.1 0(2)由题意得，× kMN 1，所以kMN 2，故弦MN 所在直线的方程为y 12(x1 3 1) ，即 2x y1 0.答案 (1)x 2y 10(2)2x y 10由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2) 待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程以题试法3 (2012 ·岩调研龙 )已知 ABC 中， A(1， 4)，

9、B(6,6)， C( 2,0)求：(1) ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程解： (1)平行于 BC 边的中位线就是AB， AC 中点的连线因为线段 AB， AC 中点坐标分别为7， 1， 1， 2，221所以这条直线的方程为y 2x 27，1 2122整理一般式方程为得6x8y 13 0，截距式方程为13x13y 1.68y 4x 1(2)因为 BC 边上的中点为(2,3)，所以 BC 边上的中线所在直线的方程为，即3421x y一般式方程为 7x y11 0，截距式方程为 11 11 1.7直线方程

10、的综合应用典题导入例 3 (2012 开·封模拟 )过点 P(3,0)作一直线， 使它夹在两直线l 1：2x y 20 与 l 2：xy 3 0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程自主解答 法一： 设点 A(x， y)在 l1上，点 B(xB， yB在 l2 上)x xB 3，2由题意知则点 B(6 x， y)，y yB 0，22x y 2 0，解方程组6 x y 30，x11163 ，3 0得16则 k118.y3，33故所求的直线方程为y 8(x 3)，即 8x y24 0.法二： 设所求的直线方程为y k(x 3)，点 A， B 的坐标分别为 (xA， yA)，

11、 (xB，yB)，3k 2y k x 3 ，xA，k 2由解得2x y 2 0，yA 4k.k 23k 3y k x 3 ，xB，k 1由解得x y3 0， 6kyB.k 1P(3,0)是线段 AB 的中点，yA yB 0，即 4k 6k 0，k 2k 12k 8k 0，解得 k0 或 k 8.xA xB1 3此时22 3，k 0 舍去，故所求的直线方程为y 8(x 3)，即 8xy 24 0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值以题试法4 (2012东·北三校联考)已知直线l 过

12、点M(2,1) ，且分别与x 轴， y 轴的正半轴交于A，B 两点， O 为原点(1)当 AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当 |MA | ·|MB|取得最小值时，求直线l 的方程解： (1)设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2)(k<0) ，A 21， 0 ，B(0， 1 2k)， k11AOB 的面积 S 2(1 2k) 2 k1112 4 4k k2(4 4) 4.当且仅当 4k1，即 k1时，等号成立k21故直线 l 的方程为y1 2(x 2)，即 x 2y 4 0.12(2)|MA|k2 1， |MB |4 4k，1221|MA | ·|MB

13、|k2 1· 4 4k 2k k2 2 2×2 4，21当且仅当 k k2，即 k 1 时取等号，故直线方程为xy 3 0. 典例 (2012 ·安模拟西 )设直线 l 的方程为(a 1)x y 2a 0(a R)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围尝试解题 (1) 当直线过原点时，该直线在x 轴和 y 轴上的截距为零，此时截距相等故 a2，方程即为3x y0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，a 2得 a 2，即 a 11，a 1故 a0，方程即为x y 2 0.综上， l 的方程为3xy

14、0 或 x y 2 0.(2)将l 的方程化为y (a 1)x a 2， a 1 0， a 1 0，则a2 0，或a 2 0.a 1.综上可知， a 的取值范围是 ( ， 1 易错提醒 1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等， 当直线在x 轴与 y 轴上的截距为零时也满足 .2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用 . 针对训练过点 M(3， 4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_ 解析： 当过原点时，直线方程为y4x；3当不过原点时，设直线方程为x

15、 y 1，a a即 x ya.代入点 (3 ， 4)，得 a 7.即直线方程为xy 7 0.4答案： y 3x 或 x y 7 01k1bykxbA (1， 2)B (1,2)C( 1,2)D ( 1， 2)()解析： 选A因为k， 1，b三个数成等差数列，所以k b 2，即b 2 k，于是直线方程化为y kxk 2，即y 2 k(x 1)，故直线必过定点(1， 2)2直线2x 11y 160 关于点P(0,1) 对称的直线方程是()A 2x 11y 38 0B 2x 11y 380C2x 11y 380D 2x 11y 160解析：选 B因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距

16、离相等，故|0 11 16|可设所求直线的方程为2x 11y C 0 ，由点到直线的距离公式可得 22 112|0 11 C|，解得 C16(舍去 )或 C 38.22 1123 (2012 ·水模拟衡 )直线 l1 的斜率为2， l 1 l 2，直线 l 2 过点 ( 1,1)且与 y 轴交于点P，则 P 点坐标为()A (3,0)C(0， 3)B ( 3,0)D (0,3)解析： 选D l1l 2，且l 1 斜率为2， l 2 的斜率为2.又 l2 过 ( 1,1)， l 2 的方程为 y 1 2(x 1)，整理即得 y 2x3.令 x 0，得 P(0,3)4 (2013佛

17、83;山模拟 )直线 ax by c 0 同时要经过第一、第二、第四象限，则a， b， c应满足()A ab 0， bc 0Cab 0， bc 0解析： 选 A由于直线B ab 0， bc 0D ab 0， bc 0axby c 0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ax c，易知bba 0 且 c 0，故 b bab 0， bc 0.5将直线y 3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1 个单位，所得到的直线为()11A y 3x 31B y 3x 1Cy 3x 31D y 3x 1解析： 选A将直线y 3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线1y 3x

18、，再向右平移1 个单位，所得直线的方程为1y 3(x 1)，即11y 3x 3.6已知点A(1， 2)， B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x 2y 2 0，则实数 m 的值是 ()A 2B 7C3D 1解析： 选 C 线段 AB 的中点 1 m， 0 代入直线 x2y 2 0 中，得 m 3.27(2013 贵·阳模拟 )直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是( 3,3)，则其斜率的取值范围是 _2解析： 设直线 l 的斜率为k，则方程为 y 2 k(x1)，在 x 轴上的截距为 1 k，令 3211 k 3，解得 k 1 或 k2.答案： (，

19、1)1，28 (2012 ·常州模拟 ) 过点P( 2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_解析： 直线 l 过原点时， l 的斜率为 332，直线方程为y 2x；l 不过原点时，设方程为x y 1，将点 ( 2,3)代入，得 a 1，直线方程为 x y 1.a a综上， l 的方程为 x y 1 0 或 2y 3x0.答案： x y 10 或 3x 2y09(2012 ·津四校联考天)不论 m 取何值，直线 ( m 1)x y2m1 0 恒过定点 _解析： 把直线方程 (m 1)xy 2m 1 0 整理得(x 2)m (x y 1) 0，x 2 0，x 2，则

20、得x y1 0，y 3.答案： ( 2,3)10求经过点 ( 2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1 的直线 l 的方程解： 设所求直线方程为 xya b 1，22 ab 1，a 1，a 2，由已知可得解得或1b 2b 1.2|a|b| 1，故直线 l 的方程为 2xy 2 0 或 x 2y 2 0.11 (2012 ·田月考莆)已知两点 A( 1,2)，B(m,3)(1)求直线 AB 的方程；(2)已知实数 m 3 1， 3 1 ，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围3解： (1)当 m 1 时，直线 AB 的方程为 x 1；当 m 1 时，直线AB 的方程为 y21(x 1)

21、m 1(2)当 m 1 时， 2；当 m 1 时， m 13， 0 (0 ， 3 ，3k1( ，3 3， ，m 13 2 6，2 2， 3 . 2综合知，直线AB 的倾斜角 6， 3.12.如图，射线OA、 OB 分别与 x 轴正半轴成45°和 30°角，过点P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、 OB 于 A、 B 两点，当AB 的中点 C 恰好1落在直线y2x 上时，求直线AB 的方程解： 由题意可得kOA tan 45 °1，3kOB tan(180 °30°) 3 ，3所以直线 l OA： y x， l OB： y 3 x.设 A(m

22、， m)，B( 3n， n)，m 3n mn，所以 AB 的中点 C，22m n1 m 3n12 2· 2，由点 C 在 y2x 上，且 A、 P、B 三点共线得m0n 0 3n1，m1解得 m 3，所以 A( 3，3)又 P(1,0)，所以 kABkAP3 3 32，3 1所以 lAB： y3 32(x 1)，即直线 AB 的方程为 (3 3)x 2y33 0.1若直线 l：y kx 3与直线 2x 3y6 0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 () ，B.，A.6 36 2 C. 3，2D.6， 232 3，解析：选B由 y kx3，解得x2 3k2x 3y6 0

23、，6k 2 3y.23k两直线交点在第一象限，x0，解得 k 3y0，3 .直线 l 的倾斜角的范围是 ，62 .2(2012 洛·阳模拟 )当过点P(1,2) 的直线 l 被圆 C：(x 2)2 (y 1)2 5 截得的弦最短时，直线 l 的方程为 _ 解析： 易知圆心 C 的坐标为 (2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点 P 的连线与直线 l 垂直时，直线 l 被圆 C 截得的弦最短由C(2,1)，P(1,2)可知直线 PC 的斜率为2 11 21，设直线 l 的斜率为k，则 k× (1) 1，得 k 1，又直线 l 过点 P，所以直线 l 的方程为xy 1 0

24、.答案： x y 103已知直线l ： kx y1 2k 0(kR )(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线 l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点A，交 y 轴正半轴于点B，O积为 S，求 S 的最小值及此时直线l 的方程为坐标原点，设AOB 的面解： (1)证明： 法一： 直线 l 的方程可化为y k(x 2)1，故无论 k 取何值，直线l 总过定点 ( 2,1)法二： 设直线过定点(x0， y0)，则 kx0 y0 1 2k 0 对任意kR 恒成立，即 (x0 2)ky0 10 恒成立，x0 2 0， y0 1 0，解得 x0 2， y0 1，故直

25、线 l 总过定点 ( 2,1)(2)直线 l 的方程为 y kx 2k1，则直线 l 在 y 轴上的截距为2k 1，k 0，要使直线 l 不经过第四象限，则1 2k 0，解得 k 的取值范围是 0， ) (3)依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为12k，在 y 轴上的截距为1 2k，A1 2k， 0，kkB(0,1 2k)1 2k又<0 且 12k>0 ，k>0.k111 2k故 S 2|OA|OB | 2×k(1 2k)111 2 4k k 4 2(44) 4，当且仅当4k 1，即 k 1时，取等号k2故 S 的最小值为4，此时直线 l 的方程为 x 2y 4

26、0.1 (2012 ·州模拟郑)已知直线 l 1 的方向向量为 a(1,3)，直线 l2 的方向向量为b ( 1，k)若直线 l2 经过点 (0,5) 且 l 1 l2，则直线 l 2 的方程为 ()A x 3y 5 0B x 3y 150Cx 3y 50D x 3y 15 0解析： 选 B kl1 3， kl2 k， l1 l 2，11 k ， l 2 的方程为 y x 5，即 x 3y15 0.332(2012 吴·忠调研 )若过点 P(1 a,1a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 _2a 1 aa 1解析： k tan .3 1 aa

27、2a 1为钝角， 0，即 (a 1)(a 2)0，a 2故 2 a 1.答案： ( 2,1)3.已知直线 l 过点P(3,2) ，且与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于A， B两点如图，求 ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程解：设 A(a,0)，B(0，b)，(a0，b 0)，则直线 l 的方程为 xyab 1，32l 过点 P(3,2) ， 1.ab3261a b 2ab，即 ab 24.S 132，即 a 6， b4 时，ABO2ab 12.当且仅当 abABO 的面积最小，最小值为12.x y此时直线 l 的方程为 6 4 1.即 2x3y 12 0.第二节两直线的位置关系 知识

28、能否忆起 一、两条直线的位置关系斜截式一般式方yk1 xb1A1x B1 yC1 0(A12 B12 0)程yk2 xb2A2x B2 yC2 0(A22 B22 0)相A1 B2 A2B1 0k1 k2交当 A2B2 0时，记为 A1 B1A2B2垂k11或A1 A2 B1B2 0k2 0时，记为 A1 A2 1直当 Bk1k2 11 B2·B1 B2 A1B2 A2B1 0， B2C1 B1C2 0 或平k1 k2 A1B2A2B1 0， A1C2 A2 C10且 b1 b2行当A2B2C2 0时，记为 A1 B1 C1A2B2 C2A1 A， B B， C C重k1 k2212

29、12 ( 0)合且 b1 b2当A2B2C2 0时，记为 A1 B1 C1A2B2 C2二、两条直线的交点设两条直线的方程是 l 1：A1x B1y C1 0，l 2：A2x B2y C2 0，两条直线的交点坐标就是方程组 A1x B1y C1 0， A2x B2y C20 的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解， 则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立三、几种距离1 两点间的距离平面上的两点A(x1 ， y1)， B(x2， y2)间的距离公式：1 x22 y1 y2 2.d(A， B) |AB| x2 点到直线的距离|Ax1 By1 C|点 P(

30、x1， y1)到直线 l ： Ax ByC 0 的距离 d.A2 B23 两条平行线间的距离两条平行线 Ax ByC1 0 与 Ax ByC2 0 间的距离 d|C1 C2|22.A B 小题能否全取 1(教材习题改编 )已知 l1 的倾斜角为45°，l2 经过点 P( 2， 1)，Q(3，m)若 l1 l 2，则实数 m 为 ()A 6B 6C5D5m 1解析： 选 B由已知得k11， k2. l1 l 2， k1 k2 1， 1×m 1 1，即 m 6. 52 (教材习题改编)点 (0， 1)到直线 x 2y 3 的距离为 ()5A. 5B. 51C5D.5解析： 选

31、Bd |0 2× 1 3|5.53点 (a， b) 关于直线 A ( a 1， b 1) C( a， b)x y 1 0 的对称点是 ()B (b 1， a 1) D ( b， a)解析：选B设对称点为 (x， y )，则y b× 1 1，x a y b 1 0，x a22解得 x b1， y a 1.4l1 ：xy 0 与 l 2：2x 3y 1 0 的交点在直线mx 3y 5 0 上，则 m 的值为 ()A 3B 5C 5D 8解析：选D由 x y 0，x 3y1 0， 得 l 1 与 l 2 的交点坐标为 (1,1)所以 m 35 0， m 8.5 与 直 线4x 3

32、y 5 0平 行 ， 并 且 到 它 的 距 离 等 于3的 直 线 方 程 是_ 4x 3ym 0，由 3|m5|解析： 设所求直线方程为，得 m 10 或 20.42 32答案： 4x 3y 10 0 或 4x3y 2001.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑2在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为AxBy C 0 的形式，否则会出错两直线的平行与垂直典题导入例 1 (2012 浙·江高考 )设 a R，则“ a 1”是“直线l1： ax 2y1 0 与直线 l

33、 2： x( a 1)y 4 0 平行”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件自主解答 由 a 1，可得 l1l2；反之，由 l 1l2，可得 a 1 或 a 2.答案 A在本例中若l1 l 2，试求 a.解： l1l2，a× 1 2× (a 1) 0，2a 3.由题悟法1充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1 和 l2， l 1 l 2? k1 k2， l 1 l 2? k1·k2 1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意2(1) 若直线 l 1

34、 和 l 2 有斜截式方程l1： yk1xb1 ，l2： y k2x b2，则直线 l 1 l 2 的充要条件是 k1·k2 1.(2)设 l 1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0.则 l1 l 2? A1A2 B1B2 0.以题试法1(2012 ·同模拟大)设 a，b， c 分别是 ABC 中角 A， B， C 所对的边，则直线xsin Aay c 0 与 bx ysin B sin C0的位置关系是 ()A 平行B重合C垂直D相交但不垂直sin Ab解析：选 C 由已知得a 0，sin B0，所以两直线的斜率分别为k1a，k2 sin B，由正弦定理得 k1·k2sin A b 1，所以两条直线垂直a·sin B两直线的交点与距离问题典题导入例 2(2012 浙·江高考 )定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线C 到直线 l 的距离已知曲线 C1： y x2 a 到直线 l： y x 的距离等于曲线C2： x2 (y 4)2 2 到直线 l： y x 的距离，则实数a _.自主解答 因曲线 C2：x2 (y 4)2 2 到直线 l ：yx 的距离为0 4 22 2222，所以曲线 C1 与直线 l 不能相交，故x2 a x，即 x2 a x0.0 y0 x0 x02 a